【正文】 /20 問 P(A1/B)=? P 11 P ( A B )A（ ） =BP(B)11( ) ( )()BP P AAPB＝111 2 31 2 3( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BP A PAB B BP A P P A P P A PA A A??＝ 定理 6（貝葉斯公式）設 A1 A2,?A n是兩兩互不相容，且 P(Ai)0， P(B)0 121,( ) ( )()( ) , 1 , 2 , ,()( ) ( )nkkkkniiiB A A ABP A PP A B AAP k nB PBBP A PA?? ? ? ?? ? ??若 則 例 16 經(jīng)大量臨床應用知道，某種診斷肝癌的試驗有下述效果：“試驗反應為陽性”記為事件 B，“被診斷患肝癌”的事件為 A。 例如，在美國某大學高血壓研究中心就診的306名有末端器官損害的高血壓病人，按嚴重程度和有無心絞痛分類。 3. 進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現(xiàn) . 定義 1： 在概率論中 ,把具有以下三個特征的試驗稱為 隨機試驗 . 隨機試驗（簡稱試驗） 說明 ：隨機試驗簡稱為試驗，通常用 E 來表示 實例 “ 拋擲一枚硬幣 ,觀察字面 ,花面出現(xiàn)的情況 ” . 分析 : (1) 試驗可以在相同的條件下重復地進行 。用 A,B,C表示，如擲一枚骰子 基本事件 必然事件 復合事件 不可能事件 ? 所有基本事件組成的集合，成為樣本空 間，記為 Ω ，不包含任何基本事件的空 集記作 216。 問題提出 定義 6 設 A， B 兩事件，如果 P(B／ A)＝ P(B)，則稱事件 A與事件 B相互獨立。 課堂練習 課堂思考 探討乳腺腫塊的鑒別診斷 我們用 變量 X 表示 ， 例 2：拋一枚硬幣，結果分為“正面”、“反面” 隨機變量及其概率分布 目的 ： 將隨機試驗的結果數(shù)量化以便于研究 ! 例 1：生化檢驗結果分陽性和陰性， X=0表正面； X＝ 1表反面 。那么 3次試驗 A出現(xiàn) 2次的結果共 1 2 3A A A 1 2 3A A A 1 2 3A A A23CiA個，即 ， [ 定義 12 ] 若隨機變量 X 的概率分布 P n (k) ＝k k n knC p q ? (A ＝ 0 ， 1 ，?， n) 則稱 X 服從參數(shù)為 n,p( 0 ＜ p ＜ 1,q ＝ l — p 的二項分布， 記作 X — B( n,p) 。假定不同人之間的反應相互獨立的，這種分組化驗比以往每人化驗 1次可減少多少工作量 ? 解 :4人混合成的血呈陰性反應的概率為 。 引例： A事件代表擲 骰子是大于 3點而小于 6點 ,B事件 代表擲骰子是 6點 ,即 P(A)=2/6, P(B)=1/ :擲骰子點數(shù)大于 3點的概率 ? A事件與 B事件是互不相容事件 , A事件與 B事件的和事件代表擲骰子點數(shù)大于 3點的事件 . P(A+B)=P(A)+ P(B)=2/6+1/6=1/2. 在一批有一定次品率的產(chǎn)品中，連續(xù)兩次抽取產(chǎn)品，每次任取一件。 生物醫(yī)學中很多隨機變量均服從正態(tài)分布就是這個原因。SAT的分數(shù) X服從正態(tài)分布 N(500， 1002)；學生B參加 ACTP考試得了 24分，而 ACTP的分數(shù) Y服從正態(tài)分布 N(18， 62)，就考試得分而言，誰考得更好 ? 解題過程 顯然 A學生的成績好 第四節(jié) 隨機變量的數(shù)字特征 隨機變量的數(shù)學期望及其性質 一、數(shù)學期望的概念 二、五個常見分布的數(shù)學期望 三、數(shù)學期望的性質 隨機變量的方差及其性質 一、方差的概念 二、方差的性質 三、五種常見分布的方差 四、標準差及變異系數(shù) X(m) 人數(shù) 7 10 12 6 5 一、數(shù)學期望的概念 實例：某班 40人，其身高為隨機變量 X，X的分布情況如下 定義 16 設 X是離散型隨機變量 ,其值取 x1,x2?,對應的概率為 p1,p2?, 如果級數(shù) 存在 ,把他稱為 X的數(shù)學期望 ,記作 E(X) 定義 17 設 X是連續(xù)型隨機變量 , 概率密度函數(shù)為f(x),如果積分 存在 ,則把這個積分值稱為 X的數(shù)學期望 ,記作 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學期望 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學期望 E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學期望 E(X) E(X) 二、五種常見分布的數(shù)學期望 E(X) ? 二、五種常見分布的數(shù)學期望 ? ? ? ? ? ? 三 .數(shù)學期望的性質 ? 設 X,Y分別是隨機變量 ,a,b,c是常數(shù) ,由數(shù)學期望的定義容易得出下列性質 . 