【正文】 一個 或者可以等效為一個 儲能元件 的線性電路，其電路方程是一階常系數(shù)微分方程，稱為一階電路（ first order circuit）。 C??SURa b ?? )(tuC)(ti由 KVL得： 0?? RiuCdtduCi C??又有 )0(0 ???? tudtduRCCC0)0( ??Ru 0)0( ??i上式是關(guān)于 uc的一階齊次微分方程， )0()(10 ??? teUtu tRCC）（ 0)()(1??? ? teUtutu tRCSRC任意一階 RC電路的零輸入響應(yīng)為 ： )0()(10 ??? teIti tRCtCu00Ui00IC??SURa b ??)(tuC)(titRu00U)0()(10 ??? teUtu tRCR)1()0(0 ???? tudtduRC CCSCSCC UuAUuu ???? ??? )0(2)0()0( ）得代入式（將)0()()(1?????? ?? teRUeUdtdCdtduCti tRCSRCtsC其中 A 為待定的積分常數(shù)， p與式（ 1）對應(yīng)的特征方程的特征根。換路后，所有的響應(yīng)都是按相同的指數(shù)規(guī)律衰減。 ③ 衰減的速度取決于 1/RC（衰減系數(shù)）。具有頻率的量綱。具有時間的量綱。越小衰減越快，放電時間越長，越大衰減越慢，放電時 ????? ??????????tteUeUdtduutguCD001tRu0PC D?④ 響應(yīng)與其初始值成正比 。 ⑤ 一階 RC電路的零輸入響應(yīng)是靠電容中儲存的電場能的釋放維持，釋放的能量同時被電阻消耗，暫態(tài)過程最后以能量的耗盡而告終。 WR=WC 一階 CR電路的零輸入響應(yīng)的求解步驟： ① 求解電路換路前的狀態(tài)。（第一節(jié)） 紐看進去的等效電阻。 二、一階 RL電路的零輸入響應(yīng) 如圖所示電路，換路前電路已達穩(wěn)態(tài)： ,)0( 00IRR Ui SL ????在 t=0時，開關(guān)突然合上，電感通過電阻 R形成回路，此時電感回路已沒有外施激勵源， ,)0( 00RIRR RUu SR ????0)0( ??Lu電路中的響應(yīng)由電感的初始狀態(tài)引起，即為零輸入響應(yīng)。式（ 1）的特征方程為 LRpRLp ????? 特征根為：0其通解的形式 為 )2(ptL Aei ?)1()0(0 ???? tRidtdiL LL一階 RL電路的零輸入響應(yīng)有以下特點： ① 換路瞬間電感電流保持不變，電壓發(fā)生突變釋放磁場能。 ② 衰減的 指數(shù)規(guī)律 僅由 RL電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定 與變量的選擇無關(guān) 。 固有頻率。稱為時間常數(shù)。稱為令秒）的單位為則的單位為，的單位為ppRLsRLHLR,1,/(/,?????????),0()( 0 ??? ? teUtu tL ?),0()(0 ???? teIti tL ? ),0()( 0 ?? ? teUtutR ?間越短。初始值增大幾倍，響應(yīng)增大幾倍。此為一階 RL電路的零輸入響應(yīng)的 實質(zhì)。 ③ 求時間常數(shù)： ② 求解電路換路后初始值。為換路后從電感兩個端RRL ,/??④ 代入 （ *） 式。壓或電流，為換路后任意支路的電 )0()( ?ftf② 時間常數(shù)取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù) 阻兩端紐看進去的等效電或電感為電容，電路中，電路中LCRRLRLRCRC /?? ??③ 一階電路的零輸入響應(yīng)與其換路后的初始值成正比 例 已知開關(guān)在 a時電路處于穩(wěn)態(tài)， t=0時開關(guān)由 a搬到 b，求 （ 1） i=?(t≥0)。此時電路的初始狀態(tài)為零，響應(yīng)由外施激勵源引起，為零狀態(tài)響應(yīng)。對應(yīng)齊次方程 0?? CC udtduRC)()(39。 SCSC UtuUBBtu ??? )(39。)()(39。 即，代入原方程得恒定量 由 電路知 US是換路后電路重新達到穩(wěn)態(tài)即t=+∞時電容電壓 。39。39。)(完全解：SCC UAuu ???? ?? 