【正文】 { 1 / 3 1 / 2 }Px ? ? ?1 / 21 / 3 2 1 / 4 1 / 9 5 / 3 6x d x ? ? ?? 隨機(jī)變量的分布函數(shù) [ 定義 10] 設(shè) X 是隨機(jī)變量 ,x 是實(shí)數(shù)，以 x 為變量的函數(shù) F( x ) ＝? ?P X x? 稱為 X 的分布函數(shù) 例 如，病人的身體狀況至多能承受多大劑 量的放射治療 ， 等車不超過 3 分鐘的概率。 課堂練習(xí) 課堂思考 探討乳腺腫塊的鑒別診斷 我們用 變量 X 表示 ， 例 2：拋一枚硬幣，結(jié)果分為“正面”、“反面” 隨機(jī)變量及其概率分布 目的 ： 將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化以便于研究 ! 例 1：生化檢驗(yàn)結(jié)果分陽性和陰性， X=0表正面； X＝ 1表反面 。 例 14 某藥廠的針劑車間灌裝 — 批合格注射液，需經(jīng) 4道工序，從長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)知，由于切割時(shí)掉入玻璃屑成廢品的概率為 ％。 問題提出 定義 6 設(shè) A， B 兩事件，如果 P(B／ A)＝ P(B)，則稱事件 A與事件 B相互獨(dú)立。)=0 : 若 A與 B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件 ， 以 A+B表示 A或 B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件 ， 則 P(A+B)=P(A)+P(B) （統(tǒng)計(jì)）概率的性質(zhì)： 二、概率的古典定義 定義 4：若隨機(jī)試驗(yàn)有且只有 n個(gè)基本事件，且每個(gè)基本事件的概率都為 1/n, 則稱為等概基本事件組 . 如 B事件是其中 m個(gè)基本事件之和，則 B發(fā)生的概率為 : P(B)=m/n 例 6 瓶中裝有 30片藥，其中 6片已經(jīng)失效，現(xiàn)從瓶中任取 5片，求其中 2片失效的概率？ 解： 設(shè) B為 “ 現(xiàn)從瓶中任取 5片，其中 2片失效 ” 的事件 n=C305=142506 m=C62C243=30360 P(B)= C62C243 /C305= 例 7 設(shè)有 n個(gè)球，每個(gè)都能以同樣的概率 1/m落到 m個(gè)格子（ m≥ n）的每一個(gè)格子中，試求 : n個(gè)格子中各有一球的概率？ n個(gè)格子中各有一球的概率； 解： ∵ 每個(gè)球可落入 m（ ≥ n）個(gè)格子中的任一個(gè) ∴n 個(gè)球在 m個(gè)格子中的排列相當(dāng)于從 m個(gè)元 素中選取 n個(gè)進(jìn)行有重復(fù)的排列， 故共有 mn種基本事件總數(shù) 第一題， n個(gè)球在指定的 n個(gè)格子中全排列 n！ 因此概率為 n！ /mn 第二題，從 m個(gè)格子中任意選出 n個(gè)格子， 有 Cmn種，對(duì)于每種選定的 n個(gè)格子，如第一 題的全排列 n！，所求基本事件的個(gè)數(shù)為 Cmn用 A,B,C表示，如擲一枚骰子 基本事件 必然事件 復(fù)合事件 不可能事件 ? 所有基本事件組成的集合，成為樣本空 間，記為 Ω ，不包含任何基本事件的空 集記作 216。 . 確定性現(xiàn)象 : 在一定條件下必然發(fā)生 (必然不發(fā)生 )的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象 例 1. 拋擲硬幣， 出現(xiàn)正面還是反面？ 例 2. 車站等車人數(shù)。 3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) . 定義 1： 在概率論中 ,把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為 隨機(jī)試驗(yàn) . 隨機(jī)試驗(yàn)（簡(jiǎn)稱試驗(yàn)） 說明 ：隨機(jī)試驗(yàn)簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，通常用 E 來表示 實(shí)例 “ 拋擲一枚硬幣 ,觀察字面 ,花面出現(xiàn)的情況 ” . 分析 : (1) 試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行 。 思考：少量的試驗(yàn)（如 7次）能否出現(xiàn)同樣結(jié)果？ 例 4 表 72 英文字母使用頻率分布 字母 頻率 字母 頻率 字母 頻率 空格 H W E D G T L B O U V A C K N F X I M J R P Q S Y Z 結(jié)論：可能性的大小具有穩(wěn)定性 注 1：頻率與試驗(yàn)有關(guān)，是不確定的數(shù)，但概率是事件的客觀屬性，是確定的數(shù) . 注 2：給出一個(gè)求概率的方法 , 如果在某一組條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越多，事件 A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近作微小擺動(dòng)，稱常數(shù) p為事件 A的概率。 例如，在美國某大學(xué)高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴(yán)重程度和有無心絞痛分類。表明服藥和不服藥對(duì)療效影響不大，新藥對(duì)流感沒有意義。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 問 P(A1/B)=? P 11 P ( A B )A（ ） =BP(B)11( ) ( )()BP P AAPB＝111 2 31 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BP A PAB B BP A P P A P P A PA A A??