【正文】 2 的周長為 8． ∴ 4a=8， ∴ a=2 ∵ e= ， ∴ c=1 ∴ b2=a2﹣ c2=3 ∴ 橢圓 E 的方程為 ． （ Ⅱ ）由 ，消元可得（ 4k2+3） x2+8kmx+4m2﹣ 12=0 ∵ 動直線 l： y=kx+m 與橢圓 E 有且只有一個公共點(diǎn) P（ x0， y0） ∴ m≠0， △ =0， ∴ （ 8km） 2﹣ 4（ 4k2+3） （ 4m2﹣ 12） =0 ∴ 4k2﹣ m2+3=0① 此時 x0= = ， y0= ，即 P（ ， ） 由 得 Q（ 4， 4k+m） 取 k=0， m= ， 此時 P（ 0， ）， Q（ 4， ），以 PQ 為直徑的圓為（ x﹣ 2） 2+（ y﹣ ） 2=4，交 x 軸于點(diǎn) M1（ 1， 0）或 M2（ 3， 0） 取 k= ， m=2，此時 P（ 1， ）， Q（ 4， 0），以 PQ 為直徑的圓為（ x﹣ ） 2+（ y﹣ ） 2= ，交 x 軸于點(diǎn)M3（ 1， 0）或 M4（ 4， 0） 故若滿足條件的點(diǎn) M 存在，只能是 M（ 1， 0），證明如下 ∵ ∴ 故以 PQ 為直徑的圓恒過 y 軸上的定點(diǎn) M（ 1， 0） 點(diǎn)評： 本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題． 20． （ 2022?福建）已知函數(shù) f（ x） =ex+ax2﹣ ex， a∈ R． （ Ⅰ ）若曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1））處的切線平行于 x 軸，求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ Ⅱ ）試確定 a 的取值范圍，使得曲線 y=f（ x）上存在唯一的點(diǎn) P，曲線在該點(diǎn)處的切線與曲線只有一個公共點(diǎn) P． 考點(diǎn) ： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。= 即 = ，解得 a=2，即 AB 的長為 2 點(diǎn)評： 本題考查利用空間向量這一工具求二面角，證明線面平行及線線垂直，解題的關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系及空間位置關(guān)系與向量的對應(yīng)，此類解題，方法簡單思維量小， 但計(jì)算量大，易因?yàn)橛?jì)算錯誤導(dǎo)致解題失敗，解題時要嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)真，利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點(diǎn)，必考內(nèi)容，學(xué)習(xí)時要好好把握 19．（ 2022?福建）如圖，橢圓 E： 的左焦點(diǎn)為 F1，右焦點(diǎn)為 F2，離心率 e= ．過 F1 的直線交橢圓于 A、 B 兩點(diǎn)，且 △ ABF2 的周長為 8． （ Ⅰ ）求橢圓 E 的方程． （ Ⅱ ）設(shè)動直線 l： y=kx+m 與橢圓 E 有且只有一個公共點(diǎn) P，且與直線 x=4 相較于點(diǎn) Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn) M，使得以 PQ 為直徑的圓恒過點(diǎn) M？若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 考 點(diǎn) ： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。建立關(guān)于 a 的方程，解出 a 的值即可得出 AB 的長 解答： 解：（ I）以 A 為原點(diǎn)， ， ， 的方向?yàn)?X 軸， Y 軸， Z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖， 設(shè) AB=a，則 A（ 0， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， D1（ 0， 1， 1）， E（ ， 1， 0）， B1（ a， 0， 1） 故 =（ 0， 1， 1）， =（﹣ ， 1，﹣ 1）， =（ a， 0， 1）， =（ ， 1， 0）， ∵ ? =1﹣ 1=0 ∴ B1E⊥ AD1； （ II）假設(shè)在棱 AA1上存在一點(diǎn) P（ 0， 0， t），使得 DP∥ 平面 B1AE．此時 =（ 0，﹣ 1， t）． 又設(shè)平面 B1AE 的法向量 =（ x， y， z）． ∵ ⊥ 平面 B1AE， ∴ ⊥ B1A， ⊥ AE，得 ，取 x=1，得平面 B1AE 的一個法向量 =（ 1，﹣ ， ﹣ a）． 要使 DP∥ 平面 B1AE，只要 ⊥ ，即有 ? =0，有此得 ﹣ at=0，解得 t= ，即 P（ 0， 0， ）， 又 DP?平面 B1AE， ∴ 存在點(diǎn) P，滿足 DP∥ 平面 B1AE，此時 AP= （ III）連接 A1D， B1C，由長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 及 AA1=AD=1，得 AD1⊥ A1D． ∵ B1C∥ A1D， ∴ AD1⊥ B1C． 由（ I）知， B1E⊥ AD1，且 B1C∩B1E=B1． ∴ AD1⊥ 平面 DCB1A1， ∴ AD1是平面 B1A1E 的一個法向量，此時 =（ 0， 1， 1）． 