【正文】 2 5215 4 52 350( ) 0 . 0 2 3CCPAC??305 4 53 350( ) 0 . 0 0 0 5CCPAC??1 ( )PA??035 4 53501 1 0 . 7 2 4 0 . 2 7 6CCC?＝ － － ＝ 例 9 胃癌病人接受過手術(shù) (A)、放療 (B)、中藥治療 (C)的各有 1/2．同時(shí)受過兩種治療方法的各有 1/4 ，接受過三種治療有 1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大 ? 解：先求至少得到一種治療的概率 1 1 1 1 1 1 1 7()2 2 2 4 4 4 8 8P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求的概率 71( ) 1 0 . 1 2 588P A B C? ? ? ? ? ?7． 2． 2 條件概率和乘法公式 有許多實(shí)際問題，除要知道事件 B的概率外，往往還要知道在事件 A已發(fā)生的條件下 B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認(rèn)為條件概率 ,簡記為 P(B／ A)。各組病人數(shù)如下表 輕型至中型 重型 合計(jì) 有心絞痛 18 7 25 無心絞痛 243 38 281 合計(jì) 261 45 306 以 A表示任選一名高血壓病人是重型患者，以 B表示病人無心絞痛史， P(A)=45／ 306， P(B)＝ 281/306， P(AB)＝ 38/306 如果已經(jīng)知道一名病人是重型，且無心絞痛史的條件概率 P(B／ A)是多少 ? 38() 45BP A ?重型且無心絞痛的人數(shù) 重型人數(shù) 3830645306? () 38 45()P A BPA??重型且無心絞痛人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率 重型人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率 定義 5 對事件 A， B， 若 P(A)＞ 0，則稱 P(B/A)＝ P(AB)/P(A) 為在事件 A發(fā)生的條件下事件 B的條件概率 同理 對事件 A， B， 若 P(B)＞ 0，則稱 P(A/B)＝ P(AB)/P(B) 為在事件 B發(fā)生的條件下事件 A的條件概率 定理 3 兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積： P(AB)＝ P(A)P(B／ A)＝ P(B)P(A／ B) 概率的乘法公式可以推廣有限多個(gè)事件的情形。 問題提出 定義 6 設(shè) A， B 兩事件，如果 P(B／ A)＝ P(B)，則稱事件 A與事件 B相互獨(dú)立。反之亦然。試判斷這種新藥對流感是否有效？ AB療效 服藥 未服藥 合計(jì) 痊愈 170 230 400 未愈 40 60 100 合計(jì) 210 290 500 解： 400( ) 0 . 8500PB ??170( ) 0 .8 1210BP A ?? 因?yàn)?P(B)與 P(B/A)幾乎相等，故認(rèn)為 A與 B相互獨(dú)立。 例 12 考慮有兩個(gè)孩子的家庭，假定男女出生率一樣，第一次出生的是女孩的用 A表示，第二次出生是男孩的 B表示，說明 A與B二事件是否相互獨(dú)立。 例 14 某藥廠的針劑車間灌裝 — 批合格注射液，需經(jīng) 4道工序，從長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知，由于切割時(shí)掉入玻璃屑成廢品的概率為 ％。 解 : 4個(gè)工序相互獨(dú)立。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B BP B P A P P A P P A PA A A? ? ?5 9 3 1 4 2 1 9 0 . 9 21 0 1 0 1 0 1 5 1 0 2 0? ? ? ? ? ? ? 例 17 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 x光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 x光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20,從這 10盒中任取一張 X光片是正品，問抽到的 X光片是甲廠生產(chǎn)的概率 ? 解： 設(shè) A1,A2,A3分別表示取得的 x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，肝癌患者試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率為，即真陽性率為 P(B／ A)＝ ，非肝癌患者試驗(yàn)為陰性的概率為 ，即真陰性率為P( )＝ ，對一群人進(jìn)行癌癥普查，假設(shè)被試驗(yàn)的人群中 (指某一地區(qū) )患肝癌的發(fā)病率為 ，今有一人經(jīng)試驗(yàn)反應(yīng)為陽性，求此人患肝癌的概率？ BA解：依題意， P(A)= P(B/A)= P( )=1P(A)= ( ) 0. 04BPA ?A( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )BP A PAAPB BBP A P P A PA A??P(AB)＝P(B)0 . 0 0 3 0 . 9 4 0 . 0 6 60 . 0 0 3 0 . 9 4 0 . 9 9 7 0 . 0 4???? ? ?