【正文】 x）單調(diào)遞增； 當(dāng) 0＜ a＜ 1時(shí)，由 f＇（ x） =0 得 x1=arcsina， x2=π﹣ arcsina當(dāng)x∈ [0， x1]時(shí)， sinx＜ a， f＇（ x）＞ 0， f（ x）單調(diào)遞增當(dāng) x∈ [x1， x2]時(shí)， sinx＞ a， f＇（ x）＜ 0， f（ x）單調(diào)遞減當(dāng) x∈ [x2，π ]時(shí)， sinx＜ a， f＇（ x）＞ 0， f（ x）單調(diào)遞增； （Ⅱ）由 f（ x）≤ 1+sinx 得 f（π）≤ 1， aπ﹣ 1≤ 1，∴ a≤．令g（ x） =sinx﹣（ 0≤ x），則 g′（ x） =cosx﹣當(dāng) x 時(shí)， g′（ x）＞ 0，當(dāng)時(shí)， g′（ x）＜ 0∵，∴ g（ x）≥ 0，即（ 0≤ x），當(dāng) a≤時(shí)，有①當(dāng)0≤ x 時(shí)， cosx≤ 1，所以 f（ x）≤ 1+sinx； ②當(dāng)時(shí)， =1+≤ 1+sinx 綜上， a≤．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y=（ x+1） 2與圓（ r＞ 0）有一個(gè)公共點(diǎn) A，且在 A處兩曲線的切線為同一直線 l．（Ⅰ）求r； （Ⅱ）設(shè) m， n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m， n 的交點(diǎn)為 D，求 D到 l的距離．【考點(diǎn)】 IM：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)； IT：點(diǎn)到直線的距離公式； KJ：圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）設(shè) A（ x0，（ x0+1） 2），根據(jù) y=（ x+1）2，求出 l的斜率，圓心 M（ 1，），求得 MA 的斜率，利用 l⊥ MA 建立方程，求得 A 的 坐標(biāo)，即可求得 r的值； （Ⅱ）設(shè)（ t，（ t+1） 2）為 C 上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為y﹣（ t+1） 2=2（ t+1）（ x﹣ t），即 y=2（ t+1） x﹣ t2+1，若該直線與圓M 相切，則圓心 M到該切線的距離為，建立方程，求得 t 的值，求出相應(yīng)的切線方程，可得 D 的坐標(biāo)，從而可求 D 到 l 的距離．【解答】解：（Ⅰ）設(shè) A（ x0，（ x0+1） 2），∵ y=（ x+1） 2， y′ =2（ x+1）∴ l 的斜率為 k=2（ x0+1）當(dāng) x0=1時(shí)，不合題意，所以 x0≠ 1 圓心 M（ 1，）， MA的斜率．∵ l⊥ MA，∴ 2（ x0+1） =﹣ 1∴ x0=0，∴ A（ 0， 1），∴ r=|MA|=； （Ⅱ）設(shè)（ t，（ t+1） 2）為 C 上一點(diǎn)，則在該點(diǎn)處的切線方程為y﹣（ t+1） 2=2（ t+1）（ x﹣ t），即 y=2（ t+1） x﹣ t2+1 若該直線與圓 M相切，則圓心 M 到該切線的距離為∴∴ t2（ t2﹣ 4t﹣ 6） =0∴ t0=0，或t1=2+， t2=2﹣拋物線 C在點(diǎn)（ ti，（ ti+1） 2）（ i=0， 1， 2）處的切線分別為 l， m， n，其方程分別為 y=2x+1①， y=2（ t1+1） x﹣②， y=2（ t2+1）x﹣③②﹣③： x=代入②可得： y=﹣ 1∴ D（ 2，﹣ 1），∴ D到 l 的距離為【點(diǎn)評】本題考查圓與拋物線的綜合，考查拋物線的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，關(guān)鍵是確定切線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =x2﹣ 2x﹣ 3，定義數(shù)列 {xn}如下： x1=2， xn+1 是過兩點(diǎn) P（ 4， 5）， Qn（ xn， f（ xn））的直線 PQn 與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（Ⅰ）證明： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式．【考點(diǎn)】 8H：數(shù)列遞推式； 8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：① n=1 時(shí)， x1=2，直線 PQ1 的方程為，當(dāng) y=0時(shí)，可得； ②假設(shè) n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，直線 PQk+1 的方程為，當(dāng) y=0 時(shí)，可得，根據(jù)歸納假設(shè) 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，可以證明 2≤ xk+1＜ xk+2＜ 3，從而結(jié)論成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，構(gòu)造 bn=xn﹣ 3，可得是以﹣為首項(xiàng)， 5 為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式．【解答】（Ⅰ）證明：① n=1 時(shí)， x1=2，直線 PQ1的方程為當(dāng)y=0 時(shí)，∴，∴ 2≤ x1＜ x2＜ 3； ②假設(shè) n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，直線 PQk+1 的方程為當(dāng) y=0時(shí)，∴∵ 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，∴∴ xk+1＜ xk+2∴ 2≤ xk+1＜ xk+2＜ 3 即 n=k+1時(shí)，結(jié)論成立由①②可知： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）由（Ⅰ），可得設(shè) bn=xn﹣ 3，∴∴∴是以﹣為首項(xiàng)， 5 為公比的等比數(shù)列∴∴∴．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是從函數(shù)入手，確定直線方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用數(shù)列知識解決． 第二篇： 2021年高考真題 — 普通高等學(xué)校統(tǒng)一 考試 — 理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅲ） — 解析版 2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國 III 卷） 理科數(shù)學(xué) 一． 選擇題 已知集合，則（ ） A. B. B. C. C. D. D. 答案： A 解答： ，所以 . ，則（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ,. 3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了 100 位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有 90 位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有 80 位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有 60 位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： （ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 由題意可知含的項(xiàng)為，所以系數(shù)為 . ，且，則（） A. B. C. D. 