【正文】 1)P(A2)P(A3)P(A4)= ()()() (1)= 全概率公式與貝葉斯公式 定理 5（全概率公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容事件，且 P(Ai)0； 121,( ) ( ) ( )nniiiB A A A BBP B P A PA?? ? ? ?? ?若 則 事 件 的 概 率A2 A1 A3 A5 A4 An B ?證明： 如圖 A1 A2,… An是兩兩互不相容事件 BB??12() nB A A A? ? ? ?()PB1212( ( ) )( ) ( ) ( )nnP B A A AP B A P B A P B A? ? ? ?? ? ? ?1212( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnB B BP A P P A P P A PA A A? ? ? ?1( ) ( )niiiBP A PA?? ? 例 15 設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有 10盒同樣規(guī)格的 X光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 X光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20，從這 10盒中任取 — 盒，再?gòu)娜〕龅倪@盒中任取一張 X光片，抽到的 X光片是正品的概率 ? 解： 設(shè) A1,A2,A3分別表示取得的 X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 隨機(jī)變量的分類(lèi) 離散型： 取值為有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)； 取值為某一區(qū)間或整個(gè)實(shí)數(shù)軸。 把結(jié)果 A 與 1 對(duì)應(yīng)，結(jié)果 A 對(duì)應(yīng) 0 ，則可定義二點(diǎn)分布 離散型隨機(jī)變量：二點(diǎn)分布 、 二項(xiàng)分布 、 泊松分布； 連續(xù)型隨機(jī)變量：均勻分布和正態(tài)分布 。他的數(shù)學(xué) 才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸 :直徑、長(zhǎng)度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布 . 正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 3. 正態(tài)分布 正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征 正態(tài)分布的分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為 正態(tài)分布的性質(zhì) 一般正態(tài)分布函數(shù)通過(guò)變量代換可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 同理可計(jì)算另兩個(gè)問(wèn)題的解 思考題 學(xué)生 A參加 SAT中的數(shù)學(xué)部分考試，得分 700分。 這個(gè)定義對(duì)離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量都是統(tǒng)一的，但具體表達(dá)形式不同。也可解釋為：若被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，則可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量實(shí)際上是近似服從正態(tài)分布的。 甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為 p,p1/，采用三局二勝制有利，還是采用五局三勝制有利。第一次取后放回，設(shè)第一次取得正品的事件為 A,設(shè)第二次取得正品的事件為 B,那么P(B/A)=P(B) 若事件 A,B相互獨(dú)立，證明 A與 也相互獨(dú)立。 伯努利大數(shù)定律指出， n充分大，通過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率可作為該事件的相應(yīng)概率的估計(jì) 二．中心極限定理 概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量 的和的極限分布是正態(tài)分布的那些定理通常叫做中心極限定理。陽(yáng)性為 設(shè)平均每人化驗(yàn)次數(shù)為隨即變量 X,則分布列為 X 1/4 1+1/4 試問(wèn)哪個(gè)射手技術(shù)較好 ? 思考題 誰(shuí)的技術(shù)比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術(shù)比較好 . 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 一、方差的概念 二、方差的性質(zhì) 三、五種常見(jiàn)分布的方差 四、標(biāo)準(zhǔn)差及變異系數(shù) 在許多實(shí)際問(wèn)題中 ， 除了考慮隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望外 ， 還要研究隨機(jī)變量以 E(x)為中心的分散程度 ， 比如生物體內(nèi)的脈搏 、 血壓及血球波動(dòng)過(guò)大 ， 表明該生物體處于病態(tài) 。所以可用泊松粉不近似計(jì)算，λ =np=1，查附錄 Ⅲ ，所求的概率為： （ 1)P{X3}=1{X≥3} == （ 2)P{X3}=P{X≥4} = （ 3)P{X=2}={X≥ 2}P{X≥3} == 四、均勻分布 性質(zhì)： X落在 [a,b]任意等長(zhǎng)的子區(qū)間內(nèi)的概率相等 [ 定義 1 4 ] 設(shè)隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 [ a , b ] 中取值，其概率密度函數(shù)為 1,()0a x bfx ba????? ???? 其 它 則稱 x 服從區(qū)間 [ a , b ] 的均勻分布。 例 23 在 100升經(jīng)消毒的自來(lái)水中 ， 只能含有10個(gè)大腸桿菌 ， 今從中取出 l升水進(jìn)行檢驗(yàn) ，問(wèn)在這一升水中檢出 2個(gè)大腸桿菌的概率是多少 ?如果真的檢查出有 2個(gè)大腸桿菌 ， 問(wèn)這水是否合格 ? 