【正文】 6 B43快 10 9 3 邊界 B51清楚 1 51 19 B52欠清楚 16 38 36 B53不清楚 24 3 10 腫塊長度 (cm) B61 6 69 56 B62 23 23 9 ??解：該病例所出現(xiàn)的有關(guān)癥候表現(xiàn)的具體組合可用符號表示為： B=B11B21B32B41B53B61,假設(shè)各癥候表現(xiàn)的出現(xiàn)與否彼此獨立，則根據(jù)獨立事件概率可得 P(B)=P(B11)P(B21)P(B32) P(B41)P(B53)P(B61) 在 A1發(fā)生的條件下， B出現(xiàn)的概率 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 1 5 3 1 6 1 15P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B /A ) P ( B / A)0 . 1 3 7 9 0 . 0 6 9 0 0 . 5 5 1 7 0 . 1 0 3 4 0 . 1 3 7 9 0 . 2 0 6 9 1 . 5 4 8 7 1 0 ??? ? ? ? ? ? ? ?,?? 4 323同 理 P (B / A )= 3 .5 0 1 9 1 0 P (B / A )= 9 .4 2 8 1 1 0根據(jù)貝葉斯公式，可得在癥候 B表現(xiàn)的條件下，乳癌 A1發(fā)生的概率 1111 2 31 2 355 4 33223( ) ( )(B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 .15 59 1 .54 89 100 .15 59 1 .54 89 10 0 .49 45 3 .50 19 10 0 .34 95 9 .42 8 1 06 .92 10( B 593 10 ( BBP A PAPAB B BP A P P A P P A PA A AP A P A?? ? ????????? ? ? ? ? ? ? ????/) ＝同 理 /) ＝ ， /) ＝ 這說明是乳腺病的可能性最大，所以診斷該患者為乳腺病。設(shè) Ai表示“第 i道工序合格品”， i=1,2,3,4 P(A1A2A3A4)＝ P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)= ()()() (1)= 全概率公式與貝葉斯公式 定理 5（全概率公式）設(shè) A1 A2,?A n是兩兩互不相容事件，且 P(Ai)0； 121,( ) ( ) ( )nniiiB A A A BBP B P A PA?? ? ? ?? ?若 則 事 件 的 概 率A2 A1 A3 A5 A4 An B ?證明： 如圖 A1 A2,… An是兩兩互不相容事件 BB??12() nB A A A? ? ? ?()PB1212( ( ) )( ) ( ) ( )nnP B A A AP B A P B A P B A? ? ? ?? ? ? ?1212( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnB B BP A P P A P P A PA A A? ? ? ?1( ) ( )niiiBP A PA?? ? 例 15 設(shè)某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 X光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 X光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20，從這 10盒中任取 — 盒，再從取出的這盒中任取一張 X光片，抽到的 X光片是正品的概率 ? 解： 設(shè) A1,A2,A3分別表示取得的 X光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 解： 兩個孩子家庭按出生先后順序排列共有四種可能結(jié)果： (女、女 )， (女、男 )， (男，女 )， (男，男 )； P(A)=2/4 P(B)＝ 2/4 P(AB)＝ 1/4 顯然 P(AB)＝ P(A)P(B)，所以 A與 B相互獨立，即 A發(fā)生的條件下，不影響 B的概率。 定理 4 事件 A與事件 B相互獨立的充分必要條件是 P(AB)＝ P(A)P(B). 例 11 有 — 種治療流行性感冒的新藥，在500名流行病人中，有的服了這種藥 (A)，有的沒有服這種藥 ( )，經(jīng) 5天后，有的痊愈 (B)，有的未痊愈 ( )，各種情況的人數(shù)見下表，其中 170表示服藥后痊愈 (AB)的人數(shù)，其余類似。例如，對于三個事件 A,B,C P(ABC)＝ P((AB)C)＝ P(AB)P(C/AB) ＝ P(A)P(B／ A )P(C/AB) 例 10 在某一人群中，聾子 (A)的概率是，盲人 (B)的概率是 ，而聾子中是盲人的概率為 ，求盲人中聾子的概率 ? 解： P(A)= P(B)= P(B/A)= P(A/B)=? P(A/B)= ()()P ABPB?( ) ( )()BP A PAPB?0 .0 0 5 0 .1 2 0 .0 7 0 60 .0 0 8 5? ? 