【正文】 ，取 則 是 的無偏估計 無偏性是對估計量的一個最常見的重要要求，是“好”估計的標準之一。49 ? ? ? ? 2226 , ,X E X D XXS??????例 ：設總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記 證明：樣本均值 和樣本方差 分別是 和 的無偏估計。? ?12, , , ,inx x m in x x x????故 的取值范圍最大不超過? ?111 niixin ex?? ?? ??????? ?? ?? ?12 11 0niid ln L n XXd??? ? ?? ? ? ? ??令? ? ? ?121 , , , ,nX m in X X X?? ??故? ?1? XX?? ??? ? ? ?11 ?n iiln L n ln X? ? ???? ? ? ??又46 ? ?125 0 , 0 , , , nXx x x????例 ：設總體 服從 上的均勻分布， 未知， 試由樣本 求出 的極大似然估計和矩估計。x p x P x p x P x p P p x?極大似然原 對每個 取 , 使 是不同于理：的另一值；? ?? ? ? ?? ? ? ?1122211 , , , , , , , , , ,nnininl nL x x x l n f x l nLL x x x LL x x x????????????說明 在求 的最大值時，通常轉稱為對數似然函換為求：數通常的最大 ，記為，值? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 2, , , , , , , , , ,knnX f xx x x X X X? ? ? ? ? ??? ? ?? 設總體 的概率密度為 為未知參數，為參數空間，即 的取值范圍。 , 1 , 44x n xnP x p p q q p px ???? ? ? ????? 其中 由假設知， 或 0 1 2 3 ? ?34,Pxx164 964 27 64 27 6416427 64 27 64 964? ?14,Px二． 41 ? ? ? ?? ? ? ?? ?143427 31 1 10 , 0 , 0 , ,4 64 4 64 4 1 9 3 27 31 2 , 2 0 , 2 ,4 64 4 64 41? 2 33,x P P pxx P Pxpxxxp? ? ? ? ??? ? ? ???? ?????從上表看到： 取 更合理；類似；, 取 更合理； 類似； ： 于是有42 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??, 。 , , , , , , , , , 1 , 2 , , , , , , ,1 1 , 2 , , , , ,1 1 2 1, , ,2 1 2kkkvv k nnvviiX F xX k E XE X v k X X X Xv A X v kkAknA???? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ? ???? 設總體 的分布函數為 是待估計的未知參數，假定總體 的 階原點矩 存在，則有： 對于樣用樣本矩作為總體矩的估計，即本其 階樣本：矩是：令? ?? ? ? ?12122 ,?, , , , , ,12kkAk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ??解此方程即得 的一個矩估計量? ?一 矩估計法：38 ? ?121 0 , , , , ,nXX X X X? ? ? ? ????2 2 22例：設總體 的均值 和方差 都存在，且 ， 均未知，是取自 的一個樣本，試求 的矩估計。參數估計問題就是要求問題的提出：通過樣本估計總體分布所包含的未知參數的值。 , ,F n nf x n n dx F n nF n n F n n F???? ? ???? ? ?? 對于給定的 稱滿足條件 的點為 分布的上 分位數。 是取自總體 的樣本 求統(tǒng)計量 的分布。 常用統(tǒng)計量： 設（ Z1,Z2,?,Z n）為取自總體 Z的樣本 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 2 2 3 m a x , , 1 4 5 ZiiN Z Z ZZ Z Z Z Z Z ZZZ? ? ? ??? ?? ? ???思考題：設在總體 中抽取樣本 其中 已知， 未知 指出在中哪些是統(tǒng)計量，哪些不是統(tǒng)計量， 為什么？111 . n iiZZn?? ?樣本均值? ?? ?1113 . 1 , 2 ,1 ( ) 1 , 2 ,nkkiinkkiik A Z knk B Z Z kn????? ? ???樣本矩 階矩：階中心矩：22112 . ( ) ,1 n iiS Z Z Sn???? ?樣本方差 為樣本標準差22 隨機變量獨立性的兩個定理 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 1 2 1 112111121 1 2 2 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , 1 , 2 , 6. 1 iikinni n nn n n k k nknnZ Z Z ny g x x x x R i k knnY g Z Z Y g Z Z Y gn n kZZ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?設 是相互獨立的 個隨機變量， 又設 是 個連續(xù)函數， 且有 則 個隨機變量： 是相互定 理： 獨立的。如某個燈泡。 20 167。 ? ?200PZ??