【正文】 4 ( 2 1 ) 3π D . 12 ( 2 1 ) 3π 【解析】根據(jù)題意可知 , 問題等價于求圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值 , 設(shè)長方體 的長 , 寬 , 高分別為 x , y , h , 長方體上底面截圓錐的截面半徑為 a , 則 x2+y2= ( 2 a )2= 4 a2, 圓錐的軸截面如圖所示 , 則可知??1=2 ?2, 得 h= 2 2 a. 而長方體的體積 V=xyh ≤??2+ ??22h= 2 a2h= 2 a2( 2 2 a ) ≤ 2 179。( 2 ) 建立空間直角坐標(biāo)系 , 利用向量法求解 . 【解析】 ( 1 ) 如圖 , 連接 BD , 設(shè) BD ∩ AC=G , 連接 EG , FG , EF. 在菱形 AB CD 中 , 不妨設(shè) G B= 1 . 由∠ ABC= 120 176。 ( 3 ) 求直線 PA 與直線 FG 所成角的余弦值 . 【解析】 ( 法一 )( 1 ) 在△ PC D 中 , ∵ E 為 CD 的中點 , 且 PC=PD ,∴ PE ⊥ C D. 又平面 PCD ⊥平面 AB CD , 且平面 PCD ∩平面 AB CD=C D , PE ? 平面PCD , ∴ PE ⊥平面 ABCD . 又 FG ? 平面 AB CD , ∴ PE ⊥ FG. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 PE ⊥平面 A BC D , 且 AD ? 平面 ABCD , ∴ PE ⊥ A D. 又四邊形 ABCD 是長方形 , ∴ AD ⊥ C D. 又 PE ∩ CD =E , ∴ AD ⊥平面 PCD , ∴ AD ⊥ PD , ∴ ∠ PDE 為二面角 P AD C 的平面角 . ∵ AB=CD = 6 , ∴ DE= 3 . 在 Rt △ PE D 中 , P E= ?? ??2 D ??2= 42 32= 7 , ∴ tan ∠ PDE=?? ???? ??= 73, ∴ 所求二面角 P AD C 的正切值為 73. ( 3 ) 如圖 , 連接 AC , 在△ AB C 中 , ∵ A F= 2 FB , CG= 2 GB , ∴ FG ∥ A C. 由異面直線所成角的定義知 , 直線 PA 與直線 FG 所成角的大小等于∠ PAC 的大小 . 在 Rt △ PD A中 , PA= ?? ??2+ A ??2= 5 , AC= ?? ??2+ B ??2= 3 5 , PC= 4 , ∴ cos ∠ PAC=?? ??2+ A ??2 P ??22 ?? ?? 178。 ?? = 0 ,?? ?? 178。 ( 2 ) 求直線 AF 與平面 α 所成角的正弦值 . 【分析】題 ( 2 ) 建系計算容易 , 本題的難點集中在題 ( 1 ), 由線面平行和面面平行的性質(zhì)畫平面 α 與長方體的面的交線 , 難點是要通過一定的計算知道平面 α 與長方體的面的交線是落在哪個面上 . 【解析】 ( 1 ) 交線圍成的正方形 EH GF 如圖所示 . ( 2 ) 作 EM ⊥ AB , 垂足為 M , 則 AM=A 1 E= 4 , EM= AA 1 = 8 . 因為四邊形 EHG F 為正方形 , 所以 E H=EF= BC= 10 . 于是 MH= ?? ??2 E ??2= 6 , 所以 AH= 10 . 以 D 為坐標(biāo)原點 , ?? ?? 的方向為 x 軸正方向 , 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D xyz , 則A ( 10 , 0 , 0 ), H ( 10 , 10 , 0 ), E ( 10 , 4 , 8 ), F ( 0 , 4 , 8 ), ?? ?? = ( 10 , 0 , 0 ), ?? ?? = ( 0 , 6 , 8 ) . 設(shè) n = ( x , y , z ) 是平面 EH G F 的法向量 , 則 ?? 178。 , AC ⊥ BD , BC= 1 , A D=AA 1 = 3 . ( 1 ) 證明 : AC ⊥ B 1 D 。 ?? ?? = 3 . 連結(jié) AB 1 , 易知△ AB 1 D 是直角三角形 , 且B 1 D2=B ??12+BD2=B ??12+AB2+AD2= 21 , 即 B 1 D= 21 . 在 Rt △ AB 1 D 中 , cos ∠ A DB 1 =?? ????1D=3 21= 217, 即 cos ( 90 176。 ?? ?? = 0 ,?? 178。 解答題屬于中等難度 , 且基本在前三題的位置 . 8 . 在解答題的情景材料呈現(xiàn)方面 , 課標(biāo)全國卷主要以圖表作為情景材料呈現(xiàn) . 