求極限及幾種方法論文-在線瀏覽
2025-03-02 07:55本頁(yè)面
【正文】 ??nx 單調(diào)遞增， 有上界 ? ?lim su pnnx xx????或 ??nx ，有單調(diào)遞減，有下界 ? ?lim in fnnx xx????。 證明： 利用已知不等式 1 1 1ln 11 n n n??? ? ???? ?? 有 ? ?1 1 1 1l n 1 l n l n 1 011nnx x n nn n n? ??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ?? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 3 故 nx 嚴(yán)格單調(diào)遞減 又因?yàn)? 01 1 3 2ln 1 2 2 1nnknnx k n n????? ? ? ????? ???????? 11111l n 11 1 1 1l n 1 0nnkknkkkk k n n???????? ? ?????????? ? ? ? ? ???????????? 即 nx 有下界， nx 單調(diào)遞減，故 limnx x??存在。 例：試證 :2 2 1l im l im , l imn n nn n nx a x a x a?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 證明：只需證明充分性，而必要性顯然成立 按已知條件 0,??? 當(dāng) 1nN? 時(shí)， 2nxa??? 又 2 0N??，當(dāng) 2nN? 時(shí)， 21nxa?? ?? 于是令 ? ?12m a x 2 , 2 1N N N??，則 nN? 時(shí)恒有 nxa??? 故 limnn xa??? ? a 大家在求 乘除極限里，其因子可用等價(jià)因子代替，極限不變。 要點(diǎn)：用初等數(shù)學(xué)的方法，將 nx 加以變形，然后求極限，主要對(duì) nx 進(jìn)行緊縮。 因?yàn)?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1l im 1 l im 1 f x g xgx fxx a x af x f x e?????? ? ? ????? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 7 Euler 常數(shù)的經(jīng)典極限： 11lim 1 ln2n nCn?? ??? ? ? ? ?????存在。 解： ? ?1 1 1 11 111222!11 2 3 4 111 2 3nnnnii n ne e n n ennnnin? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 12121112221111nn nn cnnnnne eenn?? ??? ??? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 從而，有 ? ?11112212l im l im 211 11n nn i c cnnnien e eni? ?????? ??? ? ? ???????????? ?? ????????? （其中 C 為 Euler 常數(shù)） 7 利用變量替換求極限 為了將未知的極限簡(jiǎn)化，或轉(zhuǎn)化為已知的極限來(lái)求，可根據(jù)極限的特點(diǎn)，引入新的變量，來(lái)替換原來(lái)的極限過程，轉(zhuǎn)化為新才極限的過程。即將極限適當(dāng)放大或縮小，使原極限變?yōu)樾碌臉O限，且二者的極限值相同，則原極限存在，且等于此極限值。 不定行：“ 00 ”，“ ?? ”，“ 0 ?? ”，“ 0? ”，“ 1? ”，“ 0 0 ”，“ ??? ”。 例： 1） ? ?tan2lim sin 。xxxx ???????? 3） 222020()lim 。tan l n sin39。例如 sinlim 1cosxxx???? ?? ，就是如此。 （ 3） L’Hospital 法則告訴我們，對(duì)于 00 型或 ?? 型 ,當(dāng) ? ?? ?39。xafxgx??存在時(shí) ? ?? ?limxafxgx??也存在嗎 ?請(qǐng)看下面的例子 例：求 coslimxxxx??? 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 10 解： 這是 ?? 型，但我們并不能根據(jù)當(dāng) x?? 時(shí)， ( sin ) 39。xx xx? ??的極限不存在，就錯(cuò)誤地得出 coslimxxxx??? 也不存在的結(jié)論 事實(shí)上，顯然有 coslim 1xxxx??? ?。lim39。請(qǐng)看下面的例子。 0x a b g x? ? ?，當(dāng) xa?? 時(shí)，? ?gx?? ，且 39。( )xafx Agx?? ? （有限數(shù)，或 ? ），則 ()lim 39。( )lim39。39。 事實(shí)上 ??fx可以改寫成 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 111f x f xf x g x g x f xg x g x?? ? ?? ， 因此 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 111f x f x f x g x f xg x g x g x g x f x???? ? ???? ?? （ 2） 1）若 A=有限數(shù)，有（ 2）可得 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 111f x f x f x g x f x A g xAAg x g x g x g x g x? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? （ 3） 有關(guān)求 極限運(yùn)算的方法 11 保持 1a x x?? ，令 1xa?? ，則 10, 0,??? ? ? ? 使當(dāng) 11a x x a ?? ? ? ?時(shí)，有 ? ? ? ?? ? ? ?11 4f x f x Ag x g x ?? ??? . 再將 1x 固定，令 x 繼續(xù)趨向 a? ，據(jù) ? ?gx?? （當(dāng) 1xa?? 時(shí)），知 ? ?10 xa??? ? ? ?，使得 ax??? 時(shí)，有 ? ?? ?1 1gxgx? ， ? ? ? ?? ?11 2f x Ag xgx ?? ? 由于由（ 3） ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 1 1112 42f x f x f x g x f x Ag xAAg x g x g g x g x ?? ?????? ? ? ? ? ? ? ? ??
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