【正文】 互不相 容事件，則有 P(A1+A2+?+A n) ＝ P(A1)+P(A2)+… +P(An) 推論 2 事件 A的逆事件 的概率為 A( ) 1 ( )P A P A??定理 2 設 A， B為任意二事件，則 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) A B BA AB 證明：如圖 A+B=A+(BA) B=AB+(BA) 事件 A與事件 BA互不相容，事件 AB與事件 BA互不相容 根據(jù)定理 1 得 P(A+B)=P(A+(BA))=P(A)+P(BA) P(B)=P(AB+(BA))=P(AB)+P(BA) 所以 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) 推論 3 若 A， B， C為任意三個事件，則 P(A+B+C)＝ P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(AC)P(BC)+P(ABC) 例 8 一批針劑共 50支，其中 45支是合格品， 5支是不合格品，從這批針劑中取 3支 .求其中有不合格品的概率。 解 : 設 A為 “ 取到 3支針劑中有不合格品 ” 事件 , Ai為 “ 取到 3支針劑中有 i支是不合格品 ” 事件 ,i=1,2,3,顯然 A1,A2,A3互不相容 ,且 A= A1+A2+A3 由定理 1知 P(A)= 另解法 :由推論 2可得 P(A) P(A1)+P(A2)+P(A3) = 1()PA ?125 45350CCC?0 .2 5 2 5215 4 52 350( ) 0 . 0 2 3CCPAC??305 4 53 350( ) 0 . 0 0 0 5CCPAC??1 ( )PA??035 4 53501 1 0 . 7 2 4 0 . 2 7 6CCC?＝ － － ＝ 例 9 胃癌病人接受過手術 (A)、放療 (B)、中藥治療 (C)的各有 1/2．同時受過兩種治療方法的各有 1/4 ，接受過三種治療有 1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大 ? 解：先求至少得到一種治療的概率 1 1 1 1 1 1 1 7()2 2 2 4 4 4 8 8P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求的概率 71( ) 1 0 . 1 2 588P A B C? ? ? ? ? ?7． 2． 2 條件概率和乘法公式 有許多實際問題，除要知道事件 B的概率外，往往還要知道在事件 A已發(fā)生的條件下 B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認為條件概率 ,簡記為 P(B／ A)。 例如，在美國某大學高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴重程度和有無心絞痛分類。各組病人數(shù)如下表 輕型至中型 重型 合計 有心絞痛 18 7 25 無心絞痛 243 38 281 合計 261 45 306 以 A表示任選一名高血壓病人是重型患者，以 B表示病人無心絞痛史， P(A)=45／ 306， P(B)＝ 281/306， P(AB)＝ 38/306 如果已經(jīng)知道一名病人是重型，且無心絞痛史的條件概率 P(B／ A)是多少 ? 38() 45BP A ?重型且無心絞痛的人數(shù) 重型人數(shù) 3830645306? () 38 45()P A BPA??重型且無心絞痛人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率 重型人數(shù)占總?cè)藬?shù)的概率 定義 5 對事件 A， B， 若 P(A)＞ 0，則稱 P(B/A)＝ P(AB)/P(A) 為在事件 A發(fā)生的條件下事件 B的條件概率 同理 對事件 A， B， 若 P(B)＞ 0，則稱 P(A/B)＝ P(AB)/P(B) 為在事件 B發(fā)生的條件下事件 A的條件概率 定理 3 兩事件的積事件的概率等于其中一事件的概率與另一事件在前一事件出現(xiàn)下的條件概率的乘積： P(AB)＝ P(A)P(B／ A)＝ P(B)P(A／ B) 概率的乘法公式可以推廣有限多個事件的情形。例如，對于三個事件 A,B,C P(ABC)＝ P((AB)C)＝ P(AB)P(C/AB) ＝ P(A)P(B／ A )P(C/AB) 例 10 在某一人群中，聾子 (A)的概率是，盲人 (B)的概率是 ，而聾子中是盲人的概率為 ，求盲人中聾子的概率 ? 解： P(A)= P(B)= P(B/A)= P(A/B)=? P(A/B)= ()()P ABPB?( ) ( )()BP A PAPB?0 .0 0 5 0 .1 2 0 .0 7 0 60 .0 0 8 5? ? 對于任意事件 A， B,通常條件概率P(B／ A)與概率 P(B)是不相等的 ， 即一個事件發(fā)生改變了另一個事件發(fā)生的概率 ，說明事件 A與 B有聯(lián)系 ， 但是 ． 