【文章內(nèi)容簡介】 調(diào)性． 21．（ 12 分）已知拋物線 C： y=（ x+1） 2與圓（ r＞ 0）有一個公共點 A，且在 A處兩曲線的切線為同一直線 l．（Ⅰ）求r； （Ⅱ）設 m， n 是異于 l 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m， n 的交點為 D，求 D到 l的距離．【考點】 IM：兩條直線的交點坐標； IT：點到直線的距離公式； KJ：圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）設 A（ x0，（ x0+1） 2），根據(jù) y=（ x+1）2，求出 l的斜率，圓心 M（ 1，），求得 MA 的斜率，利用 l⊥ MA 建立方程，求得 A 的 坐標，即可求得 r的值； （Ⅱ）設（ t，（ t+1） 2）為 C 上一點，則在該點處的切線方程為y﹣（ t+1） 2=2（ t+1）（ x﹣ t），即 y=2（ t+1） x﹣ t2+1，若該直線與圓M 相切，則圓心 M到該切線的距離為，建立方程，求得 t 的值，求出相應的切線方程，可得 D 的坐標，從而可求 D 到 l 的距離．【解答】解：（Ⅰ）設 A（ x0，（ x0+1） 2），∵ y=（ x+1） 2， y′ =2（ x+1）∴ l 的斜率為 k=2（ x0+1）當 x0=1時，不合題意，所以 x0≠ 1 圓心 M（ 1，）， MA的斜率．∵ l⊥ MA，∴ 2（ x0+1） =﹣ 1∴ x0=0，∴ A（ 0， 1），∴ r=|MA|=； （Ⅱ）設（ t，（ t+1） 2）為 C 上一點，則在該點處的切線方程為y﹣（ t+1） 2=2（ t+1）（ x﹣ t），即 y=2（ t+1） x﹣ t2+1 若該直線與圓 M相切，則圓心 M 到該切線的距離為∴∴ t2（ t2﹣ 4t﹣ 6） =0∴ t0=0，或t1=2+， t2=2﹣拋物線 C在點（ ti，（ ti+1） 2）（ i=0， 1， 2）處的切線分別為 l， m， n，其方程分別為 y=2x+1①， y=2（ t1+1） x﹣②， y=2（ t2+1）x﹣③②﹣③： x=代入②可得： y=﹣ 1∴ D（ 2，﹣ 1），∴ D到 l 的距離為【點評】本題考查圓與拋物線的綜合，考查拋物線的切線方程，考查導數(shù)知識的運用，考查點到直線的距離公式的運用，關鍵是確定切線方程，求得交點坐標． 22．（ 12 分）函數(shù) f（ x） =x2﹣ 2x﹣ 3，定義數(shù)列 {xn}如下： x1=2， xn+1 是過兩點 P（ 4， 5）， Qn（ xn， f（ xn））的直線 PQn 與 x軸交點的橫坐標．（Ⅰ）證明： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）求數(shù)列 {xn}的通項公式．【考點】 8H：數(shù)列遞推式； 8I：數(shù)列與函數(shù)的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權所有【專題】 15：綜合題； 16：壓軸題．【分析】（Ⅰ）用數(shù)學歸納法證明：① n=1 時， x1=2，直線 PQ1 的方程為，當 y=0時，可得； ②假設 n=k時，結論成立，即 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，直線 PQk+1 的方程為，當 y=0 時，可得，根據(jù)歸納假設 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，可以證明 2≤ xk+1＜ xk+2＜ 3，從而結論成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，構造 bn=xn﹣ 3，可得是以﹣為首項， 5 為公比的等比數(shù)列，由此可求數(shù)列 {xn}的通項公式．【解答】（Ⅰ）證明：① n=1 時， x1=2，直線 PQ1的方程為當y=0 時，∴，∴ 2≤ x1＜ x2＜ 3； ②假設 n=k時，結論成立，即 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，直線 PQk+1 的方程為當 y=0時，∴∵ 2≤ xk＜ xk+1＜ 3，∴∴ xk+1＜ xk+2∴ 2≤ xk+1＜ xk+2＜ 3 即 n=k+1時，結論成立由①②可知： 2≤ xn＜ xn+1＜ 3； （Ⅱ）由（Ⅰ），可得設 bn=xn﹣ 3，∴∴∴是以﹣為首項， 5 為公比的等比數(shù)列∴∴∴．【點評】本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題的關鍵是從函數(shù)入手，確定直線方程，求得交點坐標，再利用數(shù)列知識解決． 第二篇： 2021年高考真題 — 普通高等學校統(tǒng)一 考試 — 理科數(shù)學（全國卷Ⅲ） — 解析版 2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國 III 卷） 理科數(shù)學 一． 選擇題 已知集合，則（ ） A. B. B. C. C. D. D. 答案： A 解答： ，所以 . ，則（ ） A. B. C. D. 答案： D 解答： ,. 3.《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著，某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了 100 位學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有 90 位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有 80 位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有 60 位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ） A. B. C. D. 答案： C 解答： （ ） A. B. C. D. 答案： A 解答： 由題意可知含的項為，所以系數(shù)為 . ，且，則（） A. B. C. D. 