201 1 年至 201 5 年全國卷以圖表為情景材料呈現(xiàn)的試題統(tǒng)計表 頻率分布表 頻率分布 直方圖 莖葉圖 散點圖 2022 年理 2022 年理 2022 年文 2022 年文 2022 年文 2022 年理 2022 年文 2022 年理 2022 年文 從上述統(tǒng)計表可以發(fā)現(xiàn) , 課標(biāo)全國卷對頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表特點的理解的考查力度是較大的 . 首先 , 從圖表中讀取數(shù)據(jù)信息 , 如眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等 。 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ同題 ) . 12 . 古典概型概率是課標(biāo)全國卷的考查熱點 , 對古典概型概率的考查經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題、填空題中 . 13 . 在知識交匯方面 , 課標(biāo) 全國卷常將統(tǒng)計與概率和函數(shù)交匯 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科 , 2 013 年課標(biāo)全國卷Ⅱ文理科 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文理科 ) . 14. 課標(biāo)全國卷試題不拘泥于知識內(nèi)容的層次要求 , 對于看起來是“邊緣”知識的考查較為頻繁 , 課標(biāo)全國卷對相關(guān)系數(shù)、正態(tài)分布、條件概率等時有考查 ( 2 012 年課標(biāo)全國卷Ⅰ文科考查相關(guān)系數(shù)、 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ理科考查正態(tài)分布 , 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理科考查條件概率 ), 這揭示了我們不能忽視閱讀材料的教學(xué)、不能忽視所謂的“非主干知識”的事實 . 15 . 對超幾何分布的考查 , 課標(biāo)全國卷相對弱化 . 例 15 ( 2 015 年課標(biāo)全國卷Ⅱ理 3 文 3 ) 根據(jù)下面給出的 2022年至 201 3 年我國二氧化硫年排放量 ( 單位 : 萬噸 ) 柱形圖 , 以下結(jié)論中不正確的是 ( ) . A. 逐年比較 , 2022 年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢 年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 【解析】對于 A 選項 , 由圖知從 20 07 年到 2022 年二氧化硫排放量下降得最多 , 所以 A 正確 . 對于 B 選項 , 由圖知由 20 06 年到2022 年矩形高度明顯下降 , 所以 B 正確 . 對于 C 選項 , 由圖知從2022 年以后除 2 011 年稍有上升外 , 其余年份都是逐年下降的 , 所以 C 正確 . 由圖知 2022 年以來我國二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān) , 所以 D 不正確 , 故選 D . 【答案】 D 例 16 ( 2022 年課標(biāo)全國卷Ⅰ理 19 文 19 ) 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費 , 需了解年宣傳費 x ( 單位 : 千元 ) 對年銷售量 y ( 單位 : t ) 和年利潤 z ( 單位 : 千元 ) 的影響 . 對近 8 年的年宣傳費 x i 和年銷售量 y i ( i= 1 , 2 , … , 8 ) 數(shù)據(jù)作了初步處理 , 得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值 . x? y? w? ∑?? = 18( x i x?)2 ∑?? = 18( w i w?)2 ∑?? = 18( x i x?)( y i y?) ∑?? = 18( w i w?)( y i y?) 46 . 6 563 6 . 8 289 . 8 1 . 6 1 469 108 . 8 表中 w i = ????, w?=18∑?? = 18w i . ( 1 ) 根據(jù)散點圖判斷 , y= a+ bx 與 y=c +d ?? 哪一個適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型 ?