【正文】 運(yùn)算誤差小有反饋 FIR濾波器特性FIR濾波器實(shí)質(zhì)上是一個(gè)分節(jié)的延遲線，把每一節(jié)的輸出加權(quán)累加，便得到濾波器的輸出。當(dāng)FIR濾波器單位響應(yīng)具有偶對稱時(shí)： (13) 此時(shí)，單位取樣響應(yīng)有M+1個(gè)點(diǎn)不為零，其系統(tǒng)函數(shù)為 (14) 令k=Mn,代入上式， (15) (16) 濾波器頻率響應(yīng)為 (17)令 則 (18)顯然，是實(shí)的、偶的，且為w的周期函數(shù)，其相位特性,具有嚴(yán)格的線特性，且系統(tǒng)群延時(shí)為 (19)即系統(tǒng)的群延時(shí)為單位取樣響應(yīng)長度的一半。從上述分析可知無論FIR濾波器單位樣值響應(yīng)是偶對稱還是奇對稱的，系統(tǒng)均具有線性相位特性,是數(shù)字濾波器中常用的設(shè)計(jì)類型。MATLAB是MathWorks產(chǎn)品家族中所有產(chǎn)品的基礎(chǔ)，它包括了基本數(shù)學(xué)計(jì)算、編程環(huán)境（M語言）、數(shù)據(jù)可視化、GUIDE等。MATLAB提供了基本的數(shù)學(xué)計(jì)算，例如矩陣運(yùn)算、符號(hào)運(yùn)算、集成了2D和3D圖形功能，已完成相應(yīng)數(shù)值可視化的工作，并且提供了一種交互式高級編程語言M語言，利用M語言可以通過編寫腳本或者函數(shù)文件實(shí)現(xiàn)用戶自己的算法。這樣就可以擴(kuò)展MATLAB功能，使MATLAB能夠同其他高級編程語言例如C、C++語言進(jìn)行混合應(yīng)用，取長補(bǔ)短，以提高程序的運(yùn)行效率，豐富程序開發(fā)的手段。這些工具箱應(yīng)用的算法是開放的、可擴(kuò)展，用戶不僅可以查看其中的算法，而且可以針對一些算法進(jìn)行修改，甚至允許開發(fā)自己的算法擴(kuò)充工具箱的功能。Simulink是基于MATLAB的動(dòng)態(tài)仿真設(shè)計(jì)環(huán)境，可用來對各種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、分析和仿真，它的建模范圍廣泛，可以針對任何能夠用數(shù)學(xué)來描述的系統(tǒng)進(jìn)行建模，例如航空航天動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)、衛(wèi)星控制指導(dǎo)系統(tǒng)、通信系統(tǒng)等，其中包括連離散、條件執(zhí)行、事件驅(qū)動(dòng)、單速率、多速率和混雜系統(tǒng)等，Simulink提供了利用鼠標(biāo)拖放的方法建立系統(tǒng)框圖模型的圖形界面，而且它還提供了豐富的功能模塊以及不同的專業(yè)模塊集合，利用Simulink幾乎可以做到不用書寫一行代碼完成整個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)建模工作。利用多速率技術(shù)可以減少在信號(hào)存儲(chǔ)、傳送、處理過程中的運(yùn)算量。但在實(shí)際系統(tǒng)中，有時(shí)需要不同的抽樣率，會(huì)遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問題，即要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)，以適應(yīng)不同系統(tǒng)之間的級聯(lián)，利于信號(hào)的處理、傳輸和節(jié)省計(jì)算工作量。在滿足抽樣定理的前提下，數(shù)據(jù)速率的轉(zhuǎn)換有兩種途徑：一種是將某一抽樣率得到的數(shù)字信號(hào)經(jīng)數(shù)/模轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，而后將模數(shù)轉(zhuǎn)換器用另一個(gè)抽樣率得到；另一種方式是利用數(shù)字信號(hào)處理的方法直接完成抽樣率的轉(zhuǎn)換。速率轉(zhuǎn)換的基本方法是抽取及插值操作，使抽樣率降低的轉(zhuǎn)換稱為抽取，使抽樣率升高的轉(zhuǎn)換器稱為內(nèi)插。