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福建省高考數(shù)學(xué)試卷理科及解析-文庫吧資料

2025-01-15 06:34本頁面
  

【正文】 2 的周長為 8. ∴ 4a=8, ∴ a=2 ∵ e= , ∴ c=1 ∴ b2=a2﹣ c2=3 ∴ 橢圓 E 的方程為 . ( Ⅱ )由 ,消元可得( 4k2+3) x2+8kmx+4m2﹣ 12=0 ∵ 動直線 l: y=kx+m 與橢圓 E 有且只有一個公共點 P( x0, y0) ∴ m≠0, △ =0, ∴ ( 8km) 2﹣ 4( 4k2+3) ( 4m2﹣ 12) =0 ∴ 4k2﹣ m2+3=0① 此時 x0= = , y0= ,即 P( , ) 由 得 Q( 4, 4k+m) 取 k=0, m= , 此時 P( 0, ), Q( 4, ),以 PQ 為直徑的圓為( x﹣ 2) 2+( y﹣ ) 2=4,交 x 軸于點 M1( 1, 0)或 M2( 3, 0) 取 k= , m=2,此時 P( 1, ), Q( 4, 0),以 PQ 為直徑的圓為( x﹣ ) 2+( y﹣ ) 2= ,交 x 軸于點M3( 1, 0)或 M4( 4, 0) 故若滿足條件的點 M 存在,只能是 M( 1, 0),證明如下 ∵ ∴ 故以 PQ 為直徑的圓恒過 y 軸上的定點 M( 1, 0) 點評: 本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查運算能力,考查化歸思想,屬于中檔題. 20. ( 2022?福建)已知函數(shù) f( x) =ex+ax2﹣ ex, a∈ R. ( Ⅰ )若曲線 y=f( x)在點( 1, f( 1))處的切線平行于 x 軸,求函數(shù) f( x)的單調(diào)區(qū)間; ( Ⅱ )試確定 a 的取值范圍,使得曲線 y=f( x)上存在唯一的點 P,曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點 P. 考點 : 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。= 即 = ,解得 a=2,即 AB 的長為 2 點評: 本題考查利用空間向量這一工具求二面角,證明線面平行及線線垂直,解題的關(guān)鍵是建立恰當?shù)淖鴺讼导翱臻g位置關(guān)系與向量的對應(yīng),此類解題,方法簡單思維量小, 但計算量大,易因為計算錯誤導(dǎo)致解題失敗,解題時要嚴謹,認真,利用空間向量求解立體幾何題是近幾年高考的熱點,必考內(nèi)容,學(xué)習(xí)時要好好把握 19.( 2022?福建)如圖,橢圓 E: 的左焦點為 F1,右焦點為 F2,離心率 e= .過 F1 的直線交橢圓于 A、 B 兩點,且 △ ABF2 的周長為 8. ( Ⅰ )求橢圓 E 的方程. ( Ⅱ )設(shè)動直線 l: y=kx+m 與橢圓 E 有且只有一個公共點 P,且與直線 x=4 相較于點 Q.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點 M,使得以 PQ 為直徑的圓恒過點 M?若存在,求出點 M 的坐標;若不存在,說明理由. 考 點 : 直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標準方程。建立關(guān)于 a 的方程,解出 a 的值即可得出 AB 的長 解答: 解:( I)以 A 為原點, , , 的方向為 X 軸, Y 軸, Z 軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖, 設(shè) AB=a,則 A( 0, 0, 0), D( 0, 1, 0), D1( 0, 1, 1), E( , 1, 0), B1( a, 0, 1) 故 =( 0, 1, 1), =(﹣ , 1,﹣ 1), =( a, 0, 1), =( , 1, 0), ∵ ? =1﹣ 1=0 ∴ B1E⊥ AD1; ( II)假設(shè)在棱 AA1上存在一點 P( 0, 0, t),使得 DP∥ 平面 B1AE.此時 =( 0,﹣ 1, t). 又設(shè)平面 B1AE 的法向量 =( x, y, z). ∵ ⊥ 平面 B1AE, ∴ ⊥ B1A, ⊥ AE,得 ,取 x=1,得平面 B1AE 的一個法向量 =( 1,﹣ , ﹣ a). 要使 DP∥ 平面 B1AE,只要 ⊥ ,即有 ? =0,有此得 ﹣ at=0,解得 t= ,即 P( 0, 0, ), 又 DP?平面 B1AE, ∴ 存在點 P,滿足 DP∥ 平面 B1AE,此時 AP= ( III)連接 A1D, B1C,由長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 及 AA1=AD=1,得 AD1⊥ A1D. ∵ B1C∥ A1D, ∴ AD1⊥ B1C. 由( I)知, B1E⊥ AD1,且 B1C∩B1E=B1. ∴ AD1⊥ 平面 DCB1A1, ∴ AD1是平面 B1A1E 的一個法向量,此時 =( 0, 1, 1). 設(shè) 與 所成的角為 θ,則 cosθ= = ∵ 二面角 A﹣ B1E﹣ A1 的大小為 30176。 