【正文】 立數(shù)學模型，根據(jù)第一步分析的結果，選擇恰當?shù)臄?shù)學模型③解模． 9．（ 5分）設偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x﹣ 4（ x≥ 0），則 {x|f（ x﹣ 2）＞ 0}=（） A． {x|x＜﹣ 2或 x＞ 4}B． {x|x＜ 0或 x＞ 4}C． {x|x＜ 0或 x＞ 6}D． {x|x＜﹣ 2或 x＞ 2}【考點】 3K：函數(shù)奇偶性的性質與判斷．菁優(yōu) 網(wǎng)版權所有【專題】 11：計算題．【分析】由偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x﹣ 4（ x≥ 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x|﹣ 4，根據(jù)偶函數(shù)的性質將函數(shù)轉化為絕對值函數(shù)，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =2x﹣ 4（ x≥ 0），可得 f（ x） =f（ |x|） =2|x|﹣ 4，則 f（ x﹣ 2） =f（ |x﹣ 2|） =2|x﹣ 2|﹣ 4，要使 f（ |x﹣ 2|）＞ 0，只需 2|x﹣ 2|﹣ 4＞ 0， |x﹣ 2|＞ 2 解得 x＞ 4，或 x＜ 0．應選： B．【點評】本題主要考查偶函數(shù)性質、不等式的解法以及相應的運算能力 ，解答本題的關鍵是利用偶函數(shù)的性質將函數(shù)轉化為絕對值函數(shù)，從而簡化計算． 10．（ 5 分）若 cosα =﹣，α是第三象限的角，則 sin（α +） =（） A． B． C． D．【考點】 GG：同角三角函數(shù)間的基本關系； GP：兩角和與差的三角函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 11：計算題．【分析】根據(jù)α的所在的象限以及同角三角函數(shù)的基本關系求得 sinα的值，進而利用兩角和與差的正弦函數(shù)求得答案．【解答】解：∵α是第三象限的角∴ sinα =﹣ =﹣，所以 sin（α +） =sinα cos+cosα sin=﹣ =﹣．故選： A．【點評】本 題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，以及同角三角函數(shù)的基本關系的應用．根據(jù)角所在的象限判斷三角函數(shù)值的正負是做題過程中需要注意的． 11．（ 5 分）已知 ?ABCD 的三個頂點為 A（﹣ 1， 2）， B（ 3， 4）， C（ 4，﹣ 2），點（ x， y）在 ?ABCD 的內部，則 z=2x﹣ 5y 的取值范圍是（） A．（﹣ 14， 16） B．（﹣ 14， 20）C．（﹣ 12， 18） D．（﹣ 12， 20）【考點】 7C：簡單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】根據(jù)點坐標與向量坐標之間的關系，利用向量相等求出頂點 D 的 坐標是解決問題的關鍵．結合線性規(guī)劃的知識平移直線求出目標函數(shù)的取值范圍．【解答】解：由已知條件得 ?D（ 0，﹣ 4），由 z=2x﹣ 5y 得 y=，平移直線當直線經過點 B（ 3， 4）時，﹣最大，即 z 取最小為﹣ 14； 當直線經過點 D（ 0，﹣ 4）時，﹣最小，即 z 取最大為 20，又由于點（ x， y）在四邊形的內部，故 z∈（﹣ 14， 20）．如圖：故選 B．【點評】本題考查平行四邊形的頂點之間的關系，用到向量坐標與點坐標之間的關系，體現(xiàn)了向量的工具作用，考查學生線性規(guī)劃的理解和認識，考查學生的數(shù)形結合思想．屬于基本題型． 12．（ 5 分）已知函數(shù)，若 a， b， c 互不相等，且 f（ a） =f（ b） =f（ c），則 abc 的取值范圍是（） A．（ 1， 10） B．（ 5， 6） C．（ 10， 12） D．（ 20， 24）【考點】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換； 3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法； 4H：對數(shù)的運算性質； 4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 13：作圖題； 16：壓軸題； 31：數(shù)形結合．【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù) f（ a） =f（ b） =f（ c），不妨 a＜ b＜ c，求出 abc 的范圍即可．【解答 】解：作出函數(shù) f（ x）的圖象如圖，不妨設 a＜ b＜ c，則 ab=1，則 abc=c∈（ 10， 12）．故選： C．【點評】本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運算性質以及利用數(shù)形結合解決問題的能力． 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分． 13．（ 5 分）圓心在原點上與直線 x+y﹣ 2=0 相切的圓的方程為 x2+y2=2 ．