多速率信號(hào)濾波器本質(zhì)上線性相位的FIR濾波器，常用的多速率濾波器有：多速率FIR濾波器、積分梳妝（Cascaded Integrator Comb，CIC）濾波器和半帶（Half Band，HB）濾波器。（Decimation）圖21抽取概念示意圖Fig21 The concept diagram of decimation抽?。航档筒蓸勇室匀サ舳嘤鄶?shù)據(jù)的過程。通常用符號(hào) D表示將抽樣率降為原來的1/D。即x(n1T1)=xa(n1T1)且T2=DT1。其插值的概念示意圖24所示，圖24插值的概念示意圖Fig24 The concept diagram of interpolation整數(shù)倍內(nèi)插與抽取的過程是一樣的，只需根據(jù)內(nèi)插倍數(shù)在相鄰兩個(gè)抽樣點(diǎn)之間插入相應(yīng)的零值即可，其中T1=IT2后再提高了數(shù)據(jù)采樣頻率的同時(shí)，其頻譜的周期增加量了I倍。下面用圖226形象的表明在一個(gè)系統(tǒng)中內(nèi)插的結(jié)構(gòu)框圖和各節(jié)點(diǎn)信號(hào)的頻譜變化來說明。圖26插值信號(hào)和相應(yīng)頻譜圖Fig26 The interpolating signals and the corresponding spectrum插值濾波器是一種結(jié)構(gòu)相對較為簡單、整齊劃一、占用存儲(chǔ)量小的濾波器，廣泛應(yīng)用于數(shù)字示波器、數(shù)字通信和全數(shù)字收發(fā)機(jī)中。在插值濾波器的具體實(shí)現(xiàn)中，人們大多使用DSP來實(shí)現(xiàn)，但由于DSP具有串行執(zhí)行指令的特點(diǎn)，使得其在高速信號(hào)處理中無法滿足設(shè)計(jì)需要。在數(shù)學(xué)上從一個(gè)給定的信號(hào)采樣率f0=1/T，轉(zhuǎn)換到另一個(gè)不同的采樣率f的過程叫做采樣率轉(zhuǎn)換，當(dāng)f f0或者T0T時(shí)，這個(gè)過程被稱為插值。使用這種方法來提高采樣信號(hào)的采樣率，必須注意該采樣頻率需要滿足奈奎斯特采樣率。插零算法則是在采樣點(diǎn)之間插入L1個(gè)0值點(diǎn)，然后進(jìn)行低通濾波器，即可獲得L倍內(nèi)插的結(jié)果。、y(n2T2)的傅里葉變換為：,二者均為周期函數(shù)，將二者都用模擬頻率Ω表示，則，周期為Ω1=， (21)，周期為Ω2===LΩ1 (22) (23)的傅里葉變換為： (24) 當(dāng)在0~變化時(shí)，范圍內(nèi)變化，因此上式表明的頻譜以為中心對x(n)的頻譜進(jìn)行周期重復(fù)，重復(fù)周期為。插值器后輸入輸出關(guān)系： (210)頻域輸入輸出關(guān)系： (211) )H(z) (212)設(shè)計(jì)插值濾波器的關(guān)鍵問題是插值后其低通濾波器性能的確定，下面簡述低通濾波器的分析。1）FIR線性相位濾波器。圖28 FIR內(nèi)插系統(tǒng)的直接實(shí)現(xiàn)Fig 28 The direct realization of FIR interpolation system圖29 FIR內(nèi)插系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)Fig 29 The equivalent architecture of FIR interpolation system 2）FIR多相插值濾波器插值濾波器輸出： (215)取r=[]n，“[]”表示小于或等于括號(hào)內(nèi)的整數(shù)，有 (216) 取對所有的m和n值，其是一個(gè)周期為L的周期時(shí)變?yōu)V波器，系數(shù)與x（rn）相乘分別產(chǎn)生輸出Y（rL）、Y（rL+1）、Y（rL+2）……Y（rL+L1）故多相濾波器為 ,p=0,1,….L1多相濾波器第p個(gè)支路的輸出產(chǎn)生，因此對每個(gè)輸入x(n)，多相網(wǎng)絡(luò)L個(gè)分支的每一個(gè)分支提供一個(gè)非零輸出，由此推導(dǎo)出的FIR多相插值濾波器結(jié)構(gòu)如圖所屬，對應(yīng)反時(shí)針轉(zhuǎn)換器模型如圖(b)所示，在圖(b)中，轉(zhuǎn)換器反時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在m=0時(shí)刻從p=0開始，當(dāng)每個(gè)多相濾波器在n=mL時(shí)收到一個(gè)新的輸入時(shí)，多相濾波器進(jìn)行處理求和得到Y(jié)(m)的L個(gè)輸出信號(hào)。