高考數(shù)學(xué)立體幾何大題30題(已改無錯字)
2023-05-18 13:17:01 本頁面
【正文】 2a，AA1=a(a0)，則A1（2a，0，a），B（2a, 2a , 0）, C（0，2a，0），C1（0，2a，a）……2分∵E為A1B的中點，M為CC1的中點 ∴E（2a , a , ），M（0，2a, ）∴EM// A1B1C1D1 …………6分（Ⅱ）設(shè)平面A1BM的法向量為=（x, y , z ）又=（0，2a , －a ） 由，得…………9分，則又：二面角為銳二面角 ，……11分從而………………12分20．如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點. （Ⅰ）求證：AF∥平面PCE； （Ⅱ）若二面角P—CD—B為45176。，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離.（Ⅰ）取PC中點M，連結(jié)ME、MF. ，即四邊形AFME是平行四邊形，……2/；‘。分∴AF//EM，∵AF平在PCE，∴AF∥平面PCE.……4分（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據(jù)三垂線定理知，CD⊥PD ∴∠PDA是二面角P—CD—B的平面角，則∠PDA=45176。……6分 于是，△PAD是等腰直角三角形，AF⊥PD，又AF⊥CD∴AF⊥, ∴EM⊥, ∴面PEC⊥面PCD.……8分在面PCD內(nèi)過F作FH⊥PC于H，則FH為點F到平面PCE的距離.……10分由已知，PD=2，PF=∵△PFH∽△PCD ∴……12分21．如圖，正三棱柱AC1中，AB=2，D是AB的中點，E是A1C1的中點，F(xiàn)是B1B中點，異面直線CF與DE所成的角為90176。. （1）求此三棱柱的高； （2）求二面角C—AF—B的大小.解：（1）取BC、C1C的中點分別為H、N，連結(jié)HC1，連結(jié)FN，交HC1于點K，則點K為HC1的中點，因FN//HC，則△HMC∽△FMK，因H為BC中點BC=AB=2，則KN=，∴則HM=，在Rt△HCC1，HC2=HMHC1，解得HC1=，C1C=2.另解：取AC中點O，以O(shè)B為x軸，OC為y軸，按右手系建立空間坐標(biāo)系，設(shè)棱柱高為h，則C（0，1，0），F(xiàn)（），D（），E（0，0，h），∴，由CF⊥DE，得，解得h=2. （2）連CD，易得CD⊥面AA1B1B，作DG⊥AF，連CG，由三垂線定理得CG⊥AF，所以∠CGD是二面角C—AF—B的平面角，又在Rt△AFB中，AD=1，BF=1，AF=，從而DG=∴tan∠CGD=，故二面角C—AF—B大小為arctan.22．如圖，正方體，棱長為a，E、F分別為AB、BC上的點，且AE＝BF＝x． ?。?）當(dāng)x為何值時，三棱錐的體積最大？ ?。?）求三棱椎的體積最大時，二面角的正切值； ?。?）（理科做）求異面直線與所成的角的取值范圍．（1），當(dāng)時，三棱錐的體積最大．?。?）取EF中點O，由，所以就是二面角的平面角．在Rt△中．?。?）在AD上取點H使AH＝BF＝AE，則，，所以（或補角）是異面直線與所成的角在Rt△中，在Rt△中，在Rt△HAE中，在△中，因為，所以，，23． 已知，如圖四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中點，四面體P—BCG的體積為.（Ⅰ）求異面直線GE與PC所成的角；（Ⅱ）求點D到平面PBG的距離；（Ⅲ）若F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值.解法一： （I）由已知∴PG=4…………2′如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標(biāo)系o—xyz，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）∴異面直線GE與PC所成的角為arccos……………………4′（II）平面PBG的單位法向量∴點D到平面PBG的距離為……………………8′（III）設(shè)F（0，y , z）在平面PGC內(nèi)過F點作FM⊥GC，M為垂足，則……………………………………………………………………12′解法二： （I）由已知∴PG=4…………2′在平面ABCD內(nèi)，過C點作CH//EG交AD于H，連結(jié)PH，則∠PCH（或其補角）就是異面直線GE與PC所成的角.………………3′在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴異面直線GE與PC所成的角為arccos……………………4′（II）∵PG⊥平面ABCD，PG平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD在平面ABCD內(nèi)，過D作DK⊥BG，交BG延長線于K，則DK⊥平面PBG∴DK的長就是點D到平面PBG的距離…………………………6′在△DKG，DK=DGsin45176。=∴點D到平面PBG的距離為……………………………………8′（III）在平面ABCD內(nèi)，過D作DM⊥GC，M為垂足，連結(jié)MF，又因為DF⊥GC∴GC⊥平面MFD， ∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD ∴FM//PG由GM⊥MD得：GM=GDcos45176。=…………………………10′…………12′24．如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M、N分別為AABB1的中點，求：（I）CM與D1N所成角的余弦值；（II）異面直線CM與D1N的距離．解：（I）如圖，以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，……………1′則C（0，2，0）、D1（0，0，2）、M（2，0，1）、N （2，2，1），∴＝（2，－2，1），＝（2， 2，－1），……………………3′設(shè)CM與D1N所成的角為α，則cosα＝＝－＜0∴α為鈍角，∴CM與D1N所成的角為θ＝π－α，即cosθ＝（解法2：設(shè)CM與D1N所成的角為θ，則cosθ＝＝）…………………………………6′（II）取DD1的中點E，分別連接EM、EB，則EM∥BC，EB∥D1N，∴B、C、E、M共面且D1N∥平面BCEM，∴D1到平面BCEM的距離d等于異面直線CM與D1N的距離， ……………………∵＝（――）23＝…………即SBCEMd＝而SBCEM＝BMBC＝2∴d＝ ………………………………………………………………………………1解法2： 設(shè)，的法向量為＝（x，y，z）則，?。剑?，1，2）……………………………………………………………………………8′∴異面直線CM與D1N的距離d＝ ……………………………12′25．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，點M、N分別在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.（Ⅰ）求證：AM⊥PD；（Ⅱ）求二面角P—AM—N的大??；（Ⅲ）求直線CD與平面AMN所成角的大小. （I）證明：∵ABCD是正方形，∴CD⊥AD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD.∴CD⊥平面PAD……………………………………3分∵AM平面PAD，∴CD⊥AM.∵PC⊥平面AMN，∴PC⊥AM.∴AM⊥平面PCD.∴AM⊥PD.………………………………
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