【正文】 全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版）（五篇） 第一篇：全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）（含解析版） 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（大綱版）一、選擇題（共12 小題，每小題 5 分，共 60 分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．（ 5分）復(fù)數(shù) =（） A． 2+iB． 2﹣ iC． 1+2iD． 1﹣ 2i2．（ 5 分）已知集合 A={1， 3， }， B={1， m}， A∪ B=A，則 m 的值為（） A． 0或 B． 0或 3C． 1 或 D． 1 或 33．（ 5 分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，則該橢圓的方程為（） A． B． C． D． 4．（ 5分）已知正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB=2， CC1=2， E 為 CC1 的中點(diǎn)，則直線 AC1 與平面 BED的距離為（） A． 2B． C． D． 15．（ 5分）已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， a5=5， S5=15，則數(shù)列的前 100 項(xiàng)和為（）A． B． C． D． 6．（ 5分）△ ABC 中， AB 邊的高為 CD，若 =， =，? =0， ||=1，||=2，則 =（） A． B． C． D． 7．（ 5 分）已知α為第二象限角，則 cos2α =（） A．﹣ B．﹣ C． D． 8．（ 5 分）已知 F F2 為雙曲線 C： x2﹣ y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上， |PF1|=2|PF2|，則 cos∠ F1PF2=（）A． B． C． D． 9． （ 5 分）已知 x=lnπ， y=log52，則（） A． x＜ y＜ zB． z＜ x＜ yC． z＜ y＜ xD． y＜ z＜ x10．（ 5 分）已知函數(shù) y=x3﹣ 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點(diǎn)，則 c=（） A．﹣ 2 或 2B．﹣ 9或 3C．﹣ 1 或 1D．﹣3 或 111．（ 5 分）將字母 a， a， b， b， c， c 排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）A． 12 種 B． 18 種 C． 24 種 D． 36 種 12．（ 5分）正方形 ABCD 的邊長為1，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在邊 BC 上，動點(diǎn) P 從 E 出發(fā)沿直線向 F 運(yùn)動，每當(dāng)碰到正方 形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn) P第一次碰到 E 時， P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（） A． 16B． 14C． 12D． 10 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5 分，共 20 分，把答案填在題中橫線上．（注意：在試題卷上作答無效） 13．（ 5 分）若 x， y 滿足約束條件則 z=3x﹣ y 的最小值為 ． 14．（ 5 分）當(dāng)函數(shù) y=sinx﹣ cosx（ 0≤ x＜ 2π）取得最大值時， x= ． 15．（ 5 分）若的展開式中第 3項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)為 ． 16．（ 5分）三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中，底面邊長和側(cè)棱 長都相等，∠ BAA1=∠CAA1=60176。，則異面直線 AB1 與 BC1 所成角的余弦值為 ． 三 .解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（ 10 分）△ ABC的內(nèi)角 A、 B、 C 的對邊分別為 a、 b、 c，已知 cos（ A﹣ C） +cosB=1， a=2c，求 C． 18．（ 12 分）如圖，四棱錐 P﹣ ABCD中，底面 ABCD 為菱形， PA⊥底面 ABCD， PA=2， E 是 PC 上的一點(diǎn)， PE=2EC．（Ⅰ）證明： PC⊥平面 BED； （Ⅱ）設(shè)二面角 A﹣ PB﹣ C 為 90176。，求 PD 與平面 PBC 所成角 的大?。?19．（ 12 分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在 10 平前，一方連續(xù)發(fā)球 2 次后，對方再連續(xù)發(fā)球 2 次，依次輪換．每次發(fā)球，勝方得 1 分，負(fù)方得 0 分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得 1分的概率為 ，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球．（Ⅰ）求開始第 4 次發(fā)球時，甲、乙的比分為 1比 2 的概率； （Ⅱ）ξ表示開始第 4 次發(fā)球時乙的得分，求ξ的期望． 20．（ 12分）設(shè)函數(shù) f（ x） =ax+cosx， x∈ [0，π ]．（Ⅰ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) f（ x）≤ 1+sinx，求 a 的取值范圍． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y=（ x+1） 2與圓（ r＞ 0）有一個公共點(diǎn) A，且在 A 處兩曲線的切線為同一直線 l．