例 29 某種病毒性傳染病可通過驗血檢查。 [ 定義 11] 若隨機變量 X 的分布為 P （ x ＝ 1 ）＝ p ， P( X = 0) ＝ 1 p 則稱 X 服從以 p (0 ＜ X ＜ 1 ＝為參數(shù)的二點分布， 或 (0 — 1) 分布。 P(A1)=5/10,P(A2)=3/10,P(A3)=2/10 P(B/A1)=9/10, P(B/A2)=14/15, P(B/A3)=19/20 1 2 31 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )B B BP B P A P P A P P A PA A A? ? ?5 9 3 1 4 2 1 9 0 . 9 21 0 1 0 1 0 1 5 1 0 2 0? ? ? ? ? ? ? 例 17 設某醫(yī)院倉庫中有 10盒同樣規(guī)格的 x光片，已知其中有 5盒、 3盒、 2盒依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的該種 x光片的次品率分別是 1／ 10， 1／ 15， 1／ 20,從這 10盒中任取一張 X光片是正品，問抽到的 X光片是甲廠生產(chǎn)的概率 ? 解： 設 A1,A2,A3分別表示取得的 x光片是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的， B表示 x光片是正品。 解 : 設 A為 “ 取到 3支針劑中有不合格品 ” 事件 , Ai為 “ 取到 3支針劑中有 i支是不合格品 ” 事件 ,i=1,2,3,顯然 A1,A2,A3互不相容 ,且 A= A1+A2+A3 由定理 1知 P(A)= 另解法 :由推論 2可得 P(A) P(A1)+P(A2)+P(A3) = 1()PA ?125 45350CCC?0 .2 5 2 5215 4 52 350( ) 0 . 0 2 3CCPAC??305 4 53 350( ) 0 . 0 0 0 5CCPAC??1 ( )PA??035 4 53501 1 0 . 7 2 4 0 . 2 7 6CCC?＝ － － ＝ 例 9 胃癌病人接受過手術 (A)、放療 (B)、中藥治療 (C)的各有 1/2．同時受過兩種治療方法的各有 1/4 ，接受過三種治療有 1/8，另有部分病人因誤診等原因而未得到治療，這樣的可能性有多大 ? 解：先求至少得到一種治療的概率 1 1 1 1 1 1 1 7()2 2 2 4 4 4 8 8P A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?于是所求的概率 71( ) 1 0 . 1 2 588P A B C? ? ? ? ? ?7． 2． 2 條件概率和乘法公式 有許多實際問題，除要知道事件 B的概率外，往往還要知道在事件 A已發(fā)生的條件下 B出現(xiàn)的概率．則這種概率可認為條件概率 ,簡記為 P(B／ A)。 2. 每次試驗的可能結果不止一個 ,并且能事先明確試驗的所有可能結果 。 事件 A與 B相等；記作 A =B，表示 A B 并且 B A. 例如 : … ??A B ? 事件 的關系及運算 : 1. 事件 A 包含 B （ B 包含于 A ）：表示事 件 B 發(fā)生事件 A 必然 發(fā)生， 記作 A B ? （或 B A ? ）。 若 A與 B相互獨立，則 P(B／ A)=P(B)，又有乘法公式 P(AB)＝ P(A)P(B／ A)于是，P(AB)＝ P(A)P(B)成立。 X=0表陰性； X＝ 1表陽性 。 例 23 在 100升經(jīng)消毒的自來水中 ， 只能含有10個大腸桿菌 ， 今從中取出 l升水進行檢驗 ，問在這一升水中檢出 2個大腸桿菌的概率是多少 ?如果真的檢查出有 2個大腸桿菌 ， 問這水是否合格 ? 解：對于每個大腸桿菌來說，只有兩個結果：落入A 或不落入 A 這一升水中， P (A )=0. 01,P( A )=0. 99 ，所以 10 個大腸桿菌是否落入可以看作 10 重伯努利試驗，故所求概率為： 10 (2)P 210C= ()2()102= 根據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗中不 可能發(fā)生，所以認為這水是不合格的。陽性為 設平均每人化驗次數(shù)為隨即變量 X,則分布列為 X 1/4 1+1/4 試問哪個射手技術較好 ? 思考題 誰的技術比較好 ? 乙射手 甲射手 解 故甲射手的技術比較好 . 隨機變量的方差及其性質 一、方差的概念 二、方差的性質 三、五種常見分布的方差 四、標準差及變異系數(shù) 在許多實際問題中 ， 除了考慮隨機變量的數(shù)學期望外 ， 還要研究隨機變量以 E(x)為中心的分散程度 ， 比如生物體內的脈搏 、 血壓及血球波動過大 ， 表明該生物體處于病態(tài) 。第一次取后放回，設第一次取得正品的事件為 A,設第二次取得正品的事件為 B,那么P(B/A)=P(B) 若事件 A,B相互獨立，證明 A與 也相互獨立。也可解釋為：若被研究