答案： C 解答： 設該等比數(shù)列的首項，公比，由已知得， 因為且，則可解得，又因為， 即可解得，則 . 6. 已知曲線在點處的切線方程為，則（ ） A., B., C., D., 答案： D 解析： 令，則，得 . ，可得 .故選 D. （ ） A. B. C. D. 答案： B 解析： ∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除選項 ∵，根據(jù)圖像進行判斷，可知選項 B 符合題意 . ，點為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則（ ） A.，且直線，是相交直線 B.，且直線，是相交直線 C.，且直線，是異面直線 D.，且直線，是異面直線 答案： B 解析： 因為直線，都是平面內(nèi)的直線，且不平行，即直線，是相交直線，設正方形的邊長為，則由題意可得：，根據(jù)余弦定理可得：， ，所以，故選 B. ，如果輸出為，則輸出的值等于（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 第一次循環(huán)：； 第二次循環(huán)：； 第三次循環(huán)：； 第四次循環(huán)：； ? 第七次循環(huán)：， 此時循環(huán)結束，可得 .故選 C. 10. 雙曲線：的右焦點為，點為的一條漸近線的點，為坐標原點 .若則的面積為（ ） A: B: C: D: 答案 : A 解析： 由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點做垂直因為得到 。所以 。故選 A。 11. 若是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析 : 依據(jù)題意函數(shù)為偶函數(shù)且函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；因為；又因為；所以；故選 C. ，已知在有且僅有個零點，下述四個結論： 在有且僅有個極大值點 在有且僅有個極小值點 在單調(diào)遞增 的取值范圍是 其中所有正確結論的編號是 A. B. C. D. 答案： D 解析： 根據(jù)題意，畫出草圖，由圖可知， 由題意可得，解得， 所以，解得，故對； 令得，∴圖像中軸右側第一個最值點為最大值點，故對； ∵，∴在有個或個極小值點，故錯； ∵，∴，故對 . 二 .填空題 ，為單位向量，且，若，則 . 答案： 解析： ∵，∴， ∵，∴ . ，若，則 . 答案： 解析： 設該等差數(shù)列的公差為，∵，∴，故， ∴ . 、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標為 ________. 答案： 解析： 已知橢圓可知，，由為上一點且在第一象限，故等腰三角形中， ,，代入可得 .故的坐標為 . ，利用 D 打印技術制作模型。如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點， ,D 打印機所用原料密度為，不考慮打印損耗，則作該模型所需原料的質(zhì)量為 . 答案： 解答： ， . . 三．解答題 ，乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下實驗：將 200 只小鼠隨機分成 兩組，每組 100 只，其中組小鼠給服甲離子溶液，組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同，摩爾溶度 相同。經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖： 記為事件“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 ”，根據(jù)直方圖得到的估計值為 . （ 1） 求乙離子殘留百分比直方圖中的值； （ 2） 分別估計甲，乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表） . 答案： 見解析 解答 : （ 1） 依題意得，解得 . （ 2） 得到甲離子殘留百分比的平均值為 ,，乙離子殘留百分比的平均值為 . .已知 . (1 求 B。 (2) 若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍 . 答案： （ 1） （ 2）見解析 解析： 因為；結合正弦定理 ,得 ,即；得到； （ 2） 因為 ,所以又因為 ,。又因為（因為為銳角，若越大越大，則越小越?。辉酱螅?；所以，所以 . 1是由矩形，和菱形組成的一個平面圖形，其中， ， .將其沿折起使得與重合，連結，如圖 2. （ 1）證明：圖 2中的四點共面，且平面平面； （ 2）求圖 2中的二面角的大小 . 答案： 見解析 解析： 證明：（ 1）由題意知，，又，平面，又平面，平面平面 . (2)分別取，的中點為，連結，則， 四邊形為棱形，且 60， ， 又平面， ，即平面， 以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系， ， ， ， 設平面的一個法向量為 , ，令，則 , 得到， 平面的一個法向量為， ,故二面角的大小為 . . （ 1） 討論的單調(diào)性； （ 2） 是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由 . 答案： 見解析 解析： （ 1） ?當時，此時在單調(diào)遞增 . ?當時，令，解得或，令，解得 . 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . ?當時，令，解得或，令，解得 . 此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 綜上可得，當時，在單調(diào)遞增 . 當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . 當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減 . （ 2） 由（ 1）中結論可