【考點】 J1：圓的標準方程； J9：直線與圓的位置關系．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】可求圓的圓心到直線的距離，就是半徑，寫出圓的方程．【解答】解：圓心到直線的距離： r=，所求圓的方程為 x2+y2=2．故答案 為： x2+y2=2【點評】本題考查圓的標準方程，直線與圓的位置關系，是基礎題． 14．（ 5分）設函數(shù) y=f（ x）為區(qū)間（ 0， 1]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且恒有 0≤ f（ x）≤ 1，可以用隨機模擬方法計算由曲線 y=f（ x）及直線 x=0， x=1， y=0 所圍成部分的面積 S，先產生兩組（每組 N 個），區(qū)間（ 0， 1]上的均勻隨機數(shù) x1， x2，?， xn 和 y1， y2，?， yn，由此得到 N 個點（ x， y）（ i﹣ 1， 2?， N）．再數(shù)出其中滿足 y1≤ f（ x）（ i=1，2?， N）的點數(shù) N1，那么由隨機模擬方法可得 S 的近似值為．【考 點】CE：模擬方法估計概率； CF：幾何概型．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】由題意知本題是求∫ 01f（ x） dx，而它的幾何意義是函數(shù) f（ x）（其中 0≤ f（ x）≤ 1）的圖象與 x 軸、直線 x=0 和直線 x=1 所圍成圖形的面積，積分得到結果．【解答】解：∵∫ 01f（ x） dx 的幾何意義是函數(shù) f（ x）（其中 0≤ f（ x）≤1）的圖象與 x 軸、直線 x=0 和直線 x=1所圍成圖形的面積，∴根據(jù)幾何概型易知∫ 01f（ x） dx≈．故答案為：．【點評】古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù) ，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積和體積的比值得到． 15．（ 5 分）一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的 ①②③⑤ （填入所有可能的幾何體前的編號）①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱．【考點】 L7：簡單空間圖形的三視圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】一個幾何體的正視圖為一個三角形，由三視圖的正視圖的作法判斷選項．【解答】解：一個幾何體的正視圖為一個三角形，顯然①②⑤正確； ③是三棱柱放倒時也正確； ④⑥不論怎樣放置正視圖都不會是三角形； 故答案為：①②③⑤【點評】本題考查簡單幾何體的三視圖，考查空間想象能力，是基礎題． 16．（ 5 分）在△ ABC 中， D 為 BC 邊上一點， BC=3BD， AD=，∠ ADB=135176。．若 AC=AB，則 BD= ． 三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（ 10 分）設等差數(shù)列 {an}滿足a3=5， a10=﹣ 9．（Ⅰ）求 {an}的通項公式； （Ⅱ）求 {an}的前 n項和 Sn 及使得 Sn 最大的序號 n 的值． 18．（ 10分）如圖，已知四棱錐 P﹣ ABCD 的底面為等腰梯形， AB∥ CD， AC⊥ BD，垂足為 H， PH是四棱錐的高．（Ⅰ）證明：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 AB=，∠ APB=∠ ADB=60176。計算等腰梯形 ABCD 的面積， PH 是棱錐的高，然后求四棱錐 P﹣ ABCD的體積．【解答】解： （ 1）因為 PH 是四棱錐 P﹣ ABCD 的高．所以 AC⊥ PH，又 AC⊥ BD，PH， BD 都在平 PHD 內，且 PH∩ BD=H．所以 AC⊥平面 PBD．故平面 PAC⊥平面 PBD（ 6 分）（ 2）因為 ABCD為等腰梯形， AB∥ CD， AC⊥ BD， AB=．所以 HA=HB=．因為∠ APB=∠ ADB=60176。即 AB2=BD2+2+2BD ①AC2=CD2+2﹣ 2CD②又 BC=3BD 所以 CD=2BD 所以由（ 2）得 AC2=4BD2+2﹣ 4BD（ 3）因為 AC=AB 所以由（ 3）得 2AB2=4BD2+2﹣ 4BD（ 4）（ 4）﹣ 2（ 1） BD2﹣ 4BD﹣ 1=0 求得 BD=2+故答案為： 2+【點評】本題主要考查了余弦定理的應用．考查了學生創(chuàng)造性思維能力和基本的推理能力． 三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（ 10分）設等差數(shù)列 {an}滿足 a3=5， a10=﹣ 9．（Ⅰ）求 {an}的通項公式； （Ⅱ）求 {an}的前 n項和 Sn 及使得 Sn 最大的序號 n的值．【考點】84：等差數(shù)列的通項公式； 85：等差數(shù)列的前 n 項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【分析】（ 1）設出首項和公差，根據(jù) a3=5， a10=﹣ 9，列出關于首 項和公差的二元一次方程組，解方程組得到首項和公差，寫出通項．