代入方程得將 0)0()0()0)(1()( ?????? ?? teUeUUtutStSSC ??C??SUR?? )(tuC)(ti?? )(tuR),0()( ??? ? teRUdtduCtitSC ? )0()( ??? teUtu tSR ?iuC,0 t從上述過程可以看出： SU)(tuC)(tuR)(tiRUS一階 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)有以下特點： ① 電容上的電壓（狀態(tài)）從初始值開始逐漸增加，最后達到新的穩(wěn)態(tài)值。 tuCa:穩(wěn)態(tài)分量 (steady stat ponent)：方程的特解即 電路達到穩(wěn)態(tài)時的穩(wěn)態(tài)值 。其形式與外施激勵源 無關(guān) 也稱為 自由分量 (forcefree ponent )。 ② 電流在換路瞬間發(fā)生突變，其值為 US/R即換路后的初始值，電路以此值開始給電容充電，隨著極板上的電荷增多電容電壓的增大， i=(USuC)/R減小，最后為零，電容電壓為 US。電源在充電過程中提供的能量， 一部分轉(zhuǎn)化成電場能儲存在電容 中，一部分被電路中的電阻消耗 。 充電效率 50﹪ ，與電阻電容數(shù)值無關(guān)。 )0()( ??? tuRidtdiLti SLLL ：為變量列寫微分方程為以其解由兩部分組成： )/()(39。39。39。)( ?????? ? tRUAetititi StLLL ?完全解：RUAiiLLS?????? 代入方程得將 0)0()0()0)(1()( ?????? ?? teRUeRURUtittL ??SSS),0()( ??? ? teUdtdiLtutSLL ?)0)(1()( ??? ? teUtu tSR ?)(39。 tiLuiL,0 tSU)(tuL)(tuRRUS?RUS )(tiL)(39。其暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量的意義與 RC電路相同。 ③ 一階 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)實質(zhì)是電路儲存磁場能的過程。且有 WL=WR電源提供的能量只有一半儲存在電感中。 )(39。 tiLuiL,0 tSU)(tuL)(tuRRUS?RUS )(tiL)(39。 iRL??OCU??)(tuL)(tiLC??OCU??)(tuC)(tiiR② 據(jù) 狀態(tài)變量 的響應(yīng)模式得 ))(0)(1()( OC CRτteUtu itC ????? ?)/)(0)(1()( itiL RLτteRUti ???? ? ?OC③ 回到 換路后 的原電路，利用 uC（或 iL）按 電路的基本約束關(guān)系求解其它電壓和電流 。 電路達到穩(wěn)態(tài)時的穩(wěn)態(tài)值 ，是 與 外施激勵源同頻率的正弦量。)( ZLL θψωtIti ??? m為：穩(wěn)態(tài)分量特解② 通解 (暫態(tài)分量 )： )/()( 為時間常數(shù)RLAeti tL ?? ? ??)0()c os ()(39。)(39。暫態(tài)分量經(jīng)一定時間衰減后，電路進入穩(wěn)定狀態(tài)。 )(02過電流最大電流周期附近出現(xiàn)大，電路合閘后的半個暫態(tài)分量的起始值為最時，閘后直接進入穩(wěn)態(tài)。 ti L)( ti L)(tiLt0 )(tiL外施激勵源為交流時的一階電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解步驟： ① 求出換路后動態(tài)元件以外的戴維南等效電路。 )0()0(39。)( ??? ?? teutututCCC ?電容電壓模式：)0()0(39。)( ??? ?? teitititLLL ?電感電流模式：外施激勵源為正弦量時的一階電路零狀態(tài)響應(yīng)實為求解穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)兩要素。 解：求出換路后動態(tài)元件以外的戴維南等效電路。如圖所示一階 RC電路： C??SUR?? )(tuC)(tiS)0( ?t0)0( Uu C ???C??SUR??)()1( tuC)()1( tiS)0( ?t0)0()1( ??Cu?RC??)()2( tuC)()2( ti0)2( )0( Uu C ??)1()1( ?tSC eUu???