【正文】 鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) (3) 證明：設(shè) d 為 d1， d2， ? ， dn － 1的公差． 對(duì) 1 ≤ i ≤ n － 2 ，因?yàn)?Bi≤ Bi ＋ 1， d 0 ， 所以 Ai ＋ 1＝ Bi ＋ 1＋ di ＋ 1≥ Bi＋ di＋ d Bi＋ di＝ Ai. 又因?yàn)?Ai ＋ 1＝ max{ Ai， ai ＋ 1} ，所以 ai ＋ 1＝ Ai ＋ 1 Ai≥ ai. 從而 a1， a2， ? ， an － 1是遞增數(shù)列． 因此 Ai＝ ai( i ＝ 1,2 ， ? ， n － 1) ． 又因?yàn)?B1＝ A1－ d1＝ a1－ d1 a1， 所以 B1 a1 a2 ? an － 1. 因此 an＝ B1. 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) 所以 B 1 ＝ B 2 ＝ ? ＝ B n － 1 ＝ a n . 所以 a i＝ A i＝ B i＋ d i＝ a n ＋ d i . 因此對(duì) i ＝ 1,2 ， ? ， n － 2 都有 a i ＋ 1 － a i＝ d i ＋ 1 － d i＝ d ， 即 a 1 ， a 2 ， ? ， a n － 1 是等差數(shù)列． 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) —————————— 規(guī)律 an ＋ 2( n ∈ N*， an≠ 0) ? { an} 是等比數(shù)列； ( 3) 通項(xiàng)公式法： an＝ pn ＋ q ( p ， q 為常數(shù) ) ? { an} 是等差數(shù)列； an＝ a1 南昌模擬 ) 下表是一個(gè)由正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，已知 a 1 , 1 ＝ 1 ， a 2 , 3 ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ 8. 數(shù)列求和問題 ? ? ? ? ? ? a4,4 a4,3 a4,2 a4,1 ? a3,4 a3,3 a3,2 a3,1 ? a2,4 a2,3 a2,2 a2,1 ? a1,4 a1,3 a1,2 a1,1 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) (1) 求數(shù)列 { a n, 2 } 的通項(xiàng)公式； (2) 設(shè) b n ＝a 1 ， na n ， 2， n ＝ 1,2,3 ， ? ，求數(shù)列 { b n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . [ 自主解答 ] ( 1 ) 設(shè)各行依次組成的等差數(shù)列的公差是 d ，各列依次組成的等比數(shù)列的 公比是 q ( q 0 ) ， 則 a 2 , 3 ＝ qa 1 , 3 ＝ q ( 1 ＋ 2 d ) ? q ( 1 ＋ 2 d ) ＝ 6 ， a 3 , 2 ＝ q2a 1 , 2 ＝ q2( 1 ＋ d ) ? q2( 1 ＋ d ) ＝ 8 ， 解得 d ＝ 1 ， q ＝ 2. a 1 , 2 ＝ 2 ? a n , 2 ＝ 2 2n － 1＝ 2n. 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) ( 2 ) bn＝n2n ，則 S n ＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， 則12Sn＝122 ＋223 ＋324 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， 兩式相減得12Sn＝12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ， 所以 Sn＝ 2 －n ＋ 22n . 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) 若本例 (2) 中 b n ＝ a 1 ， nan ， 2＋ ( － 1) n a 1 ， n ，如何求 S n? 互動(dòng)探究 解： 由例題可知 bn＝n2n ＋ ( － 1)nn ， Sn＝??????12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ＋ [ －1 ＋ 2 － 3 ＋ … ＋ ( － 1) nn ] ． 設(shè) Tn＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ，則12Tn＝122 ＋223 ＋324 ＋ ? ＋n2n ＋ 1， 兩式相減得12Tn＝12＋122 ＋123 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ，所以 T n＝ 2 －n ＋ 22n . 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) 又－ 1 ＋ 2 － 3 ＋ ? ＋ ? － 1 ?n總 結(jié) ———————————— 五招解決數(shù)列求和問題 ( 1) 轉(zhuǎn)化法：將數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行分組重組，使之轉(zhuǎn)化為 n 個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用公式求和． ( 2) 錯(cuò)位相減法： ( 見要點(diǎn)歸納 ) ( 3) 裂項(xiàng)相消法： ( 見要點(diǎn)歸納 ) ( 4) 倒序相加法： ( 見要點(diǎn)歸納 ) ( 5) 并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求 Sn. ——————————————— —— ——————— 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) 2 ． 已知數(shù)列 { a n } 中 ， a 1 ＝ 2 ， a n ＝ 2 －1a n － 1( n ≥ 2 ， n ∈ N*) ． ( 1 ) 設(shè) b n ＝1a n － 1( n ∈ N*) ， 求證 ： 數(shù)列 { b n } 是等差數(shù)列 ； ( 2 ) 設(shè) c n ＝1b n b n ＋ 2( n ∈ N*) ， 求數(shù)列 { c n } 的前 n 項(xiàng)和 S n . 解： (1) 證明： ∵ a n ＝ 2 －1a n － 1， ∴ a n ＋ 1 ＝ 2 －1a n. ∴ b n ＋ 1 － b n ＝1a n ＋ 1 － 1－1a n － 1＝12 －1a n－ 1－1a n － 1＝a n － 1a n － 1＝ 1 ， 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) ∴ { bn} 是首項(xiàng)為 b1＝12 － 1＝ 1 ，公差為 1 的等差數(shù)列． (2) 由 (1) 知 bn＝ n ， ∵ cn＝1bnbn ＋ 2＝1n ? n ＋ 2 ?＝12????????1n－1n ＋ 2， ∴ Sn＝12 ??? ??????1 －13＋??????12－14＋??????13－15＋ ? ＋ ????????????1n － 1－1n ＋ 1＋????????1n－1n ＋ 2 ＝12????????1 ＋12－1n ＋ 1－1n ＋ 2＝34－2 n ＋ 32 ? n ＋ 1 ?? n ＋ 2 ?. 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) [ 例 3] ( 2022 OB n( 其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn) ) ， 求數(shù)列 { bn} 的前 n 項(xiàng)和 Sn. 數(shù)列與函數(shù)、方程的綜合應(yīng)用 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) [ 自主解答 ] (1) 以點(diǎn) An － 1( an － 1， a2n － 1)( n ≥ 2) 為切點(diǎn)的切線方程為 y － a2n － 1＝ 2 an － 1( x － an － 1) ． 當(dāng) y ＝ 0 時(shí)，得 x ＝12an － 1，即 an＝12an － 1. 又 ∵ a1＝ 1 ， ∴ 數(shù)列 { an} 是以 1 為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列． ∴ 通項(xiàng)公式為 an＝??????12n － 1. 核心考點(diǎn)突破 高考熱點(diǎn)透析 解題模型構(gòu)建 預(yù)測(cè)演練提能 質(zhì)量鑄就品牌 品質(zhì)贏得未來 第二講 高考中的數(shù)列 (解答題型 ) 數(shù) 學(xué) (2) 由題意，得 Bn????????????12n － 1， n － 1 . ∴ bn＝ OA n( n