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7Z Z b n p n p? ? ?解：設 為一年中投保老人的死亡數，則由德莫佛拉普拉斯中心極限定理，保險公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PZ ??? ? ? ?20011Z np npPnp p np p????????????? ? Z npPnp p??????????? ?1 1 ?? ? ?17 例 4：設某工廠有 400臺同類機器，各臺機器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺機器工作是相互獨立的，試求機 器出故障的臺數不小于 2的概率。 ? ?5. 4 定理 獨立同分布的中心極限定理? ? ? ?? ?? ?221211 2, , , , , , 1 , 2 ,1,20 , 1n i iniinni txinnnnZ Z Z E Z D Z iZnnYnZnx R l i m P Y x l i m P x e d tnn Y N??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ??????????設隨機變量 相互獨立同分布，則前 個變量的和的標準化變量為：有： 證明略。 n A Z解：設在 重貝努里試驗中，事件 出現的次數為 ，? ?, 0. 75Z b n?則,? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E Z n p n D Z n p q n? ? ? ?? ?n ZfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1ZP P Z n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??11 隨機變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 , , , ,0 , 0 ,nnnZ Z Zl i m P ZZpZn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ???? 。2022/6/1 1 概率論與數理統(tǒng)計 2 概率論與數理統(tǒng)計是研究隨機現象 數量規(guī)律的一門學科。定義 ：設隨機變量序列 若存在某常數 ， 使得 均有： 則稱隨機變量序列 依概率收斂于常數 ， 記為：? ?? ?12211 , , , ,110 l i m l i m 1nnnkknnknnkZ Z Zn Y ZnP Y P Zn??? ? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ???????定理 契比雪夫不等式的特殊情形 ：設隨機變量序列 相互獨立， 且具有相同的數學期望 和相同的方差 ， 作前 個隨機變量的算術平均： 則 ，有：? ?111 ,nnkkE Y E Z nnn ?????? ? ? ??????證明：由于 ? 11nkD Y D Zn???? ????? ? ?2 11nkk DZn ?? ?2221 n nn ??? ? ?2211 1nkknPZn ??????? ? ? ? ??????由契比雪夫不等式得： 11 1n kn kli m P Zn ???? ???? ? ? ??????12 大數定律的重要意義： 貝努里大數定律建立了在大量重復獨立試驗中事件出現頻率的穩(wěn)定性，正因為這種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數定律還提供了通過試驗來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應的概率估計，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數估計法，參數估計的重要理論基礎之一就是大數定理。此定理表明，當 充分大時， 近似服從14 ? ?5 .5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2215 . 4 ,2tbAn an n pn li m P a b e d tnpq ??? ? ??? ?? ? ? ? ? ????? ?由定理 當 時，1 0 iiAZiA?? ??第次試驗時 發(fā)生證明：令第次試驗時 未發(fā)生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im , 12AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d t q pnpq ??? ? ?? ? ??? ?? ? ? ? ??????設 為 次貝努里試驗中 發(fā)生的次數，則對任何區(qū)間 ，有： 其中12, , , ,nZ Z Z則 相互獨立同分布? ? ? ? 12, , 1 , 2 , , ,i i A nE Z p D Z pq i n Z Z Z? ? ? ? ? ? ?且因15 例 2：設某種電器元件的壽命服從均值為 100小時的指數分布，現 隨機取得 16只，設它們的壽命是相互獨立的，求這 16只元件 的壽命的總和大于 1920小時的概率。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?4 0 0 0 .0 2 0 .9 8 2 .8022 1 0 2 18 8 6 6 8 1 1 85 92 .8 2 .8 2 .8 2 .8 2 .8npqn p Z n p n pP Z P Z Pn p q n p q n p q