【正文】 第八章 線性動態(tài)電路的時域分析 RLC?? )(tuR?? )(tuC?? )(tuL?? )(tuS（ linear dynamic circuit time domain analysis） 穩(wěn)態(tài)： 在前面介紹的電路中，外施激勵源不管是交流、直流還是非正弦周期變化的，我們認為其 作用 在電路上已經(jīng) 很久 ，因此只要電路的結構和參數(shù)一定，電路中的響應也是呈交流、直流或非正弦周期規(guī)律變化。電路的這種工作狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)（ steady state ）。 S暫態(tài)： 電路的工作條件突然變更，如①開關動作（ switching ）②故障（ fault）③參數(shù)的變化， 電路的穩(wěn)態(tài)遭到破壞，電路中的響應出現(xiàn)變動，經(jīng)過一段時間后，電路中電流、電壓又會達到一個新的穩(wěn)定值，即達到新的穩(wěn)態(tài)。電路從一個穩(wěn)態(tài)到另一個穩(wěn)態(tài)之間的過渡 過程稱為暫態(tài)。 研究電路的暫態(tài)①可以確定電力系統(tǒng)的保護措施。②避免電路的振蕩③可獲得最優(yōu)最快的控制特性。 線性動態(tài)電路： 電路暫態(tài)的存在是由于電路包含了電容、電感兩種儲能元件，其能量的變化需要過程。電容、電感也稱為動態(tài)元件，含有線性動態(tài)元件的電路稱為線性動態(tài)電路，簡稱動態(tài)電路。 第一節(jié) 動態(tài)電路的初始條件和初始狀態(tài) 1）換路： 電路工作條件的改變稱為換路（如開關的接通或扳斷、參數(shù)的變化）。將換路發(fā)生的時刻或時間點稱為 初始瞬間 （ initial instant）記為t=t0,一般取 t=0,把換路前趨近于換路時的一瞬間記為 t=0（ t= t0 ），把換路后的初始瞬間記為 t=0+ （ t= t0+ ） 2）狀態(tài)： 電路中電容上的電壓和電感上的電流直接反映了電路的儲能情況，因此常常將 uC(t)， iL(t)稱為電路的狀態(tài) 。它們是確定電路響應的 一、動態(tài)電路的微分方程 3）換路后電路方程：仍由 KVL及 VCR可得動態(tài)電路的微分方程。 最少信息（數(shù)據(jù)），一般以其為變量即所謂的 狀態(tài)變量 列寫動態(tài)電路的方程。 uC(0 )， iL(0 ) 為換路前瞬間電路的狀態(tài)， uC(0+ )， iL(0+ ) 為換路后初始瞬間的狀態(tài)，簡稱 初始狀態(tài) 。由初始狀態(tài)可以確定電路其它電氣量 換路后初始瞬間 的值， 即初始條件。 RLC?? )(tuR?? )(tuC??)(tuL?? )(tuSS)(ti)0)(()()()( ???? ttutututu SCLR,)( dtduRCtu CR ?,)( dtduCti C? 22)( dt udLCtu CL ?① 以 uc(t)為變量 )0(22????? tuudtduRCdt udLC CCC S)0)(()()()( ???? ttutututu SCLR,)( LR Ritu ?,)( Liti ? ,)(dtdiLtu LL ??? diCtu t LC ?? 0 )(1)()0()(10????? ? tudiCdtdiLRi St LLL ??)0(22????? tdtduCidtdiRCdt idLC SLLL② 以 iL(t)為變量 二、換路定律 ① 對于線性電容，在任意時刻 t其電壓（電荷）與電流的關系為 ： dtiCtutu tt cCC )(1)()(00????dtitqtq tt cCC )()()(00????dtiCtutu tt cCC )(1)()( 0000?? ???? ??初始瞬間 dtitqtq tt cCC )()()( 0000?? ???? ??RLC?? )(tuR?? )(tuC??)(tuL?? )(tuSS)(ti一般的電路在換路瞬間通過電容的電流為有限值，同時時間是連續(xù)的 , 所以 )()( 00 ?? ? tqtq CC0)(1 00?? ??dtiC tt c ?0)(00?? ??dtitt c ??