【正文】 l 于點 M ， N 為 MB 的中點．試判斷直線 QN 與以 AB 為直徑的圓 O 的位置關(guān)系． （ 1）將 ( 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 0k x k y k? ? ? ? ? ?整理得 ( 2 2) 2 1 0x y k x y? ? ? ? ? ? ? 解方程組 2 2 02 1 0xyxy? ? ? ??? ? ? ??得直線所經(jīng)過的定點（ 0， 1），所以 1b? ． A x y M N Q P H l O B 本卷第 10 頁（ 共 33 頁） 由離心率 32e?得 2a? ． 所 以 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 為2 2 14x y??． 4分 （ 2）設(shè) ? ?00,P x y ，則 2 200 14x y??． ∵ HP PQ? ， ∴ ? ?00,2Q x y ． ∴ ? ?220022O Q x y? ? ? ∴ Q 點在以 O 為圓心， 2為半徑的的圓上．即 Q 點在以 AB 為直徑的圓 O 上． ……6 分 又 ? ?2,0A? ， ∴ 直線 AQ 的方程為 ? ?002 22yyxx??? ． 令 2x? ，得 0082, 2yM x???????．又 ? ?2,0B ， N 為 MB 的中點， ∴ 0042, 2yN x???????． ……8 分 ∴ ? ?00,2OQ x y? ， 000 022, 2xyN Q x x?????????． ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?22 000 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 04242 2 2 22 2 2xxx y x yO Q N Q x x y x x x xx x x ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 0 0 02 2 0x x x x? ? ? ? ?． ∴ OQ NQ? ． ∴ 直線 QN 與圓 O 相切． ，焦點在 x 軸上，離心率為 23 ，且經(jīng) 過點 ? ?4,1M ，直線 mxyl ??: 交橢圓于不同的兩點 A， B. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求 m 的取值范圍； （Ⅲ）若直線 l 不過點 M，試問 MA MBkk? 是否為定值？并說明理由。 （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2）求 ,OAOB 的取值范圍； （ 3）若 B點在于 x軸的對稱點是 E，證明：直線 AE與 x軸相交于定點。 解析：（ Ⅰ ）由 0)42(:4 0 222 ??????? ? ??? bxbxyxy byx 得消去 因直線 xybxy 42 ??? 與拋物線 相切， 04)42( 22 ?????? bb ， ∴ 1b? ， ………………2 分 ∵ 圓 )0(1:2222 ???? babyaxC 的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角 形， ∴ 22 ?? ba 故所求橢圓方程為 .12 22 ?? yx （ Ⅱ ）當(dāng) L與 x軸平行時，以 AB 為直徑的圓的方程： 222 )34()31( ??? yx 當(dāng) L與 x軸垂直時，以 AB為直徑的圓的方程： 122 ??yx 由 即兩圓公共點（ 0， 1） 因此，所求的點 T 如果存在，只能是（ 0， 1） （ ⅰ ）當(dāng)直線 L斜率不存在時，以 AB 為直徑的圓過點 T（ 0， 1） （ ⅱ ）若直線 L斜率存在時，可設(shè)直線 L： 31??kxy 由 01612)918(:12312222 ???????????????kxxkyyxkxy得消去 記點 ),( 11 yxA ．?????????????9181691812),(22122122kxxkkxxyxB 則 )34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211?????????????kxkxxxyyxxTBTAyxTByxTA所以又因為 916)(34)1(21212 ????? xxkxxk 0916918 1234918 16)1(222 ?????????? k kkkk ∴TA⊥TB, 本卷第 14 頁（ 共 33 頁） 綜合 （ ⅰ ）（ ⅱ ），以 AB為直徑的圓恒過點 T（ 0， 1）． 2 22: 1( 0 )xC y aa ? ? ?的兩個焦點是 12( , 0) ( , 0) ( 0)F c F c c??和 ，且橢圓 C上的點到焦點 F2的最短距離為 3 2.? （ 1）求橢圓的方程； （ 2）若直線 : ( 0)l y kx m k? ? ?與橢圓 C交于不同的兩點 M、 N，線段 MN垂直平分線恒過點 A（ 0， 1），求實數(shù) m的取值范圍。 ……………………… 6分 （ 2） 由（ 1）知，點 A（ x1,y1） 、 B（ x2,y2） 的坐標(biāo)滿足???????????myymxx23322121 ， 點 P的坐標(biāo)為 （ 1， 23 ） , m=3， 于 是 x1+x2+1=3+m=0， y1+y2+23 =3+ 23m +23 =0， 因此△ PAB的重心坐標(biāo)為 (0， 0)．即原點是△ PAB的重心 . ∵ x1+x2=1， y1+y2=23 ，∴ AB 中點坐標(biāo)為（ 21? ， 43? ），……………………… 10分 又 134 2121 ?? yx ， 134 2222 ?? yx ，兩式相減得 2143 21 2112 12 ?????????? yy xxxx yyk AB。 （ Ⅰ ）求橢圓 E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ Ⅱ ）圓 O是以橢圓 E的長軸為直徑的圓， M是直線 x=－ 4在 x軸上方的一點，過 M作圓 O的兩條切線， 切點分別為 P、 Q，當(dāng) ∠ PMQ=60176。 (1)設(shè)直線 l 的方程為： ( 4)y k x??，即 40kx y k? ? ? 