【正文】 邊的高為 CD，若 =， =，? =0， ||=1，||=2，則 =（） A． B． C． D． 7．（ 5 分）已知α為第二象限角，則 cos2α =（） A．﹣ B．﹣ C． D． 8．（ 5 分）已知 F F2 為雙曲線 C： x2﹣ y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上， |PF1|=2|PF2|，則 cos∠ F1PF2=（）A． B． C． D． 9． （ 5 分）已知 x=lnπ， y=log52，則（） A． x＜ y＜ zB． z＜ x＜ yC． z＜ y＜ xD． y＜ z＜ x10．（ 5 分）已知函數(shù) y=x3﹣ 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 c=（） A．﹣ 2 或 2B．﹣ 9或 3C．﹣ 1 或 1D．﹣3 或 111．（ 5 分）將字母 a， a， b， b， c， c 排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）A． 12 種 B． 18 種 C． 24 種 D． 36 種 12．（ 5分）正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 BC 上，動(dòng)點(diǎn) P 從 E 出發(fā)沿直線向 F 運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方 形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn) P第一次碰到 E 時(shí)， P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（） A． 16B． 14C． 12D． 10 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中橫線上．（注意：在試題卷上作答無(wú)效） 13．（ 5 分）若 x， y 滿足約束條件則 z=3x﹣ y 的最小值為 ． 14．（ 5 分）當(dāng)函數(shù) y=sinx﹣ cosx（ 0≤ x＜ 2π）取得最大值時(shí)， x= ． 15．（ 5 分）若的展開式中第 3項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 ． 16．（ 5分）三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱 長(zhǎng)都相等，∠ BAA1=∠CAA1=60176。則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ． 三 .解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（ 10 分）△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a、 b、 c，已知 cos（ A﹣ C） +cosB=1， a=2c，求 C． 18．（ 12 分）如圖，四棱錐 P﹣ ABCD中，底面 ABCD 為菱形， PA⊥底面 ABCD， PA=2， E 是 PC 上的一點(diǎn)， PE=2EC．（Ⅰ）證明： PC⊥平面 BED； （Ⅱ）設(shè)二面角 A﹣ PB﹣ C 為 90176。則異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值為．【考點(diǎn)】 LM：異面直線及其所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】先選一組基底，再利用向量加法和減法的三角形法則和平行四邊形法則將兩條異面直線的方向向量用基底表示，最后利用夾角公式求異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如圖，設(shè) =，棱長(zhǎng)均為 1，則 =， =， =∵，∴ =（）?（） =﹣ ++﹣ +=﹣ ++=﹣ 1++1=1||===||===∴ cos＜，＞ ===∴異面直線 AB1與 BC1所成角的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了空間向量在解決立體幾何問題中的應(yīng)用，空間向量基本定理，向量數(shù)量積運(yùn)算的性質(zhì)及夾角公式的應(yīng)用，有一定的運(yùn)算量 三 .解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（ 10 分）△ ABC 的內(nèi)角A、 B、 C 的對(duì)邊分別為 a、 b、 c，已知 cos（ A﹣ C） +cosB=1， a=2c，求C．【考點(diǎn)】 GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用； HP：正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】由cos（ A﹣ C） +cosB=cos（ A﹣ C）﹣ cos（ A+C） =1，可得 sinAsinC=，由a=2c 及正弦定理可得 sinA=2sinC，聯(lián)立可求 C【解答】解：由 B=π﹣（ A+C）可得 cosB=﹣ cos（ A+C）∴ cos（ A﹣ C） +cosB=cos（ A﹣ C）﹣cos（ A+C） =2sinAsinC=1∴ sinAsinC=①由 a=2c 及正弦定理可得sinA=2sinC②①②聯(lián)立可得，∵ 0＜ C＜π∴ sinC=a=2c即 a＞ c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查 了兩角和與差的余弦公式及正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題 18．（ 12 分）如圖，四棱錐 P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 為菱形， PA⊥底面 ABCD， PA=2， E是 PC 上的一點(diǎn)， PE=2EC．（Ⅰ）證明： PC⊥平面 BED； （Ⅱ）設(shè)二面角 A﹣ PB﹣ C 為 90176?！?PD 與平面 PBC 所成角的大小為 30176。所以 。 11. 若是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析 : 依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)椋挥忠驗(yàn)?；所以；故選 C. ，已知在有且僅有個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論： 在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn) 在有且僅有個(gè)極小值點(diǎn) 在單調(diào)遞增 的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是 A. B. C. D. 答案： D 解析： 根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知， 由題意可得，解得， 所以，解得，故對(duì)； 令得，∴圖像中軸右側(cè)第一個(gè)最值點(diǎn)為最大值點(diǎn)，故對(duì)； ∵，∴在有個(gè)或個(gè)極小值點(diǎn)，故錯(cuò)； ∵，∴，故對(duì) . 二 .填空題 ，為單位向量，且，若，則 . 答案： 解析： ∵，∴， ∵，∴ . ，若，則 . 答案： 解析： 設(shè)該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故， ∴ . 、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標(biāo)為 ________. 答案： 解析： 已知橢圓可知，由為上一點(diǎn)且在第一象限，故等腰三角形中， ,，代入可得 .