解：對(duì)于每個(gè)大腸桿菌來(lái)說(shuō)，只有兩個(gè)結(jié)果：落入A 或不落入 A 這一升水中， P (A )=0. 01,P( A )=0. 99 ，所以 10 個(gè)大腸桿菌是否落入可以看作 10 重伯努利試驗(yàn)，故所求概率為： 10 (2)P 210C= ()2()102= 根據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗(yàn)中不 可能發(fā)生，所以認(rèn)為這水是不合格的。 對(duì)于離散型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= kkxxp?? 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= ()x f x d x???實(shí)際生活中有時(shí)也要解決隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 (??? x] 上 取值的概率， kXx?()kkP X x p?? 0 .1 0 .6 0 .30 1 2例 21 求本章例 19中的分布列 的隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 解：當(dāng) x0時(shí)， {X≤x} 是不可能事件， kkxxp??=0 F(x)=P{X≤x}= 當(dāng) 0≤x1 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}= 當(dāng) 1≤x2 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}= 當(dāng) x≥2 時(shí)， F(x)=P{X≤x}=1 Y 1 0 1 2 x （ 2） 分布函數(shù) F(x)的導(dǎo)數(shù)就是密度函數(shù) f(x). 如果 x 是連續(xù)隨機(jī)變量．由定義 10 ，隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)是： F ( x ) ＝? ? ( ) ( )xP X x f t d t x??? ? ? ? ? ? ? ?? 其中 f ( x ) 是 X 的密度函數(shù) 連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)與分布函數(shù)關(guān)系是： （ 1）密度函數(shù) f(x)的積分就是分布函數(shù)； 例 22 求例 20 的密度函數(shù)為 2 , 0 1()0xxfx???? ?? 其 它 的 隨 機(jī) 變 量 的 分 布 函 數(shù) ； 通 過(guò) 分 布 函 數(shù) 也 求? ?1 / 2PX ?,? ?1 / 3PX ?和? ?1 / 3 1 / 2PX ??的概率。 X=0表陰性； X＝ 1表陽(yáng)性 。由于安 洗滌不潔成廢品的概率為 ％．灌裝時(shí)污染劑液成廢品的概率為 ％，由于封口不密成廢品的慨率為 ％，求四道工序都合格概率。 若 A與 B相互獨(dú)立，則 P(B／ A)=P(B)，又有乘法公式 P(AB)＝ P(A)P(B／ A)于是，P(AB)＝ P(A)P(B)成立。n!, 故概率為 Cmn 事件 A與 B相等；記作 A =B，表示 A B 并且 B A. 例如 : … ??A B ? 事件 的關(guān)系及運(yùn)算 : 1. 事件 A 包含 B （ B 包含于 A ）：表示事 件 B 發(fā)生事件 A 必然 發(fā)生， 記作 A B ? （或 B A ? ）。 例 3. 同一種病用同一種藥的結(jié)果 概率論研究的對(duì)象是：隨機(jī)現(xiàn)象 概率論研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)現(xiàn)象什么問(wèn)題呢？ 在大量試驗(yàn)或觀察中 , 這種隨機(jī)現(xiàn) 象中出現(xiàn)的各種結(jié)果具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī) 律性 , （舉例）。 2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) ,并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果 。)=0 例 3 表 71 擲幣試驗(yàn) 試驗(yàn)者 投擲次數(shù) N 正面數(shù) m 頻率 De Mram 2048 1061 Buffon 4040 2048 Pearson 12022 6019 Pearson 24000 12022 結(jié)論：大量重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)正面頻率接近 50%。 解 : 設(shè) A為 “ 取到 3支針劑中有不合格品 ” 事件 , Ai為 “ 取到 3支針劑中有 i支是不合格品 ” 事件 ,i=1,2,3,顯然 A1,A2,A3互不相容 ,且 A= A1+A2+A3 由定理 1知 P(A)= 另解法 :由推論 2可得 P(A) P(A1)+P(A2)+P(A3) = 1()PA ?125 45350CCC?0 .2 5 2 5215 4 52 350( ) 0 . 0 2 3CCPAC??305 4 53 350( ) 0 . 0 0 0 5CCPAC??1 ( )PA??035 4 53501 1 0 . 7 2 4 0 . 2 7 6CCC?＝ － － ＝ 例 9 胃癌病人接受過(guò)手術(shù) (A)、放療 (B)、中藥治療 (C)的各有 1/2．同時(shí)受過(guò)兩種治療方法的各有 1/4 ，接受過(guò)三種治療有 1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大 ? 解：先求至少得到一種治療的概率 1 1 1 1 1 1 1 7()2 2 2 4 4 4 8 8P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求的概率 71( ) 1 0 . 1 2 588P A B C? ? ? ? ? ?7． 2． 2 條件概率和乘法公式 有許多實(shí)際問(wèn)題，除要知道事件 B的概率外，往往還要知道在事件 A已發(fā)生的條件下 B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認(rèn)為條件概率 ,簡(jiǎn)記為 P(B／ A)。試判斷這種新藥對(duì)流感是否有效？ AB療效 服藥 未服藥 合計(jì) 痊愈 170 230 400 未愈 40 60