＝ 定理 6（貝葉斯公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容，且 P(Ai)0， P(B)0 121,( ) ( )()( ) , 1 , 2 , ,()( ) ( )nkkkkniiiB A A ABP A PP A B AAP k nB PBBP A PA?? ? ? ?? ? ??若 則 例 16 經(jīng)大量臨床應(yīng)用知道，某種診斷肝癌的試驗(yàn)有下述效果：“試驗(yàn)反應(yīng)為陽性”記為事件 B，“被診斷患肝癌”的事件為 A。 ? ? ( ) 1P X f x d x????? ? ? ? ? ? ? ?? 1 。 二、 二項(xiàng)分布 n 重伯努利試驗(yàn)： 1 ．該試驗(yàn)在相同條件下重復(fù) n 次試驗(yàn)； 2 ．每次試驗(yàn)只有二個(gè)結(jié)果 A 或 A ．每次試驗(yàn) 兩種結(jié)果的概率均是 P(A ) ＝ p P( A ) ＝ 1 一 p ； 3 ．在 n 重試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響。他工作的特色是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究各類力學(xué)和物理問題，并由此得到數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)。某單位為職工進(jìn)行普查，共有 1000人需要驗(yàn)血。 例 31 某地 20歲男子，其身高均數(shù) (數(shù)學(xué)期望 )為，標(biāo)準(zhǔn)差為 ；其體重均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為 20歲男青年身高與體重的變異程度是否可認(rèn)為相同 ? 解：設(shè)該地 20歲男子身高和體重都是隨即變量，分別用 X1,X2表示 124. 95( ) 10 0% 2. 98 %16 6. 064. 96( ) 10 0% 9. 23 %53 .7 2CV XCV X? ? ?? ? ?由此可見，體重變異大于身高變異，或者說身高比體重均勻。 1()nkkx?? 大數(shù)定律和中心極限定理是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)聯(lián)系的核心定理，他們不僅是理論研究的依據(jù)，而且對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)和多變量分析在實(shí)際上的應(yīng)用起到重要作用。 課堂練習(xí)： 在伯努利大數(shù)定理中，求證： l im 0n mPp n ??? ??? ? ?????證明 因?yàn)? 1 mmp p p pnn ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由伯努利大數(shù)定理論， n ??就得到此題結(jié)果。 課堂思考 課堂練習(xí) 1654年 ,一個(gè)名叫 梅累的騎士就 “ 兩個(gè)賭徒約定賭若干局 , 且誰先贏 c 局便算贏家 , 若在一賭徒勝 a 局 ( ac ),另一賭徒勝 b局(bc)時(shí)便終止賭博 ,問應(yīng)如何分賭本 ” 為題求教于帕斯卡 , 帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題 , 于 1654 年共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念 數(shù)學(xué)期望 1. 概率論的誕生 醫(yī)學(xué)應(yīng)用： 根據(jù)字母使用頻率分布，把字母的序號(hào) 作為橫坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)頻率的對(duì)數(shù)作為縱坐標(biāo)則 散點(diǎn)圖大致成斜率為 1的直線，各種文字都 有類似規(guī)律 研究發(fā)現(xiàn)，占 DNA分子鏈長(zhǎng)度 97%的， 但并不表現(xiàn)任何功能的片斷中，分子頻率的 特征竟與上述語言文字規(guī)律一致！形成了“基 因文字“的猜想。 一、大數(shù)定律 概率論中用來闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱為 大數(shù)定律（ law of large numbers） .它是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)最基本最重要的核心定理。醫(yī)務(wù)人員把 4個(gè)職工分為一組，把 4人的血液混合檢查，如果混合血樣是陰性的，這樣， 4個(gè)人平均每人化驗(yàn) 1/4次；如果混合血樣是陽性的，則對(duì) 4個(gè)人再逐個(gè)分別化驗(yàn)，這樣 4個(gè)人共作 5次化驗(yàn)，相當(dāng)平均每人化驗(yàn) 5/4次。 例 25 用車運(yùn)送 500件針劑藥品 ， 在運(yùn)輸途中藥品受損壞的概率為 ， (1)求運(yùn)輸途中小于 3件藥品損壞的概率； (2)求運(yùn)輸途中多于 3件藥品損壞的概率 ， (3)求運(yùn)輸途中恰有 2件藥品損壞的概率 。 所求概率用3 ( 2 )P表示， 3 ( 2 )P= P {1 2 3A A A+1 2 3A A A+1 2 3A A A} = P {1 2 3A A A} + P {1 2 3A A A} + P {1 2 3A A A} =3p2(1 p)3 2=23Cp2(1 p)3 2 求在 3次重復(fù)試驗(yàn)中事件 A剛好出現(xiàn) 2次的概率 ? 解：用 Ai（ i=1， 2， 3）表示事件 A在第 i次試驗(yàn)發(fā)生；用 （ i=1， 2， 3）表示事件A在第 i次事件不發(fā)生。 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 122 130 138 146 154 mi/n/△ xi 解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì) : 例 20 設(shè) f( x) 是連續(xù)隨機(jī)變量密度函數(shù)，且 , 0 1()0a x xfx???? ?? 其