【正文】 ??????niiiX xxpxp1)()( ?19 隨機(jī)變量及其分布 離散隨機(jī)變量的分布函數(shù) 離散隨機(jī)變量的密度函數(shù) 20 隨機(jī)變量及其分布 ? 常見(jiàn)的隨機(jī)變量及其分布： 01分布 (兩點(diǎn)分布 ) 伯努利試驗(yàn)，二項(xiàng)分布 泊松 (. Poisson)分布 均勻分布 指數(shù)分布 正態(tài) (高斯 )分布 分布 ? ? k k n kknp P X k C p q? ? ?? ? !kkp P X k ek ??? ? ?? ?1 , 0 , a x bfx ba? ??????? 其 他? ? , 00 , 0??? ?? ? ??xexfx x? ?? ? 22212xf x e?????2X ? ? 1 2221, 0220 , 0???? ??? ?? ?????? ??nxn x e xnfxx21 隨機(jī)變量及其分布 二維隨機(jī)變量： 如果 X和 Y是定義在同一概率空間（ Ω，F(xiàn)， P）上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱（ X， Y）為 二維隨機(jī)變量 。 ( , ) { , } , ( , )F x y P X x Y y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?22 隨機(jī)變量及其分布 ? 如果二維隨機(jī)變量 (X,Y)至多只取可列無(wú)窮多對(duì)值 ，令 ，滿足 (1) (2) 則稱 (X,Y)為離散型隨機(jī)變量；并稱 為 (X,Y)的聯(lián)合分布律； (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù) ? ?, , , 1 , 2 ,ijx y i j ? ? ?,ij i jp P X x Y y? ? ?0ijp ?111ijijp???????? ?,ij i jp P X x Y y? ? ?? ? ? ?,i j i ji j i jx x y y x x y yF x y P X x Y y p? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?23 隨機(jī)變量及其分布 ? 設(shè) (X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 ? 則隨機(jī)變量 X的邊緣分布律為： ? 隨機(jī)變量 Y的邊緣分布律為 ? 已知 的條件下，隨機(jī)變量 X的條件分布律 ? 已知 的條件下，隨機(jī)變量 Y的條件分布律 ? ? ? ?,i j i ji j i jx x y y x x y yF x y P X x Y y p? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1i i ijjp P X x p???? ? ? ?? ?1j j ijip P Y y p???? ? ? ?jYy?iXx?|ijijjppp??|ijjiippp ??24 隨機(jī)變量及其分布 聯(lián)合 概率密度 ： 若存在非負(fù)可積函數(shù) p(x， y)，使得 二維隨機(jī)變量（ X， Y） 的 聯(lián)合分布函數(shù) F(x, y)滿足 或 則稱 p(x， y) 為二維隨機(jī)變量的 聯(lián)合 概率密度函數(shù) ，或 聯(lián)合 概率密度 。 邊緣概率密度 ： 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y） 的 聯(lián)合 概率密度 為 p(x, y)， 定義 為隨機(jī)變量 X 的 邊緣概率密度 ； 為隨機(jī)變量 Y 的 邊緣概率密度 。 | 0( | ) l i m { | }XYF x y P X x y Y y? ???? ? ? ? ? ?| 0( | ) l i m { | }YXF y x P Y y x X x? ???? ? ? ? ? ?27 隨機(jī)變量及其分布 條件概率密度： 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y） 的 聯(lián)合 概率密度 為 p (x, y)，關(guān)于 X和 關(guān)于 Y的邊緣概率密度分別為 , 則稱 為在 Y=y條件下 X 的條件概率密度 ； 為在 X=x條件下 Y 的條件概率密度 。 ( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?( , )xy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) 0Xfx ?| ( | ) ( )Y X Yf y x f y?( ) 0Yfy ?| ( | ) ( )X Y Xf x y f x?( , ) ( ) ( )XYF x y F x F y?29 隨機(jī)變量及其分布 ? 例：設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)在圓 D： 上均勻分布，求聯(lián)合概率密度，邊緣概率密度，條件概率密度函數(shù)； X、 Y是否獨(dú)立？ ? 解：隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為： 邊緣概率密度為 已知在 X=x的條件下，隨機(jī)變量 Y服從均勻分布，條件概率密度為 2 2 2x y a??? ?2 2 221 , ,0 , x y af x ya?? ???? ??? 其 他? ? ? ?2222 , ,0 , Xax xaf x f x y dy a?????? ??? ????其 他? ? ? ?2222 , ,0 , Yay yaf x f x y dx a?????? ??? ????其 他? ? ? ?? ?2222|1 , ,| 20 , YXXy a xf x yf y x axfx? ??????? 其 他30 隨機(jī)變量及其分布 ? 已知在 Y=y的條件下，隨機(jī)變量 X服從均勻分布，條件概率密度為 由于 ，則隨機(jī)變量 X與Y不相互獨(dú)立 ? ? ? ?? ?2222|1 , ,| 20 , XYYx a yf x yf x y ayfy? ??????? 其 他? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2, xYf x y f x f y x y a? ? ?31 隨機(jī)變量及其分布 ? 1維 2維 …n 維 ? n維隨機(jī)變量： 定義在同一概率空間 上的 n個(gè)隨機(jī)變量 ? n維聯(lián)合分布函數(shù) ? k維邊緣分布函數(shù) ? 條件分布函數(shù) ? 相互獨(dú)立： 1 11, nX X X ? ?,FP?? ? ? ?1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nF x x x P X x X x X x? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2, , , , , , , ,kkF x x x F x x x? ? ? ? ?? ? ? ?? ?11111, , | , , 1 1, , 1, , , , , , | , ,k k nknk k nx x x x k k nx x k nf x x x xf x x x xf x x??????? ? ? ? ? ? ? ?121 2 1 2, , , nk x x x nF x x x F x F x F x?32 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 離散隨機(jī)變量的函數(shù) 設(shè) 離散隨機(jī)變量的分布律為 P{X=xi}=pi， i=1,2,… 若對(duì)于 X的不同取值 xi， Y=g(X)的取值 g(xi)也不相同，則隨機(jī)變量 Y=g(xi)的分布律為 P{Y=g(xi)}=pi, i=1,2,3,… 若對(duì)于 X的有限個(gè)或可列無(wú)窮個(gè)不同的取值 , Y=g(X)取相同的值 y，則隨機(jī)變量 Y取值 y的概率等于 X取這些值的概率之和。 35 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù) 設(shè)連續(xù) 隨機(jī)變量 X的函數(shù)為 Y=g(X), X概率密度為pX(x),則 Y的分布函數(shù)為 FY(y)=P{x: g(x) ≤y} Y的概率密度為 若 y=g(x)為單調(diào)函數(shù) , ( ) { : ( ) }Y dp y P x g x ydy??( ) ( )YXp y dy p x dx?()( ) ( ) [ ( ) ]Y X Xd x d f yp y p x p f yd y d y??f(y)是 g(x)的反函數(shù) 36 隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ? 連續(xù)隨機(jī)變量的函數(shù) 若 y=g(x)為非單調(diào)函數(shù) ,如一個(gè) Y對(duì)應(yīng)兩個(gè) X值 , 1 1 2 2( ) ( ) ( )Y X Xp y dy p x dx p x dx??1212( ) ( )(