專題 : 證明題;綜合題;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想。sin2α)﹣ sin2α﹣ sin2α =1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = . 點評: 本題主要考查兩角差的余弦公式,二倍角公式及半角公式的應(yīng)用,考查歸納推理以及計算能力,屬于中檔題. 18.( 2022?福建)如圖,在長方體 ABCD﹣ A1B1C1D1 中 AA1=AD=1, E 為 CD 中點. ( Ⅰ )求證: B1E⊥ AD1; ( Ⅱ )在棱 AA1 上是否存在一點 P,使得 DP∥ 平面 B1AE?若存在,求 AP 的行;若存在,求 AP 的長;若不存在,說明理由. ( Ⅲ )若二面角 A﹣ B1E﹣ A1 的大小為 30176。sinα) =1﹣ + ( cos60176。﹣ α) = + ﹣ sinα( cos30176。sinα) =sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= . (方法二) sin2α+cos2( 30176。﹣ α) =sin2α+ ﹣ sinα( cos30176。﹣ α) = . 證明:(方法一) sin2α+cos2( 30176。= ,故 這個常數(shù)為 . ( Ⅱ )根據(jù)( Ⅰ )的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣,得到三角恒等式 sin2α+cos2( 30176。cos15176。+cos215176。cosα+sin30176。﹣ α)﹣ sinαcos( 30176。=1﹣ sin30176。﹣ sin15176。 分析: ( Ⅰ )選擇( 2),由 sin215176。 ( Ⅰ )試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù) ( Ⅱ )根據(jù)( Ⅰ )的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. 考點 : 分析法和綜合法;歸納推理。﹣ sin2(﹣ 25176。 ( 5) sin2(﹣ 25176。﹣ sin2(﹣ 18176。 ( 4) sin2(﹣ 18176。﹣ sin18176。 ( 3) sin218176。﹣ sin15176。 ( 2) sin215176。﹣ sin13176。 分析: ( I)根據(jù)保修期為 2 年,可知甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的轎車數(shù)量為 2+3,由此可求其功率; ( II)求出概率,可得 X X2的分布列; ( III)由( II),計算期為 E( X1) =1 +2 +3 =(萬 元 ), E( X2) = + =(萬元 ),比較期望可得結(jié)論. 解答: 解:( I)設(shè) “甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi) ”為事件 A,則 P( A) = ( II)依題意得, X1 的分布列為 X1 1 2 3 P X2 的分布列為 X2 P ( III)由( II)得 E( X1) =1 +2 +3 =(萬元 ) E( X2) = + =(萬元 ) ∵ E( X1)> E( X2), ∴ 應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車. 點評: 本題考查概率的求解,考查分布列與期望,解題的關(guān)鍵是求出概率,屬于基礎(chǔ)題. 17.( 2022?福建)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù). ( 1) sin213176。 分析: 根據(jù)所給的新定義,寫出函數(shù)的分段形式的解析式,畫出函數(shù)的圖象,在圖象上可以看出當直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點時 m 的取值,根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系,寫出兩個根的積和第三個根,表示出三個根之積,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出關(guān)于 m 的 函數(shù)的值域,得到結(jié)果. 解答: 解: ∵ 2x﹣ 1≤x﹣ 1 時,有 x≤0, ∴ 根據(jù)題意得 f( x) = 即 f( x) = 畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當關(guān)于 x 的方程為 f( x) =m( m∈ R)恰有三個互不相等的實數(shù)根時, m 的取值范圍是( 0, ), 當﹣ x2+x=m 時,有 x1x2=m, 當 2x2﹣ x=m 時,由于直線與拋物線的交點在 y 軸的左邊,得到 , ∴ x1x2x3=m( ) = , m∈ ( 0, ) 令 y= , 則 ,又 在 m∈ ( 0, )上是增函數(shù),故有 h( m)> h( 0) =1 ∴ < 0 在
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