零狀態(tài)響應(yīng)：?tC eUu??0)2(零輸入響應(yīng)：??ttSCCC eUeUuuu?? ?????0)2()1( )1(全響應(yīng)：?tSSC eUUUu???? ）（可寫為：0t0)(tuCSU0U充電0U放電??ttSSC eUeUUu?? ???0全響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)分量 暫態(tài)分量 sCC UudtduRC ??為：換路后電路的微分方程sC Uu ?39。39。39。則有：sCC UUAUuut ?????? ??? 00)0()0(0 時，當(dāng)τtC eUUUu???? ）（全響應(yīng)為：S0SC??SUR?? )(tuC)(tiS)0( ?t0)0( Uu C ????ttSSC eUeUUu?? ???0全響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)分量 暫態(tài)分量 ?????暫態(tài)分量（自由分量）穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)說明 （ 1）各分量含義不同，分量之間不存在一一對應(yīng)關(guān)系。 線性一階電路 任意一個電路變量的全響應(yīng) 都可分為穩(wěn)態(tài)分量（特解）和暫態(tài)分量（通解） ?tAetftftftf ????? )(39。)()0(39。)0()(39。)(39。2( )0(1)()( ??ttefeftf ??? ???? ）（對于 狀態(tài)變量 ，“ ′”式第一部分為零狀態(tài)響應(yīng)，第二部分為零輸入響應(yīng)。 39。)(39。 ?ftf確定。 ?ftf穩(wěn)態(tài)分量、初始值和時間常數(shù)稱為一階電路的三個要素，按式（ 1）來求全響應(yīng)的方法稱為“三要素法”。)0()(39。②要具有穩(wěn)態(tài)分量。 例 假設(shè)開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，求響應(yīng) iL(t)?t≥0。求 uL(t)?t0。 ??? LL iitL Aei 439。 ??tLLL Aeiii 439。39。 ??????0100)(ttt?單位階躍函數(shù)：)()( tUtu SS ??????????000 10)(tttttt?延遲單位階躍函數(shù)：01)(t?t )( 0tt ??01t t0 特性 ： ① 可描述任意函數(shù)的起始和終止即定義域，具有“裁剪”的作用，稱其為 閘門函數(shù) 。在的矩形脈沖，高度為可看作寬度為???1t01)( 1tt ??t1 )( 1ttK ??t0Kt1 “強度”為 K的延時的單位沖激函數(shù) 延時的單位沖激函數(shù) 特性：采樣性或篩分性 )()0()()( tfttf ?? ?)0()()0()()( fdttfdtttf ?? ?? ??????????)()()()( ????? ??? tfttf)()()()()( ?????? fdttfdtttf ???? ?? ????????三、單位沖激函數(shù)與單位階躍函數(shù)的關(guān)系 )()0(1 )0(0)( tttdt???? ??????????)()( ttdtd?? ?說明：沖激函數(shù)能把一個函數(shù)在沖激函數(shù)存在時刻的函數(shù)值篩分出來。據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法 C???)(tR?? )(tuC)(ti?? )(tuR)()1()( tetutC ????? )(1)( teRtit????。 例 810 圖示電路接入圖示的矩形脈沖電壓，已知 uC(0)=0，試求： uC及 i。 ① 當(dāng)電容有沖激電流通過時，電容電壓將發(fā)生躍變 . dtiCtutu tt cCC)(1)()(00 ????已知：CudtCuu CCC1)0()(1)0()0( 00???? ??? ? ????則有：)(1)0(,0)0( 強迫躍變則因換路前 Cuu CC ?? ??② 在沖激激勵下 ,電容電壓發(fā)生躍變 ,即在換路瞬間 ,電容短路 ，電壓躍變到 1/C,t0以后電路的輸入為零 ,所以 電路的沖激響應(yīng)相當(dāng)于 uc(0+)=1/C所引起的零輸入響應(yīng)。 )()()()( tsdtdthtdtdt ??? ???例 81圖示電路已知 iL(0)=0，輸入為沖激電壓源。 )( tRidtdiL LL ???解法一：??? ?????? ?? 000000 )( dttdtRidtdtdi