設(shè) 與 所成的角為 θ，則 cosθ= = ∵ 二面角 A﹣ B1E﹣ A1 的大小為 30176。 專題 ： 證明題；綜合題；數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想。sin2α）﹣ sin2α﹣ sin2α =1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = ． 點(diǎn)評： 本題主要考查兩角差的余弦公式，二倍角公式及半角公式的應(yīng)用，考查歸納推理以及計(jì)算能力，屬于中檔題． 18．（ 2022?福建）如圖，在長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 中 AA1=AD=1， E 為 CD 中點(diǎn)． （ Ⅰ ）求證： B1E⊥ AD1； （ Ⅱ ）在棱 AA1 上是否存在一點(diǎn) P，使得 DP∥ 平面 B1AE？若存在，求 AP 的行；若存在，求 AP 的長；若不存在，說明理由． （ Ⅲ ）若二面角 A﹣ B1E﹣ A1 的大小為 30176。sinα） =1﹣ + （ cos60176。﹣ α） = + ﹣ sinα（ cos30176。sinα） =sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= ． （方法二） sin2α+cos2（ 30176。﹣ α） =sin2α+ ﹣ sinα（ cos30176。﹣ α） = ． 證明：（方法一） sin2α+cos2（ 30176。= ，故 這個常數(shù)為 ． （ Ⅱ ）根據(jù)（ Ⅰ ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣，得到三角恒等式 sin2α+cos2（ 30176。cos15176。+cos215176。cosα+sin30176。﹣ α）﹣ sinαcos（ 30176。=1﹣ sin30176。﹣ sin15176。 分析： （ Ⅰ ）選擇（ 2），由 sin215176。 （ Ⅰ ）試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù) （ Ⅱ ）根據(jù)（ Ⅰ ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論． 考點(diǎn) ： 分析法和綜合法；歸納推理。﹣ sin2（﹣ 25176。 （ 5） sin2（﹣ 25176。﹣ sin2（﹣ 18176。 （ 4） sin2（﹣ 18176。﹣ sin18176。 （ 3） sin218176。﹣ sin15176。 （ 2） sin215176。﹣ sin13176。 分析： （ I）根據(jù)保修期為 2 年，可知甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的轎車數(shù)量為 2+3，由此可求其功率； （ II）求出概率，可得 X X2的分布列； （ III）由（ II），計(jì)算期為 E（ X1） =1 +2 +3 =（萬 元 ）， E（ X2） = + =（萬元 ），比較期望可得結(jié)論． 解答： 解：（ I）設(shè) “甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi) ”為事件 A，則 P（ A） = （ II）依題意得， X1 的分布列為 X1 1 2 3 P X2 的分布列為 X2 P （ III）由（ II）得 E（ X1） =1 +2 +3 =（萬元 ） E（ X2） = + =（萬元 ） ∵ E（ X1）＞ E（ X2）， ∴ 應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車． 點(diǎn)評： 本題考查概率的求解，考查分布列與期望，解題的關(guān)鍵是求出概率，屬于基礎(chǔ)題． 17．（ 2022?福建）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)． （ 1） sin213176。 分析： 根據(jù)所給的新定義，寫出函數(shù)的分段形式的解析式，畫出函數(shù)的圖象，在圖象上可以看出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)時 m 的取值，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出兩個根的積和第三個根，表示出三個根之積，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)于 m 的 函數(shù)的值域，得到結(jié)果． 解答： 解： ∵ 2x﹣ 1≤x﹣ 1 時，有 x≤0， ∴ 根據(jù)題意得 f（ x） = 即 f（ x） = 畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于 x 的方程為 f（ x） =m（ m∈ R）恰有三個互不相等的實(shí)數(shù)根時， m 的取值范圍是（ 0， ）， 當(dāng)﹣ x2+x=m 時，有 x1x2=m， 當(dāng) 2x2﹣ x=m 時，由于直線與拋物線的交點(diǎn)在 y 軸的左邊，得到 ， ∴ x1x2x3=m（ ） = ， m∈ （ 0， ） 令 y= ， 則 ，又 在 m∈ （ 0， ）上是增函數(shù)，故有 h（ m）＞ h（ 0） =1 ∴ ＜ 0 在