高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題-在線瀏覽
2025-06-04 13:17本頁(yè)面
【正文】 中，∵△AMC1為等腰直角三角形，∠AC1M=45176。 （I）求二面角B1—MN—B的正切值； （II）證明：PB⊥平面MNB1；（III）畫(huà)出一個(gè)正方體表面展開(kāi)圖，使其滿足“有4個(gè)正方形面相連成一個(gè)長(zhǎng)方形”的條件，并求出展開(kāi)圖中P、B兩點(diǎn)間的距離。. BC=CC1=a，AC=2a.（I）求證：AB1⊥BC1；（II）求二面角B—AB1—C的大??；（III）求點(diǎn)A1到平面AB1C的距離.（1）證明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC， ∴AC⊥CC1.∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影.∵BC=CC1， ∴四邊形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C. 根據(jù)三垂線定理得， AB1⊥BC1 （2）解：設(shè)BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于點(diǎn)P，連結(jié)BP.∵BO⊥AC，且BO⊥B1 C， ∴BO⊥平面AB1C.∴OP是BP在平面AB1C上的射影.根據(jù)三垂線定理得，AB1⊥BP.∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角 ∵△OPB1~△ACB1， ∴ ∴在Rt△POB中，∴二面角B—AB1—C的大小為 （3）解：[解法1] ∵A1C1//AC，A1C1平面AB1C，∴A1C1//平面AB1C. ∴點(diǎn)A1到距離相等.∵BC1⊥平面AB1C， ∴線段C1O的長(zhǎng)度為點(diǎn)A1到平面AB1C的距離.∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為 [解法2]連結(jié)A1C，有，設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為h.∵B1C1⊥平面ACC1A1， ∴，又，∴ ∴點(diǎn)A1到平面AB1C的距離為 9．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，已知AB=BC=2，BB1=3，連接BC1，過(guò)B1作B1E⊥BC1交CC1于點(diǎn)E (Ⅰ)求證：AC1⊥平面B1D1E； (Ⅱ)求三棱錐C1－B1D1E1的體積； (Ⅲ)求二面角E－B1D1－C1的平面角大小(1)證明：連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O∵ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體∴AA1⊥平面A1B1C1D1，A1C1是AC1在平面A1B1C1D1上的射影∵AB=BC，∴A1C1⊥B1D1，根據(jù)三垂線定理得：AC1⊥B1D1； ∵AB⊥平面BCC1B1，且BC1⊥B1E，∴AC1⊥B1E∵B1D1∩B1E=B1，∴AC1⊥平面B1D1E1 (2)解：在RT△BB1C1中，在RT△EC1B1中，C1E=B1C1ctg∠BC1B1=2， ∴VC1－B1D1E = VD1－B1C1E = (3)解：連接OE，∵△B1C1E1 ≌△D1C1E1 ， ∴B1E=D1E∵O是B1D1中點(diǎn)， ∴B1D1⊥OE，∴∠C1OE是二面角E―B1D1―C1的平面角 在RT△OC1E中，∵所以，二面角E―B1D1―C1的平面角為， 10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E為DC的中點(diǎn)，沿AE將△AED折起，使二面角D－AE－B為60AE⊥平面DMN，又因?yàn)锳E平面AC，則AC⊥平面DMN． （Ⅰ）在平面DMN內(nèi)，作DO⊥MN于O，∵平面AC⊥平面DMN，∴DO⊥平面AC．連結(jié)OE，DO⊥OE，∠DEO為DE與平面AC所成的角．如圖1，在直角三角形ADE中，AD＝3，DE＝2，如圖2，在直角三角形DOM中，在直角三角形DOE中，則∴DE與平面AC所成的角為 （Ⅱ）如圖2，在平面AC內(nèi)，作OF⊥EC于F，連結(jié)DF，∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO為二面角D－EC－B的平面角．如圖1，作OF⊥DC于F，則Rt△EMD∽R(shí)t△OFD，∴如圖2，在Rt△DOM中，OM＝DMcos∠DMO＝DM＝．如圖1，在Rt△DFO中，∴二面角D－EC－B的大小為． 11．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝CB＝AA1＝2，∠ACB＝90176。.（Ⅰ）求證：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求二面角D－A1C－A的大小.（Ⅱ）解：12．如圖，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90176。（I）求證：BC⊥平面A1ACC1； （II）求點(diǎn)A1到AB的距離（III）求二面角B—AA1—C的正切值 解：答案：如圖，已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90176。（I）求證：BC⊥平面A1ACC1； （II）求點(diǎn)A1到AB的距離（III）求二面角B—AA1—C的正切值 解：（1）由題意，A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC。. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點(diǎn)分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點(diǎn)K，則點(diǎn)K為HC1的中點(diǎn)，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點(diǎn)BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HM（Ⅰ）求證：平面MNC⊥平面PBC；（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面MNC的距離。即二面角B1—AD—B的大小為60176。且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E，連結(jié)PE ∵PA⊥平面ABCD，由三垂線定理知：PE⊥CD ∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角………………2分 在中， ………………4分 在中， ∴二面角P—CD—A的正切值為………………6分 （II）在平面APB中，過(guò)A作AH⊥PB，垂足為H ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC 又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB ∴平面PBC⊥平面PAB ∴AH⊥平面PBC 故AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距離………………10分 在等腰直角三角形PAB中，所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為…………12分18．直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD∥⊥AB，VA⊥平面ABCD。 （2）若，求CV與平面VAD所成的角。AD=2，CD=3，求點(diǎn)F到平面PCE的距離.（Ⅰ）取PC中點(diǎn)M，連結(jié)ME、MF. ，即四邊形AFME是平行四邊形，……2/；‘。……6分 于是，△PAD是等腰直角三角形，AF⊥PD，又AF⊥CD∴AF⊥, ∴EM⊥, ∴面PEC⊥面PCD.……8分在面PCD內(nèi)過(guò)F作FH⊥PC于H，則FH為點(diǎn)F到平面PCE的距離.……10分由已知，PD=2，PF=∵△PFH∽△PCD ∴……12分21．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點(diǎn)，E是A1C1的中點(diǎn)，F(xiàn)是B1B中點(diǎn)，異面直線CF與DE所成的角為90176。HC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中點(diǎn)O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0
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