（Ⅰ）求 r； （Ⅱ）設(shè) m， n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m， n 的交點(diǎn)為 D，求 D到 l 的距離． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =x2﹣ 2x﹣ 3，定義數(shù)列 {xn}如下： x1=2， xn+1 是過兩點(diǎn) P（ 4， 5）， Qn（ xn， f（ xn））的直線 PQn與 x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（Ⅰ）證明： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式． 2021 年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué) 試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，共 60 分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．） 1．（ 5 分）復(fù)數(shù) =（） A． 2+iB． 2﹣ iC． 1+2iD． 1﹣ 2i【考點(diǎn)】 A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】把的分子分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，得，由此利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，能求出結(jié)果．【解答】解： ===1+2i．故選： C．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 2．（ 5分）已知集合 A={1， 3， }， B={1， m}， A∪B=A，則 m 的值為（） A． 0 或 B． 0 或 3C． 1 或 D． 1 或 3【考點(diǎn)】 1C：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 5J：集合．【分析】由題設(shè)條件中本題可先由條件 A∪ B=A 得出 B?A，由此判斷出參數(shù)m 可能的取值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可得出答案選出正確選項(xiàng)．【解答】解：由題意 A∪ B=A，即 B?A，又， B={1， m}，∴ m=3或 m=，解得 m=3或 m=0及 m=1，驗(yàn)證知， m=1 不滿足集合的互異性，故 m=0 或 m=3 即為所求，故選： B．【點(diǎn)評】本題考查集合中參數(shù)取值問題，解題的關(guān)鍵是將條件 A∪ B=A 轉(zhuǎn)化為 B?A，再由集合的包含關(guān)系得出參數(shù)所可能的取值． 3．（ 5 分）橢圓的中心在原點(diǎn)，焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，則該橢圓的方程為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； K4：橢圓的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】確定橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，根據(jù)焦距為 4，一條準(zhǔn)線為 x=﹣ 4，求出幾何量，即可求得橢圓的方程．【解答】解：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，且∴ c=2， a2=8∴ b2=a2﹣ c2=4∴橢圓的方程為故選： C．【點(diǎn)評】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于 基礎(chǔ)題． 4．（ 5分）已知正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1中， AB=2， CC1=2， E 為 CC1 的中點(diǎn)，則直線 AC1 與平面 BED 的距離為（） A． 2B． C． D． 1【考點(diǎn)】 MI：直線與平面所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】先利用線面平行的判定定理證明直線 C1A∥平面 BDE，再將線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，最后利用等體積法求點(diǎn)面距離即可【解答】解：如圖：連接 AC，交 BD 于 O，在三角形 CC1A 中，易證 OE∥ C1A，從而 C1A∥平面 BDE，∴直線 AC1 與平面 BED的距離即為點(diǎn) A 到平面 BED 的距離，設(shè)為 h，在三棱錐 E﹣ ABD 中， VE﹣ ABD=S△ ABD EC= 2 2 =在三棱錐 A﹣ BDE 中， BD=2， BE=， DE=，∴ S△ EBD= 2 =2∴ VA﹣ BDE= S△EBD h= 2 h=∴ h=1 故選： D．【點(diǎn)評】本題主要考查了線面平行的判定，線面距離與點(diǎn)面距離的轉(zhuǎn)化，三棱錐的體積計(jì)算方法，等體積法求點(diǎn)面距離的技巧，屬基礎(chǔ)題 5．（ 5 分）已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn， a5=5， S5=15，則數(shù)列的前 100 項(xiàng)和為（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 85：等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和； 8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版 權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，結(jié)合已知可求 a1， d，進(jìn)而可求an，代入可得 ==，裂項(xiàng)可求和【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為 d 由題意可得，解方程可得， d=1， a1=1 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得， an=a1+（ n﹣ 1） d=1+（ n﹣ 1） 1=n∴ ===1﹣ =故選： A．