【正文】 代表了參數(shù)中二維正態(tài)分布密度函數(shù)　　　YXρ. )2(相互獨立與等價于相關(guān)系數(shù)為零與二維正態(tài)隨機變量　　　YXYX69 矩 )( kXEk 階原點矩))](([ kXEXEk ?階中心矩其中 k 是正整數(shù) . 協(xié)方差 Cov(X,Y)是 X 和 Y 的二階混合中心矩 . 稱它為 X和 Y 的 k+l 階混合 (原點 )矩 . 若 })]([)]({[ lk YEYXEXE ??存在， 稱它為 X和 Y的 k+l 階混合中心矩 . 設(shè) X和 Y是隨機變量，若 )( lk YXEk,l=1,2,… 存在， 70 在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時候一個有限的和很難求 , 但一經(jīng)取極限由有限過渡到無限 ,則問題反而好辦 .例如 , 若對某一 x ,要計算和 ，!!3!21)(32nxxxxxS nn ?????? L則當(dāng) n 很大時，很難求 )( xS n ， 而一經(jīng)取極限，則有 簡單的結(jié)果 .e)(lim xnn xS ???利用這個結(jié)果 , 當(dāng) n 很大時 , 可以把 xe 作為 )( xS n的近似值 . 167。 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 協(xié)方差 問題的提出 那么相互獨立和若隨機變量 ,YX).()()( YDXDYXD ???不相互獨立和若隨機變量 YX?)( ?? YXD22 )]([)()( YXEYXEYXD ?????) ] }.() ] [({[2)()( YEYXEXEYDXD ?????協(xié)方差 51 {[ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X Y E Y??定義 C ov( , ) {[ ( ) ] [ ( ) ] }.X Y E X E X Y E Y? ? ?設(shè) (X,Y )為二維隨機變量，若 存在，則稱它為隨機變量 X 與 Y 的協(xié)方差， Cov( , ) ,XY記作 或 ，即 XYs52 由協(xié)方差的定義易知協(xié)方差具有下列性質(zhì) : ),(Co v),(Co v XYYX ? ),(Co v),(Co v YXabbYaX ??C ov ( , ) C ov ( , ) C ov ( , )X Y Z X Z Y Z? ? ?若 X 和 Y 相互獨立，則 0),(Co v ?YX ),(C o v2)()()( YXYDXDYXD ????Cov ( , ) D ( )X X X? C ov( , ) ( ) ( ) ( ) 。)(10000YEXEXYEYXYEXEYXEXCECXECCE獨立35 常見離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 分布 分布律 E ( X ) (0 1) 分布 X ~ B (1, p ) k k p p k X P ? ? ? ? 1 ) 1 ( } { k =0,1 p 二 項分布 X ~ B ( n , p ) k n k k n p p C k X P ? ? ? ? ) 1 ( } { k =0,1,2,…, n np 泊松分布 ) ( ~ ? P X P { X = k }= ? ? ? e k k ! k =0,1,2,… ? 幾何分布 P { X = k }= p p k 1 ) 1 ( ? ? k =1,2,… p 1 36 常見連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 分布名稱 概率密度 ) ( X E 均勻分布 X~ U [ a , b ] f ( x )= ? ? ? ? ? ? ? 其他 , 0 ] , [ , 1 b a x a b 2 b a ? 正態(tài)分布 ) , ( ~ 2 s m N X f ( x )= 2 2 2 ) ( 2 1 s m s p ? ? x e m 指數(shù)分布 ) ( ~ ? E X f ( x )= ) 0 ( , 0 0 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其他 x e x ? 1 37 167。 4 定義 1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 . ) ( ). ( , , . , 2 , 1 , } { 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k k k k k k k k k k k p x X E X E X p x p x k p x X P X 即 記為 的數(shù)學(xué)期望 的和為隨機變量 則稱級數(shù) 絕對收斂 若級數(shù) 的分布律為 設(shè)離散型隨機變量 L 5 關(guān)于定義的幾點說明 (3) 隨機變量的數(shù)學(xué)期望與一般變量的算 術(shù)平均值不同 . (1) E(X)是一個實數(shù) ,而非變量 ,它是一種 加 權(quán)平均 ,與一般的平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn) 了隨機變量 X 取可能值的 真正平均值 , 也稱 均值 . (2) 級數(shù)的絕對收斂性 保證了級數(shù)的和不 隨級數(shù)各項次序的改變而改變 , 之所以這樣要 求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量 X 取可能值 的平均值 ,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變 . 