生活中也有另外的一種情況存在 ， 一個事件的發(fā)生與否不會影響另一事件的概率 (P(B／ A)＝P(B))。 問題提出 定義 6 設 A， B 兩事件，如果 P(B／ A)＝ P(B)，則稱事件 A與事件 B相互獨立。 若 A與 B相互獨立，則 P(B／ A)=P(B)，又有乘法公式 P(AB)＝ P(A)P(B／ A)于是，P(AB)＝ P(A)P(B)成立。反之亦然。 定理 4 事件 A與事件 B相互獨立的充分必要條件是 P(AB)＝ P(A)P(B). 例 11 有 — 種治療流行性感冒的新藥，在500名流行病人中，有的服了這種藥 (A)，有的沒有服這種藥 ( )，經(jīng) 5天后，有的痊愈 (B)，有的未痊愈 ( )，各種情況的人數(shù)見下表，其中 170表示服藥后痊愈 (AB)的人數(shù)，其余類似。試判斷這種新藥對流感是否有效？ AB療效 服藥 未服藥 合計 痊愈 170 230 400 未愈 40 60 100 合計 210 290 500 解： 400( ) 0 . 8500PB ??170( ) 0 .8 1210BP A ?? 因為 P(B)與 P(B/A)幾乎相等，故認為 A與 B相互獨立。表明服藥和不服藥對療效影響不大，新藥對流感沒有意義。 例 12 考慮有兩個孩子的家庭，假定男女出生率一樣，第一次出生的是女孩的用 A表示，第二次出生是男孩的 B表示，說明 A與B二事件是否相互獨立。 解： 兩個孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果： (女、女 )， (女、男 )， (男，女 )， (男，男 )； P(A)=2/4 P(B)＝ 2/4 P(AB)＝ 1/4 顯然 P(AB)＝ P(A)P(B)，所以 A與 B相互獨立，即 A發(fā)生的條件下，不影響 B的概率。 例 14 某藥廠的針劑車間灌裝 — 批合格注射液，需經(jīng) 4道工序，從長期生產(chǎn)經(jīng)驗知，由于切割時掉入玻璃屑成廢品的概率為 ％。由于安 洗滌不潔成廢品的概率為 ％．灌裝時污染劑液成廢品的概率為 ％，由于封口不密成廢品的慨率為 ％，求四道工序都合格概率。 解 : 4個工序相互獨立。設 Ai表示“第 i道工序合格品”， i=1,2,3,4 P(A1A2A3A4)＝ P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)= ()()() (1)= 全概率公式與貝葉斯公式 定理 5（全概率公式）設 A1 A2,?A n是兩兩互不相容事件，且 P(Ai)0； 121,( ) ( ) ( )nniiiB A A A BBP B P A PA?? ? ? ?? ?若 則 事 件 的 概 率A2 A1 A3 A5 A4 An B ?證明： 如圖 A1 A2,… An是兩兩互不相容事件 BB??12() nB A A A? ? ? ?()PB1212( ( ) )( ) ( ) ( )nnP B A A AP B A P B A P B A? ? ? ?? ? ? ?1212( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnB B BP A P P A P P A PA A A? ? ? ?1( ) ( )niiiBP A PA?? ? 例 15 設某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 X光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 X光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20，從這 10盒中任取 — 盒，再從取出的這盒中任取一張 X光片，抽到的 X光片是正品的概率 ? 解： 設 A1,A2,A3分別表示取得的 X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B BP B P A P P A P P A PA A A? ? ?5 9 3 1 4 2 1 9 0 . 9 21 0 1 0 1 0 1 5 1 0 2 0? ? ? ? ? ? ? 例 17 設某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 x光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 x光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20,從這 10盒中任取一張 X光片是正品，問抽到的 X光片是甲廠生產(chǎn)的概率 ? 解： 設 A1,A2,A3分別表示取得的 x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 問 P(A1/B)=? P 11 P ( A B )A（ ） =BP(B)11( ) ( )()BP P AAPB＝111 2 31 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BP A PAB B BP A P P A P P A