3）多級插值濾波器多級插值的優(yōu)點(diǎn)是：可顯著降低運(yùn)算量和存儲(chǔ)量。如下圖210所示：將L分解成整數(shù)的乘積 ，I待定，可以將圖(a)所示的插值濾波器的結(jié)構(gòu)分解為圖(b)的結(jié)構(gòu)，并進(jìn)一步表示為圖(c)所示的由一個(gè)獨(dú)立插值級表示的結(jié)構(gòu)。為了補(bǔ)償多級時(shí)通帶紋波隨級數(shù)而增大，多級插值濾波器第i級紋波系數(shù)需改成使設(shè)計(jì)出的復(fù)合濾波器的通帶紋波指標(biāo)得以滿足。在上述給定的參數(shù)下，多級插值濾波器的每一級的抽頭系數(shù)N可以采用最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)出。分析結(jié)果表明插值特性如下：（1）總級數(shù)I從1增加到2時(shí)，可獲得最大程度的運(yùn)算量的減少，I從2增加到3或4時(shí)，改善的程度不明顯；（2）總級數(shù)I從1增加到2時(shí)，存儲(chǔ)量明顯降低，I從2增加到3或4時(shí)，對大的L值，存儲(chǔ)量仍有明顯降低；（3）I級最小化的插值因子遵循如下的關(guān)系：L1〉L2〉…Li（4）I級最小化設(shè)計(jì)中，每級所需的運(yùn)算量和存儲(chǔ)量對Li的變化不敏感，因此可用最近的整數(shù)代替Li（i=1，2，…I）。所以本次設(shè)計(jì)插值濾波器考慮采用3級插值結(jié)構(gòu)。抽取是降低信號(hào)采樣率的一個(gè)過程，用圖形形象的表示了抽取各個(gè)過程的信號(hào)圖，插值是升高采樣率的過程，同樣也用圖形形象的表示了插值各個(gè)過程的信號(hào)圖，然后章節(jié)又著重介紹了插值濾波器的定義和用途，用數(shù)學(xué)公式原理的推導(dǎo)出插值原理，用理論依據(jù)給出證明了圖形中信號(hào)圖示的緣由。3系統(tǒng)設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)通常在設(shè)計(jì)濾波器之前，應(yīng)該先根據(jù)具體的工程應(yīng)用確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。插值操作本身實(shí)現(xiàn)起來很簡單，因此關(guān)鍵的問題是在于怎么實(shí)現(xiàn)滿足要求的低通濾波器。在信號(hào)處理系統(tǒng)中，F(xiàn)IR濾波器的實(shí)現(xiàn)方法有兩種形式[14]：軟件算法或是數(shù)字電路，詳細(xì)可以分為以下一類：1）數(shù)字電路：在通信系統(tǒng)的數(shù)字中頻部分，通常用數(shù)字電路來實(shí)現(xiàn)，因?yàn)檫@樣能夠在單位時(shí)鐘周期的時(shí)間精度上保證數(shù)據(jù)處理的實(shí)時(shí)性?？梢岳脙煞N方式：第一：用單片機(jī)來實(shí)現(xiàn)。第二：利用專門用于信號(hào)處理的DSP片來實(shí)現(xiàn)。 2）軟件算法通常信號(hào)處理的軟件使用C語言編寫，數(shù)字電路用Verilog或是VHDL來設(shè)計(jì)，但是在硬件的環(huán)境中，調(diào)試是一件比較麻煩的事情，因?yàn)椴东@和觀察數(shù)據(jù)的手段比較有限，所以，通常先用Matlab來做個(gè)仿真，然后對著這個(gè)仿真來編寫C程序或是Verilog代碼，這樣硬件上的信號(hào)處理開發(fā)就相對容易實(shí)現(xiàn)一些，即：對著Matlab仿真里面的正確數(shù)據(jù)來判斷硬件環(huán)境里面的數(shù)據(jù)是否正確。