電容上電荷和電壓換路先后不發(fā)生躍變。（通過電流為有限值時） )0()0( ?? ? CC uu)0()0( ?? ? CC qq② 對于線性電感，在任意時刻 t其電流（磁鏈）與電壓的關系為 dtuLtiti tt LLL )(1)()(00????dtutt tt LlL )()()(00??? ???dtuLtiti tt LLL )(1)()( 0000?? ???? ??初始瞬間 dtutt tt LLL )()()( 0000??? ? ???? ??)()( 00 ?? ? tutu CC)()( 00 ?? ? tt LL ??0)(1 00?? ??dtuL tt L ?0)(00?? ??dtutt L ??)0()0( ?? ? LL ii)0()0( ?? ? LL ??)()( 00 ?? ? titi LL一般的電路在換路瞬間加在電感的電壓為有限值，同時時間是連續(xù)的 , 所以 電感上磁鏈和電流換路先后不發(fā)生躍變。（所加電壓為有限值時） 求得 換路前電路穩(wěn)態(tài)時的狀態(tài) ，由換路定律可得電路的 初始狀態(tài)，在 t=0+時，將 電容看作 值為 uC(0+ )的 電壓源 ， 電感看作 值為 iL(0+ )的 電流源，獨立源取 t=0+的值 ，從而建立 t=0+的電路模型，求得電路的 初始條件。 )0()0()0( 1 ??? RLC iui ，求開關打開瞬時的LC?? )(tuL??SU1R 2R3R )(1 tiR )(tiCVFHΩΩ S 10,1,2,4 321 ?????? UCLRRR已知：① 畫出 t= 0 的電路圖，求開關打開前 uC (0), iL( 0) ,5)0( A??Li V10)0( ??Cu② 由換路定理，畫出 t=0+的電路圖， 例：圖示電路 . )0( ?Li???)0(Cu??SU 1R 2R1R3R???)0(Cu)0( ?Li??SU?? ?)0(Lu)0( ?Ci)0(1 ?Ri,5)0( A??Li V10)0( ??Cu)0(1 ??RiV0)0( ??Lu)0( ??Ci進一步可求各階導數(shù)的初始值 例 2：圖示電路，開關斷開前電路已達穩(wěn)態(tài)， t=0時開關 S斷開，求： ????00,),0(),0(dtdidtduiu LCLC解： Vuu CC 4)0()0( ?? ??Aii LL 1)0()0( ?? ??sVCidtdu CC /2)0( ??? ?0)0( ?? ?Ludtdi LL說明： 由 uC(0+)、 iL(0+)及激勵，就能確定電路 (t＝ 0+)的其他初始值； uC(0+)、 iL(0+)稱為電路的初始狀態(tài)，它們反映了電路初始儲能狀況。 第二節(jié) 一階電路的零輸入響應 動態(tài)電路的響應由兩種 激勵 (excitation)產生：①獨立電源的輸入（ input)（ 外施激勵源 ） ②動態(tài)元件儲能的釋放即 初始狀態(tài) （ state）（ 內部激勵源 ）。外施激勵源為零，由初始狀態(tài)引起的響應稱為 零輸入響應（ zeroinput response） 。初始狀態(tài)為零，由外施激勵源引起的響應稱為 零狀態(tài)響應（ zerostate response） 。外施激勵源和初始狀態(tài)共同引起的響應稱為 全響應（ plete response） 一階電路的定義： 換路后 ，電路中僅含 一個 或者可以等效為一個 儲能元件 的線性電路，其電路方程是一階常系數(shù)微分方程，稱為一階電路（ first order circuit）。 一、一階 RC電路的零輸入響應 如圖所示電路，換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，電容器充電至電源電壓： ,)0(SC Uu ??在 t=0時，開關突然由 a打向 b，電容通過電阻 R形成回路放電，此時電路已沒有外施激勵源， 其中的響應由電容的初始狀態(tài)引起，即零輸入響應。 C??SURa b ?? )(tuC)(ti由 KVL得： 0?? RiuCdtduCi C??