對于任意事件 A， B,通常條件概率P(B／ A)與概率 P(B)是不相等的 ， 即一個事件發(fā)生改變了另一個事件發(fā)生的概率 ，說明事件 A與 B有聯(lián)系 ， 但是 ． 生活中也有另外的一種情況存在 ， 一個事件的發(fā)生與否不會影響另一事件的概率 (P(B／ A)＝P(B))。 ?? ? ? ? ? ?1 2 1 2M M M MP (A B ) P (A ) P (B )N N N推論 1 若 A1, A2,? ， An是 n個兩兩互不相 容事件，則有 P(A1+A2+?+A n) ＝ P(A1)+P(A2)+… +P(An) 推論 2 事件 A的逆事件 的概率為 A( ) 1 ( )P A P A??定理 2 設(shè) A， B為任意二事件，則 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) A B BA AB 證明：如圖 A+B=A+(BA) B=AB+(BA) 事件 A與事件 BA互不相容，事件 AB與事件 BA互不相容 根據(jù)定理 1 得 P(A+B)=P(A+(BA))=P(A)+P(BA) P(B)=P(AB+(BA))=P(AB)+P(BA) 所以 P(A+B)＝ P(A)+P(B)P(AB) 推論 3 若 A， B， C為任意三個事件，則 P(A+B+C)＝ P(A)+P(B)+P(C)P(AB) P(AC)P(BC)+P(ABC) 例 8 一批針劑共 50支，其中 45支是合格品， 5支是不合格品，從這批針劑中取 3支 .求其中有不合格品的概率。為不可能事件，則 P(216。為不可能事件，則 W(216。 (3) 進行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn) . 故為隨機試驗 . 1.“拋擲一枚骰子 ,觀察出 現(xiàn)的點數(shù) ” . 2.“從一批產(chǎn)品中 ,依次任 選三件 ,記錄出現(xiàn)正品 與次品的件數(shù) ” . 同理可知下列試驗都為隨機試驗 10 月份的 平均氣溫 . 在隨機試驗中 , 可能出現(xiàn)的結(jié)果稱為隨機事件，簡稱事件。 第一節(jié) 隨機事件及其概率 第二節(jié) 概率基本運算法則 及其應(yīng)用 第三節(jié) 隨機變量及其概率分布 第四節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 第五節(jié) * 大數(shù)定律和中心極限定理 隨機事件 事件關(guān)系及運算 隨機事件的概率 第一節(jié) 隨機事件及其概率 隨機現(xiàn)象是通過隨機試驗來研究的 . 問題 什么是隨機試驗 ? 隨機事件 1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進行 。概率論研究的對象是什么？ 現(xiàn)象 確定現(xiàn)象 隨機現(xiàn)象 引 言 第七章 概率論基礎(chǔ) 問題提出 ； 100度 (標準大氣壓下 )。概率論就是研究隨機 現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的一門數(shù)學學科 . 本章主要內(nèi)容： 隨機事件及其概率 隨機變量及其分布和數(shù)字特征 大數(shù)定律和中心極限定理 概率論在氣象、生物學、臨床醫(yī)學、數(shù)理 統(tǒng)計、經(jīng)濟、軍事等各個領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。 (2) 試驗的所有可能結(jié)果 : 字面、花面 。例如 :A （擲出奇數(shù)點） B( 擲出一點 ) A + B AB ? 4. 事件 A 與 B 的 交事件 ；表示 A 與 B 兩 事件都發(fā)生 ，記 作 A ∩ B ， ( 也記 作 AB ) ，即 . 例如 : A與 B的差事件： 表示 A發(fā)生而 B不發(fā)生 ， 記作 AB， 例如 : … ?AB 6. 互不相容或互斥事件：若 A 與 B 兩事件不能同時發(fā)生，即 A ∩ B= ? ，就稱A 與 B 互不相容 . 例如 : A B ? 7. 如果事件 A 與 B 不能同時發(fā)生，并且 A 與 B 至少發(fā)生一個，即 A ∩ B= ? 且 A ∪ B= ? , 就說 B 是 A 的逆事件（或?qū)α⑹录?；記?B= A ( 或c? ) ；此時 A 也是 B 的逆事件 . 例如 : ? ?B A 幾個成立的等式 （ 1 ） A ? ? ? （ 2 ） AA? ? ? （ 3 ） AA ? （ 4 ） A B A B?? （ 5 ） A B AB?? 例 1 設(shè)有三人做尿常規(guī)化驗，用 A表示至少有一人不正常， B表示三人都正常， C表示三人中恰有一人不正常，試問哪些是對立事件？哪些是互斥事件？B+C,A∩C,A – C各表示何實際意義？ 解：事件 A與 B是對立的， 事件 B與 C和事件 A與 B均是互斥事件， B +C表示最多一人不正常， A∩C=C 表示恰有一個人不正常， A – C表示至少有二人不正常 例 2 設(shè) A、 B、 C三事件，則如何表示： A發(fā)生而 B與 C都不發(fā)生可表示為 A與 B都發(fā)