6 ,甲 乙 兩 個 射 手 他 們 的 射 擊 結(jié) 果 分 別 為試問哪個射手技術(shù)較好 ? 例 1 誰的技術(shù)比較好 ? 甲射手 擊中環(huán)數(shù) 概率 0 1 2 30. 7 0. 1 0. 1 0. 1乙射手 擊中環(huán)數(shù) 概率 0 1 2 30 . 5 0 . 3 0 . 2 07 1( ) . .1 . . ,EX ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 7 1 0 2 0 1 + 3 0 .1 0 62( ) 0 . . . . ,EX ? ? ? ? ? ? ? ?0 5 1 0 3 2 0 2 + 3 0 0 7., 21 XX為乙射手擊中的環(huán)數(shù)分別設(shè)甲故乙射手的技術(shù)比較好 . 解 8 例 2 泊松分布 .0,2,1,0,!}{ ???? ? ?? ? LkekkXPk則有 ??????0 !)(kkekkXE ??????? ??? 11)!1(kkke ?????? ee ?? ? .??且分布律為設(shè) ),(P~ ?X?9 例 3 袋中有 12個零件，其中 9個合格品， 3個廢品 .安裝機器時，從袋中一個一個地取出（取出后不放回），設(shè)在取出第一個合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機變量 X ,求 E(X ). X 的可能取值為 0， 1， 2， 3. 為求 X 的分布律，先求取前面這些可能值的概率，易知 解 9{ 0 } 0 . 7 5 0 ,12PX ? ? ?3 2 9{ 2 } 0 . 0 4 1 ,1 2 1 1 1 0PX ? ? ? ? ? 10 于是，得到 X 的分布律為： 則有 : 39{ 1 } 0 .2 0 4 ,1 2 1 1PX ? ? ? ?3 2 1 9{ 3 } 0 .0 0 5 .1 2 1 1 1 0 9PX ? ? ? ? ? ?X 0 1 2 3 P ( ) 0 0 .7 5 0 1 0 .2 0 4 2 0 .0 4 1 3 0 .0 0 50 .3 0 1 .EX ? ? ? ? ? ? ? ??11 連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義 定義 2 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的分布密度為()fx，若積分()?????xf x dx絕對收斂，則定義 X 的數(shù)學(xué)期望 為 ?)( XE ()????? xf x dx 數(shù)學(xué)期望簡稱 期望 ，又稱為 均值 。 當(dāng) X為連續(xù)型時 ,X的密度函數(shù)為 f(x). 推廣到兩個以上 ，見教材 . 23 該公式的重要性在于 : 當(dāng)我們求 E[g(X)]時 , 不必知道 g(X)的分布，而只需知道 X的分布就可以了 . 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便 . ??????????????連續(xù)型離散型XdxxfxgXpxgXgEYE kkk,)()(,)()]([)( 124 例 8 設(shè)隨機變量 X 的分布律為 X 1 0 1 2 P ， 1 1YX??22 XY ? )( 1YE )( 2YE且 ， .試求： ， 解 :利用定理 1計算得： 1( ) ( 1 )E Y E X??[ ( 1 ) 1 ] 0 . 1 [ 0 1 ] 0 . 3 [ 1 1 ] 0 . 4[ 2 1 ] 0 . 2 1 . 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?同理， 2( ) ?EY25 例 9 設(shè)隨機變量 X 的分布密度為 ???????0,00,)(xxexfx求 :(1) 。經(jīng)統(tǒng)計得 X 和 Y 的分布律如下： X 0 1 2 3 Y 0 1 2 3 P P 試問二人誰更穩(wěn)定些？ 解 由 得 2( ) 1 .1 , ( ) 2 .1??E X E X2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] 2 .1 1 .1 0 .8 9D X E X E X? ? ? ? ? 由 得 2( ) 1 .1 , ( ) 2 .3??E Y E Y2 2 2( ) ( ) [ ( ) ] Y E Y E Y? ? ? ? ? 可見，二人平均水平相當(dāng)，但甲更穩(wěn)定些。 例 3 若 ，且 ，問 X 與 Y 是否不相關(guān)？是否獨立？ ~ ( 0 ,1 )XN 2YX?60 解 因為 X 分布密度為偶函數(shù)，所以 3( ) ( ) 0E X E X??于是 32c o v ( , ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0??? ? ?X Y E X Y E X E YE X E X E X進一步，有 c o v ( , ) 0( ) ( )XY