表31 64倍插值濾波器規(guī)格Table31 The specification of the 64OSR interpolation filterParameterSymbolValueUnitsInput DataData_in16bitsInput Sample RateFs,inkHzSignal BandwidthfBo20kHzPassband RippledBStopband Attenuation60dBHBF1 Sample Rate2fs,inkHzHBF2 Sample Rate4fs,inkHzCIC Sample Rate64fs,inkHzOutput DataData_Out16bits在確定插值濾波器的參數(shù)指標(biāo)后，設(shè)計(jì)一個(gè)插值倍數(shù)為64倍的系統(tǒng)，需要明確以下幾點(diǎn)：1） 插值采用何種算法2） 64倍采樣率采用哪種結(jié)構(gòu)的插值濾波器3） 各個(gè)級的濾波器的選擇問題4） 濾波器設(shè)計(jì)架構(gòu)選擇對于第一個(gè)問題：根據(jù)多抽樣率信號(hào)理論，內(nèi)插過程又分為零插值和線性插值兩種算法。頻譜圖形參考圖26，但線性插值不同，線性插值不能充分衰減信號(hào)頻譜的鏡像，應(yīng)用具有局限性，因此本文采用零插值算法實(shí)現(xiàn)。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，對于過采樣率較大的插值濾波器，如果采用單極的結(jié)構(gòu)，使采樣頻率一次性從fs提升到OSR*fs，這會(huì)使濾波器中所有的數(shù)字電路都給工作在相當(dāng)高的頻率上，消耗大量的功耗，占有很多的硬件資源，同時(shí)，低通濾波器要達(dá)到的通帶和過渡帶都非常窄，所需的低通濾波器h(n)的階數(shù)非常高，乃至無法實(shí)現(xiàn)。因此為解決這個(gè)問題，可以采用多個(gè)濾波器級聯(lián)，逐級提升采樣頻率的方法?？傊捎枚嗉壗Y(jié)構(gòu)，在簡化電路總體結(jié)構(gòu)的同時(shí)降低了整個(gè)濾波器的工作頻率，減少功耗和面積，而且大大減少運(yùn)算量和硬件資源。對于第三個(gè)問題：從上文的分析可知，F(xiàn)IR濾波器有優(yōu)良的線性相位特性，本次設(shè)計(jì)的濾波器都采用FIR形式，第一級采用半帶濾波器，實(shí)現(xiàn)兩倍插值。由于前端的濾波器很好的控制了濾波器的參數(shù)，因此，這一級不需要很多的系數(shù)就可以確保插值的精度，面積上開銷也比較容易控制；最后一級采用CIC濾波器，實(shí)現(xiàn)16倍采樣率。 插值濾波器的具體設(shè)計(jì) 半帶濾波器的設(shè)計(jì)1）半帶濾波器介紹半帶濾波器是按照處理阻帶和通帶頻率對稱的FIR濾波器設(shè)計(jì)的，它特別適用與過采樣倍數(shù)為2的抽取或插值。根據(jù)定義，半帶濾波器必須滿足頻率對稱條件：Fs=1/2Fp。由此半帶濾波器幅頻響應(yīng)圖如下所示：圖32半帶濾波器幅頻響應(yīng)曲線Fig32 The amplitude frequency response curve of the halfband filter半帶濾波器的特征介紹：（1）半帶濾波器的沖激響應(yīng)除了零點(diǎn)不為零外，在其余偶數(shù)點(diǎn)均為零， (31)（2）半帶濾波器所要求的濾波器模板必須關(guān)于fs/4對稱，即,而且濾波器的參數(shù)個(gè)數(shù)必須為奇數(shù)；（3）濾波器的頻率響應(yīng)以中心對稱，即。2）半帶濾波器的分析與設(shè)計(jì)半帶濾波器位于整個(gè)插值濾波器的最前端，因此對于半帶濾波器的設(shè)計(jì)需要留出足夠的余量。同樣對于第二級半帶濾波器，過渡帶應(yīng)在20KHz~，綜合以上分析，半帶濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)如下表：表32半帶濾波器設(shè)計(jì)參數(shù)表Table 32 The parameters index of halfband filter 半帶濾波器信號(hào)帶寬（KHz）采樣頻率（KHz） 通帶截止頻率（KHz）阻帶截止頻率（KHz）通帶波紋阻帶衰減Stage_1202060Stage_220 20 100半帶濾波器架構(gòu)采用Saramaki[15]提出的FIR濾波器架構(gòu)，這種架構(gòu)可以大量減少不同