概率論續(xù)-wenkub
2022-10-09 19:34:55 本頁面
【正文】 nnkknnknnknPkkX X XnYXnP Y P XnXn???? ? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ??????????? 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 相 互 獨(dú) 立 ， 且 具 有 相 同 的數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ， 作 前 個 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： 定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 即 ，? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn kli m P Xn ???? ???? ? ? ??????9 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?? ?1 2 3, , , ,0 , 1 ,0nnnnnY Y Y al i m P Y al i m P Y aYaPYan???? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ????。 12 補(bǔ)充： 定理（ 契比雪夫大數(shù)律 ） 有則對于任意正數(shù)并有公共的上界且都具有有限的方差兩兩不相關(guān)設(shè)隨機(jī)變量???? ,C)X(D,C)X(D,C)X(D, ,X,X,Xn21n21????1111l im { | ( ) | } 0 .??? ??? ? ???nniiniiP X E Xnn13 證明 )(??????????? niinii XDnXnD12111,nC?由 契比雪夫不等式 可得 112211()1 1 /( ) ,ninnniiiiiDXCnP X E Xnn????????? ? ? ????????，則在上式中令 ??n.)( 0XEn1Xn1Pn1iin1ii ??????? ??? ????[證畢 ] （ 補(bǔ)充結(jié)束 ） 故兩兩不相關(guān)因為 ,}{ nX14 例 2： 1121 1 1, , , , ~ ( 1 , 1 ) .1 1 11 2 3nn n nk k kk k kX X X UX X Xn n n? ? ??? ? ?設(shè) 隨 機(jī) 變 量 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 則（ ） ， （ ） ， （ ） 分 別 依 概 率 收 斂 嗎 ？如 果 依 概 率 收 斂 ， 分 別 收 斂 于 什 么 ？11112 2 221 1 1, , , , ( ), , , , ( ), , , , ( )1 1 1nnnn n nkkkk k kX X E XX X E XX X E XXXXn n n? ? ?? ? ?解 ： 由 辛 欽 大 數(shù) 定 律 ， 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ， 存 在 ,故 ， ， ， 均 依 概 率 收 斂 。 2 中心極限定理 (Central Limit Theorem) 背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每 個個別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長達(dá)兩個世紀(jì)的 時期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。?iX X XXi16116記 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 ,?? ? iiXX? ? ? ? 210 0 , 10 0 1 , 2 , 16 .由 題 設(shè) , 知 ，? ? ?iiE X D X i? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiXXYN????????根 據(jù) 獨(dú) 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 : 近 似 服 從? ? ? ? 19 20 1 19 20P X P X? ? ? ?? ?1 9 2 0 1 6 0 01 400?? ? ?? ?1 19? ? ? ?21 例 4：某保險公司的老年人壽保險有 1萬人參加，每人每年交 200 元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬元。 ? ?? ?400 2 8
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