（ 2）由上面得到的首項和公差，寫出數(shù)列 {an}的前 n 項和，整理成關于 n 的一元二次函數(shù)，二次項為負數(shù)求出最值．【解答】解：（ 1）由 an=a1+（ n﹣ 1） d 及 a3=5，a10=﹣ 9 得 a1+9d=﹣ 9， a1+2d=5 解得 d=﹣ 2， a1=9，數(shù)列 {an}的通項公式為 an=11﹣ 2n（ 2）由（ 1）知 Sn=na1+d=10n﹣ n2．因為 Sn=﹣（ n﹣ 5） 2+25．所以 n=5 時， Sn 取得最大值．【點評】數(shù)列可看作一個定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當自變量 從小到大依次取值對應的一列函數(shù)值，因此它具備函數(shù)的特性． 18．（ 10 分）如圖，已知四棱錐 P﹣ ABCD 的底面為等腰梯形， AB∥ CD， AC⊥ BD，垂足為 H， PH是四棱錐的高．（Ⅰ）證明：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 AB=，∠ APB=∠ ADB=60176。．若 AC=AB，則 BD= 2+ ．【考點】HR：余弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 11：計算題； 16：壓軸題．【分析】先利用余弦定理可分別表示出 AB， AC，把已知條件代入整理，根據(jù) BC=3BD 推斷出 CD=2BD，進而整理 AC2=CD2+2﹣ 2CD 得 AC2=4BD2+2﹣ 4BD 把 AC=AB，代入整理，最后聯(lián)立方程消去 AB求得 BD 的方程求得 BD．【解答】用余弦定理求得 AB2=BD2+AD2﹣ 2AD?BDcos135 176。求四棱錐 P﹣ ABCD 的體積． 19．（ 10 分）為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者 提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了 500位老年人，結果如表： 性別是否需要志愿者男女需要 4030 不需要 160270（ 1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例； （ 2）能否有 99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？（ 3）根據(jù)（ 2）的結論，能否提出更好的調查方法來估計該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例？說明理由． P（ K2≥ k） 附： K2=． 20．（ 10分）設 F1， F2 分別是橢圓 E： x2+=1（ 0＜ b＜ 1）的左、右焦點，過 F1的直線 l與 E相交于 A、 B兩點，且 |AF2|， |AB|， |BF2|成等差數(shù)列．（Ⅰ）求 |AB|； （Ⅱ）若直線 l 的斜率為 1，求 b 的值． 21．設函數(shù) f（ x） =x（ ex﹣ 1）﹣ ax2（Ⅰ）若 a=，求 f（ x）的單調區(qū)間； （Ⅱ）若當 x≥ 0 時 f（ x）≥ 0，求 a 的取值范圍． 22．（ 10 分）如圖：已知圓上的弧，過 C 點的圓的切線與 BA 的延長線交于 E 點，證明： （Ⅰ）∠ ACE=∠ BCD．（Ⅱ） BC2=BE?CD． 23．（ 10 分）已知直線 C1（ t為參數(shù)）， C2（θ 為參數(shù)），（Ⅰ）當α =時，求 C1 與 C2 的交點坐標； （Ⅱ）過坐標原點 O 做 C1 的垂線，垂足為 A， P 為 OA 中點，當α變化時，求 P 點的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線． 24．（ 10 分）設函數(shù) f（ x） =|2x﹣ 4|+1．（Ⅰ）畫出函數(shù) y=f（ x）的圖象： （Ⅱ）若不等式 f（ x）≤ ax 的解集非空，求 a 的取值范圍． 2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（新課標）參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（ 5 分）已知集合 A={x||x|≤ 2， x∈R}， B={x|≤ 4， x∈ Z}，則 A∩ B=（） A．（ 0， 2） B． [0， 2]C． {0， 2}D． {0，1， 2}【考點】 1E：交集及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 11：計算題．【分析】由題意可得 A={x|﹣ 2≤ x≤ 2}， B={0， 1， 2， 3， 4， 5， 6，7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14， 15， 16}，從而可求【解答】解：∵A={x||x|≤ 2}={x|﹣ 2≤ x≤ 2}B={x|≤ 4， x∈ Z}={0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7， 8， 9， 10， 11，