【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的應(yīng)用，及數(shù)列求和的裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題 6．（ 5 分）△ ABC 中， AB 邊的高為 CD，若 =， =，? =0， ||=1， ||=2，則 =（） A． B． C． D．【考點(diǎn) 】 9Y：平面向量的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由題意可得， CA⊥ CB， CD⊥ AB，由射影定理可得， AC2=AD?AB 可求 AD，進(jìn)而可求，從而可求與的關(guān)系，進(jìn)而可求【解答】解：∵? =0，∴ CA⊥ CB∵ CD⊥ AB∵ ||=1， ||=2∴ AB=由射影定理可得， AC2=AD?AB∴∴∴ ==故選： D．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的射影定理的應(yīng)用，向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用． 7．（ 5 分）已知α為第二象限角，則 cos2α =（） A．﹣ B．﹣ C． D．【考點(diǎn)】 GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系； GS：二倍角的三角函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 56：三角函數(shù)的求值．【分析】由α為第二象限角，可知 sinα＞ 0， cosα＜ 0，從而可求得 sinα﹣ cosα =，利用 cos2α =﹣（ sinα﹣ cosα）（ sinα +cosα）可求得 cos2α【解答】解：∵ sinα +cosα =，兩邊平方得： 1+sin2α =，∴ sin2α =﹣，①∴（ sinα﹣ cosα） 2=1﹣ sin2α =，∵α為第二象限角，∴ sinα＞ 0， cosα＜ 0，∴ sinα﹣ cosα =，②∴ cos2α =﹣（ sinα﹣ cosα）（ sinα +cosα） =（﹣） =﹣．故選： A．【點(diǎn)評】本題考查同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，突出二倍角的正弦與余弦的應(yīng)用，求得 sinα﹣ cosα =是關(guān)鍵，屬于中檔題． 8．（ 5 分）已知 FF2 為雙曲線 C： x2﹣ y2=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P在 C 上， |PF1|=2|PF2|，則 cos∠ F1PF2=（） A． B． C． D．【考點(diǎn)】 KC：雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求 cos∠ F1PF2的值．【解答】解：將雙曲線方程 x2﹣ y2=2 化為標(biāo)準(zhǔn)方程﹣ =1，則 a=， b=， c=2，設(shè)|PF1|=2|PF2|=2m，則根據(jù)雙曲線的定義， |PF1|﹣ |PF2|=2a 可得 m=2，∴ |PF1|=4， |PF2|=2，∵ |F1F2|=2c=4，∴ cos∠ F1PF2====．故選： C．【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題． 9．（ 5 分）已知 x=lnπ， y=log52，則（） A． x＜ y＜ zB． z＜ x＜ yC． z＜ y＜ xD． y＜ z＜ x【考點(diǎn)】 72：不等式比較大?。純?yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專題】 11：計(jì)算題； 16：壓軸題．【分析】利用 x=lnπ＞ 1， 0＜ y=log52＜， 1＞ z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵ x=lnπ＞ lne=1， 0＜ log52＜ log5=，即y∈（ 0，）； 1=e0＞ =＞ =，即 z∈（， 1），∴ y＜ z＜ x．故選： D．【點(diǎn)評】本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 10．（ 5 分）已知函數(shù) y=x3﹣ 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點(diǎn)，則 c=（） A．﹣ 2 或 2B．﹣ 9 或 3C．﹣ 1 或 1D．﹣ 3或 1【考點(diǎn)】 53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系； 6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所 有【專題】 11：計(jì)算題．【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù) y=x3﹣ 3x+c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點(diǎn)，可得極大值等于 0或極小值等于 0，由此可求 c 的值．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得 y′ =3（ x+1）（ x﹣ 1），令 y′＞ 0，可得 x＞ 1或 x＜﹣ 1； 令 y′＜ 0，可得﹣ 1＜ x＜ 1； ∴函數(shù)在（﹣∞，﹣ 1），（ 1， +∞）上單調(diào)增，（﹣ 1， 1）上單調(diào)減，∴函數(shù)在 x=﹣ 1