答案： C 解答： 設(shè)該等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，由已知得， 因?yàn)榍遥瑒t可解得，又因?yàn)椋? 即可解得，則 . 6. 已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ） A., B., C., D., 答案： D 解析： 令，則，得 . ，可得 .故選 D. （ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項(xiàng) ∵，根據(jù)圖像進(jìn)行判斷，可知選項(xiàng) B 符合題意 . ，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則（ ） A.，且直線，是相交直線 B.，且直線，是相交直線 C.，且直線，是異面直線 D.，且直線，是異面直線 答案： B 解析： 因?yàn)橹本€，都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線，是相交直線，設(shè)正方形的邊長為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：， ，所以，故選 B. ，如果輸出為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 第一次循環(huán)：； 第二次循環(huán)：； 第三次循環(huán)：； 第四次循環(huán)：； ? 第七次循環(huán)：， 此時(shí)循環(huán)結(jié)束，可得 .故選 C. 10. 雙曲線：的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)為的一條漸近線的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn) .若則的面積為（ ） A: B: C: D: 答案 : A 解析： 由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點(diǎn)做垂直因?yàn)榈玫?。求 PD 與平面 PBC 所成角的大?。究键c(diǎn)】 LW：直線與平面垂直； MI：直線與平面所成的角； MM：向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】（ I）先由已知建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) D（，b， 0），從而寫出相 關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的充要條件，證明 PC⊥ BE， PC⊥ DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可； （ II）先求平面 PAB 的法向量，再求平面 PBC 的法向量，利用兩平面垂直的性質(zhì)，即可求得 b 的值，最后利用空間向量夾角公式即可求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得線面角【解答】解：（ I）以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系 A﹣ xyz，設(shè) D（， b， 0），則 C（ 2， 0，0）， P（ 0， 0， 2）， E（， 0，）， B（，﹣ b， 0）∴ =（ 2， 0，﹣ 2）， =（，b，）， =（，﹣ b，）∴? =﹣ =0，? =0∴ PC⊥ BE， PC⊥ DE， BE∩ DE=E∴ PC⊥平面 BED（ II） =（ 0， 0， 2）， =（，﹣ b， 0）設(shè)平面 PAB 的法向量為 =（ x， y， z），則取 =（ b， 0）設(shè)平面 PBC 的法向量為 =（ p， q， r），則取 =（ 1，﹣，）∵平面 PAB⊥平面 PBC，∴? =b﹣ =0．故 b=∴ =（ 1，﹣ 1，），=（﹣，﹣， 2）∴ cos＜，＞ ==設(shè) PD 與平面 PBC 所成角為θ，θ∈ [0， ]，則 sinθ =∴θ =30176。求 PD 與平面 PBC 所成角 的大?。?19．（ 12 分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在 10 平前，一方連續(xù)發(fā)球 2 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 2 次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得 1 分，負(fù)方得 0 分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 1分的概率為 ，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．（Ⅰ）求開始第 4 次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為 1比 2 的概率； （Ⅱ）ξ表示開始第 4 次發(fā)球時(shí)乙的得分，求ξ的期望． 20．（ 12分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ax+cosx， x∈ [0，π ]．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) f（ x）≤ 1+sinx，求 a 的取值范圍． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y=（ x+1） 2與圓（ r＞ 0）有一個(gè)公共點(diǎn) A，且在 A 處兩曲線的切線為同一直線 l．（Ⅰ）求 r； （Ⅱ）設(shè) m， n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m， n 的交點(diǎn)為 D，求 D到 l 的距離． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =x2﹣ 2x﹣ 3，定義數(shù)列 {xn}如下： x1=2， xn+1 是過兩點(diǎn) P（ 4， 5）， Qn（ xn， f（ xn））的直線 PQn與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（Ⅰ）證明： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué) 試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，共 60 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．（ 5 分）復(fù)數(shù) =（） A． 2+iB． 2﹣ iC． 1+2iD． 1﹣ 2i【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】把的分子分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，得，由此利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，能求出結(jié)果．【解答】解： ===1+2i．故選： C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 2．（ 5分）已知集合 A={1， 3， }， B={1， m}， A∪B=A，則 m 的值為（） A． 0 或 B． 0 或 3C． 1 或 D． 1 或 3【考點(diǎn)】 1C：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】由題設(shè)條件中本題可先由條件 A∪ B=A 得出 B?A，由此判斷出參數(shù)m 可能的取值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得出答案選出正確選