( 給出判斷即可 , 不必說明理由 ) ( 2 ) 根據(jù) ( 1 ) 的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù) , 建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程 . ( 3 ) 已知這種產(chǎn)品的年利潤 z 與 x , y 的關(guān)系為 z= 0 . 2 y x. 根據(jù)( 2 ) 的結(jié)果回答下列問題 : ① 年宣傳費 x= 49 時 , 年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少 ? ② 年宣傳費 x 為何值時 , 年利潤的預(yù)報值最大 ? 附 : 對于一組數(shù)據(jù) ( u 1 , v 1 ), ( u 2 , v 2 ), … ,( u n , v n ), 其回歸直線 v=α + β u 的斜率和截距的最小二乘估計分別為 ??^=∑?? = 1??( u i u?)( v i y?)∑?? = 1??( u i u?)2, α^= v? ??^u?. 【解析】 ( 1 ) 由散點圖可以判斷 , y =c+d ?? 適宜作為年銷售量y 關(guān)于年宣傳費 x 的回歸方程類型 . ( 2 ) 令 w= ?? , 先建立 y 關(guān)于 w 的線性回歸方程 . 由于 ??^=∑?? = 18( ???? w?)( ???? y?)∑?? = 18( ???? w?)2=108 . 81 . 6= 68 , ??^= y? ??^w?= 563 68 179。 ( 8 + 8 . 2 + 8 . 4 + 8 . 6 + 8 . 8 + 9 ) = 8 . 5 , y?=16179。 ② 某用戶從該企業(yè)購買了 100 件這種產(chǎn)品 , 記 X 表示這 10 0件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間 ( 187 . 8 , 212 . 2 ) 的產(chǎn)品件數(shù) , 利用① 的結(jié)果 , 求 E ( X ) . 附 : 150 ≈ 12 . 2 . 若 Z~N ( μ , σ2), 則 P ( μ σ Z μ + σ ) = 0 . 6826 , P ( μ 2 σ Z μ + 2 σ ) = 0 . 9544 . 【解析】 ( 1 ) 抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x?和樣本方差 s2分別為 。 8 . 5 = 25 0 . 所以回歸直線 方程為 y＾= 20 x+ 250 . ( 2 ) 設(shè)工廠獲得的利潤為 L 元 , 依題意得 L=x ( 20 x+ 250 ) 4 ( 20 x+ 2 50 ) = 20 x2+ 33 0 x 10 00 = 20 ( x 334)2+ 361 . 25 , 當(dāng)且僅當(dāng) x= 8 . 25 時 , L 取得最大值 . 故當(dāng)單價定為 8 . 25 元時 , 工廠可獲得最大利潤 . 例 17 ( 2 014 年課標(biāo)全國卷 Ⅰ 理 18 ) 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 500 件 , 測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值 , 由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖 : ( 1 ) 求這 50 0 件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) x?和樣本方 差s2( 同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表 )。 0 . 2 49 = 66 . 32 . ② 根據(jù) ( 2 ) 的結(jié)果知 , 年利潤 z 的預(yù)報值 ??^= 0 . 2 ( 100 . 6 + 68 ?? ) x= x+ 13 . 6 ?? + 20 . 12 . 所以當(dāng) ?? =13 . 62= 6 . 8 , 即 x= 46 . 24 時 , ??^取得最大值 . 故年宣傳費為 46 . 24 千元時 , 年利潤的預(yù)報值最大 . 【啟示】文理同題 , 在統(tǒng)計方面文科與理科的要求相同 . 我們以往僅僅局限于線性回歸直線問題 , 2022 年的這道試題全面顛覆了我們對非線性回歸分析的教學(xué)和考查認(rèn)識 . 將統(tǒng)計與概率和函數(shù)融合是課標(biāo)全國卷的特色 , 201 5 年課標(biāo)全國卷 Ⅰ 理 19 對回歸方程的求解要求較高 , 需將非線性