【正文】 P A PA A A? ? ?5 9 3 1 4 2 1 9 0 . 9 21 0 1 0 1 0 1 5 1 0 2 0? ? ? ? ? ? ? 例 17 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 x光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 x光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20,從這 10盒中任取一張 X光片是正品，問抽到的 X光片是甲廠生產(chǎn)的概率 ? 解： 設(shè) A1,A2,A3分別表示取得的 x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 例 14 某藥廠的針劑車間灌裝 — 批合格注射液，需經(jīng) 4道工序，從長期生產(chǎn)經(jīng)驗知，由于切割時掉入玻璃屑成廢品的概率為 ％。試判斷這種新藥對流感是否有效？ AB療效 服藥 未服藥 合計 痊愈 170 230 400 未愈 40 60 100 合計 210 290 500 解： 400( ) 0 . 8500PB ??170( ) 0 .8 1210BP A ?? 因為 P(B)與 P(B/A)幾乎相等，故認(rèn)為 A與 B相互獨(dú)立。 問題提出 定義 6 設(shè) A， B 兩事件，如果 P(B／ A)＝ P(B)，則稱事件 A與事件 B相互獨(dú)立。 解 : 設(shè) A為 “ 取到 3支針劑中有不合格品 ” 事件 , Ai為 “ 取到 3支針劑中有 i支是不合格品 ” 事件 ,i=1,2,3,顯然 A1,A2,A3互不相容 ,且 A= A1+A2+A3 由定理 1知 P(A)= 另解法 :由推論 2可得 P(A) P(A1)+P(A2)+P(A3) = 1()PA ?125 45350CCC?0 .2 5 2 5215 4 52 350( ) 0 . 0 2 3CCPAC??305 4 53 350( ) 0 . 0 0 0 5CCPAC??1 ( )PA??035 4 53501 1 0 . 7 2 4 0 . 2 7 6CCC?＝ － － ＝ 例 9 胃癌病人接受過手術(shù) (A)、放療 (B)、中藥治療 (C)的各有 1/2．同時受過兩種治療方法的各有 1/4 ，接受過三種治療有 1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大 ? 解：先求至少得到一種治療的概率 1 1 1 1 1 1 1 7()2 2 2 4 4 4 8 8P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求的概率 71( ) 1 0 . 1 2 588P A B C? ? ? ? ? ?7． 2． 2 條件概率和乘法公式 有許多實際問題，除要知道事件 B的概率外，往往還要知道在事件 A已發(fā)生的條件下 B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認(rèn)為條件概率 ,簡記為 P(B／ A)。)=0 : 若 A與 B是兩個不會同時發(fā)生的事件 ， 以 A+B表示 A或 B至少出現(xiàn)其一這個事件 ， 則 P(A+B)=P(A)+P(B) （統(tǒng)計）概率的性質(zhì)： 二、概率的古典定義 定義 4：若隨機(jī)試驗有且只有 n個基本事件，且每個基本事件的概率都為 1/n, 則稱為等概基本事件組 . 如 B事件是其中 m個基本事件之和，則 B發(fā)生的概率為 : P(B)=m/n 例 6 瓶中裝有 30片藥，其中 6片已經(jīng)失效，現(xiàn)從瓶中任取 5片，求其中 2片失效的概率？ 解： 設(shè) B為 “ 現(xiàn)從瓶中任取 5片，其中 2片失效 ” 的事件 n=C305=142506 m=C62C243=30360 P(B)= C62C243 /C305= 例 7 設(shè)有 n個球，每個都能以同樣的概率 1/m落到 m個格子（ m≥ n）的每一個格子中，試求 : n個格子中各有一球的概率？ n個格子中各有一球的概率； 解： ∵ 每個球可落入 m（ ≥ n）個格子中的任一個 ∴n 個球在 m個格子中的排列相當(dāng)于從 m個元 素中選取 n個進(jìn)行有重復(fù)的排列， 故共有 mn種基本事件總數(shù) 第一題， n個球在指定的 n個格子中全排列 n！ 因此概率為 n！ /mn 第二題，從 m個格子中任意選出 n個格子， 有 Cmn種，對于每種選定的 n個格子，如第一 題的全排列 n！，所求基本事件的個數(shù)為 Cmn)=0 例 3 表 71 擲幣試驗 試驗者 投擲次數(shù) N 正面數(shù) m 頻率 De Mram 2048 1061 Buffon 4040 2048 Pearson 12022 6019 Pearson 24000 12022 結(jié)論：大量重復(fù)試驗，出現(xiàn)正面頻率接近 50%。用 A,B,C表示，如擲一枚骰子 基本事件 必然事件 復(fù)合事件 不可能事件 ? 所有基本事件組成的集合，成為樣本空 間，記為 Ω ，不包含任何基本事件的空 集記作 216。 2. 每次試驗的可能結(jié)果不止一個 ,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果 。 . 確定性現(xiàn)象 : 在一定條件下必然發(fā)生 (必然不發(fā)生 )的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象 例 1. 