故的坐標(biāo)為 . ，利用 D 打印技術(shù)制作模型。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 ”，根據(jù)直方圖得到的估計(jì)值為 . （ 1） 求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （ 2） 分別估計(jì)甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表） . 答案： 見解析 解答 : （ 1） 依題意得，解得 . （ 2） 得到甲離子殘留百分比的平均值為 ,，乙離子殘留百分比的平均值為 . .已知 . (1 求 B。又因?yàn)椋ㄒ驗(yàn)闉殇J角，若越大越大，則越小越小；越大）；所以，所以 . 1是由矩形，和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中， ， .將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖 2. （ 1）證明：圖 2中的四點(diǎn)共面，且平面平面； （ 2）求圖 2中的二面角的大小 . 答案： 見解析 解析： 證明：（ 1）由題意知，又，平面，又平面，平面平面 . (2)分別取，的中點(diǎn)為，連結(jié)，則， 四邊形為棱形，且 60， ， 又平面， ，即平面， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ， ， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 , ，令，則 , 得到， 平面的一個(gè)法向量為， ,故二面角的大小為 . . （ 1） 討論的單調(diào)性； （ 2） 是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說(shuō)明理由 . 答案： 見解析 解析： （ 1） ?當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增 . ?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得 . 此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . ?當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得 . 此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 綜上可得，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增 . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . （ 2） 由（ 1）中結(jié)論可知，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增， 此時(shí)，∴，滿足題意 . 當(dāng)時(shí)，若，即，則在單調(diào)遞減， 此時(shí)，∴，滿足題意 . 若，即，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 . 此時(shí) ? ∵ ∴當(dāng)時(shí)， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 當(dāng)時(shí)， ?， 由 ??可得，與矛盾，故不成立 . 綜上可知，或滿足題意 . ，為直線上的動(dòng)點(diǎn) .過(guò)作的兩條切線 ,切點(diǎn)分別是 , （ 1）證明：直線過(guò)定點(diǎn) 。 （ 2） 方法一：根據(jù)柯西不等式， ，證得或 . 方法二：令， 有 ，證得或 第三篇： 2021年高考真題 — 普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試 — 理科數(shù)學(xué)（全國(guó)卷Ⅰ） — 解析版 2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó) I 卷） 理科數(shù)學(xué) ，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： 由題意可知 ,又因?yàn)?,則，故選 . ，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： ∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為， ∴ ∴ ∴ ，則（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知：；再有指數(shù)函數(shù)的圖像可知：，于是可得到： . ，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是（稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此 .此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是 .若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為，則其身高可能是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 方法一： 設(shè)頭頂處為點(diǎn)，咽喉處為點(diǎn)，脖子下端處為點(diǎn)，肚臍處為點(diǎn)，腿根處為點(diǎn)，足底處為， 根據(jù)題意可知 ,故；又，故； 所以身高，將代入可得 . 根據(jù)腿長(zhǎng)為，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為可得，； 即，將代入可得 所以，故選 B. 方法二： 由于頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度極為接近，故頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度可估值為頭頂至咽喉的長(zhǎng)度；根據(jù)人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比是（稱為黃金分割比例）可計(jì)算出咽喉至肚臍的長(zhǎng)度約為；將人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度 與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度相加可得頭頂至肚臍的長(zhǎng)度為，頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是可計(jì)算出肚臍至足底的長(zhǎng)度約為；將頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度相加即可得到身高約為，與答案更為接近且身高應(yīng)略小于，故選 B. 5. 函數(shù)在的圖像大致為（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ∵， ∴為奇函數(shù)，排除 A， 又，排除 C， ，排除 B，故選 D. 《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化 .每一“重卦”由從下到上排列的 6 個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦 .在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有個(gè)陽(yáng)爻的概率是（ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 每爻有陰陽(yáng)兩種情況，所以總的事件共有種，在個(gè)位置上恰有個(gè)是陽(yáng)爻的情況有種，所以 . 7