結(jié)論是 :試驗(yàn)為陽性的人確實(shí)患肝癌的可能性并不大，僅為 ％。 課堂練習(xí) 課堂思考 探討乳腺腫塊的鑒別診斷 我們用 變量 X 表示 ， 例 2：拋一枚硬幣，結(jié)果分為“正面”、“反面” 隨機(jī)變量及其概率分布 目的 ： 將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化以便于研究 ! 例 1：生化檢驗(yàn)結(jié)果分陽性和陰性， X=0表正面； X＝ 1表反面 。 將不同問題轉(zhuǎn)化為研究相同取值的隨機(jī)變量 例 3 拋擲骰子 ,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . ( 1 ) 1 , ( 2) 2 , ( 3 ) 3 ,X X X? ? ?( 4) 4 , ( 5 ) 5 , ( 6) 6X X X? ? ?1{ } , ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) .6P X i i? ? ?S={1， 2， 3， 4， 5， 6} 樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量 恒等變換 且有 ()X e e?則有 例 1 觀察投擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) . [定義 7] 若對于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果 e，都有唯一的實(shí)數(shù) x(e)與之對應(yīng)，則稱x(e) 為隨機(jī)變量，簡記為 x。 連續(xù)型 : 隨機(jī)變量 X 的可能值是 : 1, 2, 3, 4, 5, 6. 例 2 隨機(jī)變量 X 為“燈泡的壽命” . 則 X 的取值范圍為 [0 , ).??1 2 3 4 5 6 0 離散隨機(jī)變量的概率分布和連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) 一 、 離散隨機(jī)變量的概率分布 [定義 8] 設(shè) X為 — 個(gè)離散隨機(jī)變量 ， 可能取值為 x1,x2? , kXx?() kkP X x p??12 nx x x12 np p p 這些值對應(yīng)的概率為 P(X=xk) =pk(k=1,2?) 例 19 設(shè)盒中有 2個(gè)白球 3個(gè)黑球 ， 從中隨機(jī)取 3個(gè)球 ， 求抽得白球數(shù)的概率分布 ？ 解：令 X表示抽得的白球個(gè)數(shù)，由于只有 2個(gè)白球，所以隨機(jī)變量 X可能取 0、 2數(shù)值，其相應(yīng)概率為： ( 0)PX ?? 032335CCC?212335( 2 ) 0 . 3CCPXC? ? ?122335( 1 ) 0 .6CCPXC? ? ?kXx?() kkP X x p??0 1 20 .1 0 .6 0 .3或者寫成分布列 二．連續(xù)隨機(jī)變量概率密度函數(shù) 1頻率直方圖簡介 例如．為了研究某地區(qū) 12歲男孩身高情況， 隨機(jī)地抽取 120名男孩測得身高數(shù)據(jù)見表7— 6： 表 76 120名 12歲男孩身高數(shù)據(jù)（單位：㎝） … … … … … … 組號 i 區(qū)間 頻數(shù) mi 頻率 mi/n 1 [,） 4 2 [,) 9 3 [,) 10 4 [,) 22 5 [,) 33 6 [,) 20 7 [,) 11 8 [,) 6 9 [,) 4 10 [,) 1 合計(jì) 120 1 表 77 頻率分布表 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 2．連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù) [定義 9] 對于連續(xù)隨機(jī)變量 x， 如果存在非負(fù)可積函數(shù) f(x)， 使對任意實(shí)數(shù) a,b(a＜ b)，都有 ? ? ()baP a X b f x d x? ? ? ? 則稱 f(x)為 X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù) 或概率密度 . 概率密度函數(shù)的性質(zhì) 2 。 f ( x) ? 0 ； 按照定義，連續(xù)隨機(jī)變量 X 取一點(diǎn) a 的概率值為 0 ， 即 P(X=a)=0 這個(gè)頻率直方圖有明顯的特點(diǎn)，所有的矩形面積之和等于 1，且矩形面積就是頻率。 1= ()f x d x????? = 01 0100d x a x d x d x???? ??? ? ? =a/2 因此， a=2，將其代入到密度函數(shù)中，得 { 1 / 3 1 / 2 }Px ? ? ?1 / 21 / 3 2 1 / 4 1 / 9 5 / 3 6x d x ? ? ?? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) [ 定義 10] 設(shè) X 是隨機(jī)變量 ,x 是實(shí)數(shù)，以 x 為變量的函數(shù) F( x ) ＝? ?P X x? 稱為 X 的分布函數(shù) 例 如，病人的身體狀況至多能承受多大劑 量的放射治療 ， 等車不超過 3 分鐘的概率。 解 :F(x)=P{X≤x}= 當(dāng) 0≤x1 時(shí)， F(x)= 當(dāng) x≥1 時(shí)， F(x)=1 ()x f x d x???當(dāng) x ≤ 0時(shí)， F(x)=0 2x tdt??? =x2