又有 )0(0 ???? tudtduRCCC0)0( ??Ru 0)0( ??i上式是關于 uc的一階齊次微分方程， )0()(10 ??? teUtu tRCC）（ 0)()(1??? ? teUtutu tRCSRC任意一階 RC電路的零輸入響應為 ： )0()(10 ??? teIti tRCtCu00Ui00IC??SURa b ??)(tuC)(titRu00U)0()(10 ??? teUtu tRCR)1()0(0 ???? tudtduRC CCSCSCC UuAUuu ???? ??? )0(2)0()0( ）得代入式（將)0()()(1?????? ?? teRUeUdtdCdtduCti tRCSRCtsC其中 A 為待定的積分常數(shù)， p與式（ 1）對應的特征方程的特征根。式（ 1）的特征方程為： RCpR C p101 ????? 特征根為：其通解的形式 為： )2(ptC Aeu ?一階 RC電路的零輸入響應有以下特點： ① 換路瞬間電容電壓保持不變 ， 電流發(fā)生突變形成放電過程 。換路后，所有的響應都是按相同的指數(shù)規(guī)律衰減。 ② 衰減的指數(shù)規(guī)律僅由電路的結構和參數(shù)決定與變量的選擇無關 。 ③ 衰減的速度取決于 1/RC（衰減系數(shù)）。 固有頻率。具有頻率的量綱。稱為時間常數(shù)。具有時間的量綱。稱為令秒）的單位為則的單位為，的單位為pτpτRCτRCCR,1,(s,FΩ?????),0()( 0 ??? ? teUtu tC ? ),0()( 0 ?? ? teIti t? ),0()( 0 ?? ? teUtu tR ?間越短。越小衰減越快，放電時間越長，越大衰減越慢，放電時 ????? ??????????tteUeUdtduutguCD001tRu0PC D?④ 響應與其初始值成正比 。初始值增大幾倍，響應增大幾倍。 ⑤ 一階 RC電路的零輸入響應是靠電容中儲存的電場能的釋放維持，釋放的能量同時被電阻消耗，暫態(tài)過程最后以能量的耗盡而告終。此為一階 RC電路的零輸入響應的 實質。 WR=WC 一階 CR電路的零輸入響應的求解步驟： ① 求解電路換路前的狀態(tài)。 ③ 求時間常數(shù)： ② 求解電路換路后初始值。（第一節(jié)） 紐看進去的等效電阻。為換路后從電容兩個端RRC ,??④ 代入（ *）式。 二、一階 RL電路的零輸入響應 如圖所示電路，換路前電路已達穩(wěn)態(tài)： ,)0( 00IRR Ui SL ????在 t=0時，開關突然合上，電感通過電阻 R形成回路，此時電感回路已沒有外施激勵源， ,)0( 00RIRR RUu SR ????0)0( ??Lu電路中的響應由電感的初始狀態(tài)引起，即為零輸入響應。 由 KVL得 ,0?? RL uudtdiLu LL ?又有)0(0 ???? tRidtdiLLL??)(tuL??SUR)(tiL0R??)(tuR??)(tuL??SUR)(tiL0R??)(tuR上式是關于 iL的一階齊次微分方程 ）（ 0)( 0 ?? ? teIti tLRL)0()()( 0 ???? ? teRItutu tLRLRtLi00I0U0U?)(tuR)(tuLi0 t00)0(2)0()0(IiAIiiLLL???????得）代入式（將其中 A 為待定的積分常數(shù)， p為與式（ 1）對應的特征方程的特征根。式（ 1）的特征方程為 LRpRLp ????? 特征根為：0其通解的形式 為 )2(ptL Aei ?)1()0(0 ???? tRidtdiL LL一階 RL電路的零輸入響應有以下特點： ① 換路瞬間電感電流保持不變，電壓發(fā)生突變釋放磁場能。換路后，所有的響應都是 按相同的指數(shù)規(guī)律 衰減。 ② 衰減的 指數(shù)規(guī)律 僅由 RL電路的結構和參數(shù)決定 與變量的選擇無關 。 ③ 衰減的速度取決于 R/L（衰減系數(shù)）。 固有頻率。具有頻率的量綱。稱為時間常數(shù)。具有時間的量綱。稱為令秒）的單位為則的單位為，的單位為ppRLsRLHLR,1,/(/,?????????),0()( 0 ???