拋擲硬幣， 出現(xiàn)正面還是反面？ 例 2. 車站等車人數(shù)。 例 3. 同一種病用同一種藥的結(jié)果 概率論研究的對象是：隨機(jī)現(xiàn)象 概率論研究的對象是隨機(jī)現(xiàn)象，研究隨機(jī)現(xiàn)象什么問題呢？ 在大量試驗或觀察中 , 這種隨機(jī)現(xiàn) 象中出現(xiàn)的各種結(jié)果具有一定的統(tǒng)計規(guī) 律性 , （舉例）。 3. 進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) . 定義 1： 在概率論中 ,把具有以下三個特征的試驗稱為 隨機(jī)試驗 . 隨機(jī)試驗（簡稱試驗） 說明 ：隨機(jī)試驗簡稱為試驗，通常用 E 來表示 實例 “ 拋擲一枚硬幣 ,觀察字面 ,花面出現(xiàn)的情況 ” . 分析 : (1) 試驗可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行 。 事件 A與 B相等；記作 A =B，表示 A B 并且 B A. 例如 : … ??A B ? 事件 的關(guān)系及運(yùn)算 : 1. 事件 A 包含 B （ B 包含于 A ）：表示事 件 B 發(fā)生事件 A 必然 發(fā)生， 記作 A B ? （或 B A ? ）。 思考：少量的試驗（如 7次）能否出現(xiàn)同樣結(jié)果？ 例 4 表 72 英文字母使用頻率分布 字母 頻率 字母 頻率 字母 頻率 空格 H W E D G T L B O U V A C K N F X I M J R P Q S Y Z 結(jié)論：可能性的大小具有穩(wěn)定性 注 1：頻率與試驗有關(guān)，是不確定的數(shù)，但概率是事件的客觀屬性，是確定的數(shù) . 注 2：給出一個求概率的方法 , 如果在某一組條件下，當(dāng)試驗次數(shù)越來越多，事件 A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近作微小擺動，稱常數(shù) p為事件 A的概率。n!, 故概率為 Cmn 例如，在美國某大學(xué)高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類。 若 A與 B相互獨(dú)立，則 P(B／ A)=P(B)，又有乘法公式 P(AB)＝ P(A)P(B／ A)于是，P(AB)＝ P(A)P(B)成立。表明服藥和不服藥對療效影響不大，新藥對流感沒有意義。由于安 洗滌不潔成廢品的概率為 ％．灌裝時污染劑液成廢品的概率為 ％，由于封口不密成廢品的慨率為 ％，求四道工序都合格概率。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 問 P(A1/B)=? P 11 P ( A B )A（ ） =BP(B)11( ) ( )()BP P AAPB＝111 2 31 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BP A PAB B BP A P P A P P A PA A A??＝ 定理 6（貝葉斯公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容，且 P(Ai)0， P(B)0 121,( ) ( )()( ) , 1 , 2 , ,()( ) ( )nkkkkniiiB A A ABP A PP A B AAP k nB PBBP A PA?? ? ? ?? ? ??若 則 例 16 經(jīng)大量臨床應(yīng)用知道，某種診斷肝癌的試驗有下述效果：“試驗反應(yīng)為陽性”記為事件 B，“被診斷患肝癌”的事件為 A。 X=0表陰性； X＝ 1表陽性 。 ? ? ( ) 1P X f x d x????? ? ? ? ? ? ? ?? 1 。 對于離散型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= kkxxp?? 對于連續(xù)型隨機(jī)變量： F(x)=P{X≤ x}= ()x f x d x???實際生活中有時也要解決隨機(jī)變量 X 在區(qū)間 (??? x] 上 取值的概率， kXx?()kkP X x p?? 0 .1 0 .6 0 .30 1 2例 21 求本章例 19中的分布列 的隨機(jī)變量 X的分布函數(shù) 解：當(dāng) x0時， {X≤x} 是不可能事件， kkxxp??=0 F(x)=P{X≤x}= 當(dāng) 0≤x1 時， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}= 當(dāng) 1≤x2 時， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1}= 當(dāng) x≥2 時， F(x)=P{X≤x}=1 Y 1 0 1 2 x （ 2） 分布函數(shù) F(x)的導(dǎo)數(shù)就是密度函數(shù) f(x). 如果 x 是連續(xù)隨機(jī)變量．由定義 10 ，隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)是： F ( x ) ＝? ? ( ) ( )xP X x f t d t x??? ? ? ? ? ? ? ?? 其中 f ( x ) 是