由垂徑定理，得：圓心 1C 到直線 l 的距離 22234 ( ) 12d ? ? ?， 結(jié)合點到直線距離公式，得：2| 3 1 4 | 1,1kkk? ? ? ?? 化簡得： 2 72 4 7 0 , 0 , , 24k k k o r k? ? ? ? ? 求直線 l 的方程為： 0y? 或 7 ( 4)24yx? ? ?，即 0y? 或 7 24 28 0xy? ? ? (2) 設(shè)點 P坐標(biāo)為 ( , )mn ，直線 1l 、 2l 的方程分別為： 1( ) , ( )y n k x m y n x mk? ? ? ? ? ? ?，即： 110 , 0k x y n k m x y n mkk? ? ? ? ? ? ? ? ? 因為直線 1l 被圓 1C 截得的弦長與直線 2l 被圓 2C 截得的弦長相等，兩圓半徑相等。 故有：2241| 5 || 3 1 |11 1nmk n k m kkkk? ? ? ?? ? ? ????， 化簡得： ( 2 ) 3 , ( 8 ) 5m n k m n m n k m n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 關(guān)于 k 的方程有無窮多解，有： 20 ,30mnmn? ? ?????? ? ???mn+8=0或 m+n5=0 解之得：點 P坐標(biāo)為 313( , )22? 或 51( , )22? 。 ，橢圓 C過點 A 3(1, )2 ，兩個焦點為（ 1， 0），（ 1， 0）。 解：（Ⅰ）由題意， c=1,可設(shè)橢圓方程為2219114bb???，解得 2 3b? ， 2 34b ?? （舍去） 所以橢圓方程為 22143xy??。 16．已知雙曲線 E ： 22124 12xy??的左焦點為 F ，左準(zhǔn)線 l 與 x 軸的交點是圓 C 的圓心，圓 C恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點 O ，設(shè) G 是圓 C 上任意一點． （ Ⅰ ）求圓 C 的方程； （ Ⅱ ）若直線 FG 與直線 l 交于點 T ，且 G 為線段 FT 的中點，求直線 FG 被圓 C 所截得的弦長； 本卷第 21 頁（ 共 33 頁） （ Ⅲ ）在平面上是否存在定點 P ，使得對圓 C 上任意的點 G 有 12GFGP?？若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：（ Ⅰ ）由雙曲線 E： 22124 12xy??，得 l ： 4x?? ， ( 4,0)C? ， ( 6,0)F? ． ……2 分 又圓 C過原點，所以圓 C的方程為 22( 4) 16xy? ? ? ． ……………………4 分 （ Ⅱ ）由 題意，設(shè) ( 5, )GGy? ，代入 22( 4) 16xy? ? ? ，得 15Gy ?? ， …………5 分 所以 FG 的斜率為 15k?? ， FG 的方程為 15 ( 6)yx? ? ? ． ………………6 分 所以 ( 4,0)C? 到 FG 的距離為 152d? ， ……………………………………7 分 直線 FG 被圓 C截得的弦長為 21522 16 ( ) 7?? ……………………………9 分 (Ⅲ) 設(shè) P(s,t),G(x0,y0),則由 | | 1| | 2GFGP?，得 22002200( 6) 12( ) ( )xyx s y t??? ? ? 整理得 3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144s2t2=0. ① ………………11 分 又 G(x0,y0)在圓 C:(x+4)2+y2=16上，所以 x02+y02+8x0=0 ② ② 代入 ① ，得 (2s+24)x0+2ty0+144s2t2=0. ……………………………………13 分 又由 G(x0,y0)為圓 C上任意一點可知，222 24 020144 0stst? ??????? ? ??…………………………14 分 解得： s= 12, t=0. …………………………………………………………………15 分 所以在平面上存在一定點 P，其坐標(biāo)為（ 12,0）． 17. 橢圓 C ： 221xyab??（ 0ab?? ）的左、右焦點分別為 1F 、 2F ，右頂點為 A ， P 為橢圓 C 上任意一點．已知 12PF PF? 的最大值為 3 ，最小值為 2 ． （１）求橢圓 C 的方程； （２）若直線 l ： y kx m??與橢圓 C 相交于 M 、 N 兩點（ M 、 N 不是左右頂 點），且以 MN 為直徑的圓過點 A ．求證：直線 l 過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 解析：（ 1） P 是橢圓上任一點 , 12| | | | 2PF PF a? ? ?且 1||a c PF a c? ? ? ?， 1 2 1 2 1 2| | | | c osy P F P F P F P F F P F? ? ? ? 2 2 2121 [ | | | | 4 ]2 P F P F c? ? ? 本卷第 22 頁（ 共 33 頁） 2 2 21(| | ) 2P F a a c? ? ? ?…………………… 2分 當(dāng) 1||PF a? 時， y 有最小值 222ac? ；當(dāng) 2||PF a c??或 ac? 時 , y 有最大值 22ac? ． 2222322acac? ???? ???， 2241ac? ?? ??， 2 2 2 3b a c? ? ? ． ?橢圓方程為 22143xy??。 18. 已知拋物線 D的頂點是橢圓134 2 ?? yx的 中心，焦點與該橢圓的右焦點重合 . (1)求拋物線 的方程 。 ii是否存在垂直于 x軸的直線 m被以 AP為直徑的圓 M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出 m的方程；如果不存在，說明理由 . 解：解 :(1)由題意 ,可設(shè)拋物線方程為? ?022 ?? ppxy. ………… 1分 由 1342 ???? ba,得 1?c. ………… 2分 ?拋物線的焦點為? ?0,1,2??p. ………… 3分 拋物線 D的方程為xy 42 ?. ………… 4分 (2)設(shè)? ?11,yxA,? ?22,yxB. ………… 5分 ??i直線 l的方程為