【正文】 想）方法，學會應用，將構造法的思維模式變成自己思考問題的模式之一。如果若干年后，你即使將學過的公式忘得一干二凈，最后頭腦中剩下來的還是構造法的這種思維模式，則表明你抓住了構造法的精髓。 第一章 緒論 2 第一章 緒論 構造法簡介 在數(shù)學的發(fā)展史上，數(shù)學家一直注重思維的縝密性、相關聯(lián)的邏輯性和對新領域的創(chuàng)造性，從而在發(fā)展過程中不斷形成種種數(shù)學模型，數(shù)學思維，數(shù)學方法以及數(shù)學結論，數(shù)學模型的構建，數(shù)學思維的多樣化不僅是科學發(fā)展的力量，也使我們在解決相關問題時更加靈活。歷史上不少著名的數(shù)學家，如歐幾里德，高斯，歐拉，拉格朗日維爾斯特拉斯等，都曾利用構造法成功解決過數(shù)學上的難題。他認為定義應當包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應當許可計算到任意的精確度。近代構造法的系統(tǒng)創(chuàng)立者是布勞威，他從哲學和 數(shù)學兩方面貫徹和發(fā)展了 “存在必須被構造 ”的觀點。 算法數(shù)學 是由 馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的， 它 以遞歸函數(shù)理論為基礎 ，是 一種把數(shù)學的一切概念都歸約算法的構造性方法。 他 用標準構造性的方法，采納直覺派邏輯 ，他所形成的 是一種 即限制對象的類， 又 限制可容許證明方法的類的理論 。馬爾科夫的工作使構造性 方法進入了 “算法數(shù)學 ”階段 ， 但是， 由于 這種構造法依賴于遞歸函數(shù)理論的術語，使 得 這種算法數(shù)學外行人讀起來十分困難，加之馬爾科夫的后繼者們似乎對于算法數(shù)學實踐本身 沒有 對于復雜理論及其在計算機科學上的應用更有興趣，使之算法數(shù)學由于缺乏合適的框架來進行數(shù)學實踐，而處于一種冬眠的狀態(tài)。比肖泊 重新 建 立 現(xiàn)代分析的一個重要部分， 從而 激發(fā)了構造法的活力。尤其是測度理論 的創(chuàng)立 ，證明了構造的 連續(xù)統(tǒng)在一種強的意義下是不可數(shù)的 ， 消除了 人們 對于在實直線上構造可數(shù)可加測度的可能性的種種憂慮。為了讓 一般數(shù)學家容易看懂 ，他 采用數(shù)學上大家熟悉的習慣術語和符號 。 構造法的前景 構造法伴隨數(shù)學成長，解決了數(shù)學中很多難以解決的問題，為數(shù)學的發(fā)展做出了成就，在以后數(shù)學的發(fā)展中，構造法還可以 用于開發(fā)構造性數(shù)學的新領域，組合數(shù)學、計算機科學中所涉及的數(shù)學，都是構造性數(shù)學的新領域，尤其是圖論更是構造數(shù)學發(fā)展的典型領域之一。 同時，構造法還可以 用于對經(jīng)典數(shù)學的概念、定理尋找構造性解釋。 第二章 簡易構造 4 第二章 簡易構造 一級構造 所謂一級構造，就是只通過一次模型轉(zhuǎn)換就得出結論的思想方法。 一級構造的數(shù)列表達式 一般地，形如 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d 為常數(shù)）的式子，我們稱為一級構造的數(shù)列表達式。 模型 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 dcaa nn ?? ?1 （ 2?n ， c,d為常數(shù)），求通項公式 na 。 例 1：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足 12 1?? ?nn aa （ 2?n ），求通項公式 na 。 第二章 簡易構造 6 下面我們以兩種常用的超一級構造的數(shù)列表達式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ） 和11 ?? ?? nnn dcaa （ 2?n ）來講解超一級構造思想。 思想構造：不妨設 ? ?? ?BnAacBAna nn ?????? ? 11 即 ? ? cABcBnAcAcaa nn ?????? ? 1 又 ? ncaa nn ?? ?1 ? ??? ??? ?? 01cABcB AcA ? ? ???????????2111ccB cA ? ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn （驗證： ? ? ? ? ???????? ?????????? ?212 11111 c cacc cc na nn? ncaa nn ?? ?1 ） ? 數(shù)列 ? ? ?????? ???? 211 c cc na n 是以 ? ?21 111 ???? c cca為首項， c 為公比的等比數(shù)列。 解 2： 不妨設 ? ?? ?BnAaBAna nn ?????? ? 12 1 即 ? ? ABBnAAaa nn 2222 1 ?????? ? 又 ? naa nn ?? ?12 ? ??? ??? ?? 022 12 ABB AA ? ?????21BA ? ? ?2122 1 ?????? ? nana nn ? 數(shù)列 ? ?2??nan 是以 4 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列。 思想構造： 不妨設 ? ?11 ?? ??? nnnn xdacxda 即 ? ?nnnn dcdxcaa ??? ?? 11 又 ? 11 ?? ?? nnn dcaa ? ? ? 11 ?? ?? nnn ddcdx 即 dcx ?? 1 ? ???????? ????? ?? dcdacdcda nnnn 11 第二章 簡易構造 8 （驗證： ???????? ????? ?? dcdacdc da nnnn 11 ? 11 ?? ?? nnn dcaa ） ? 數(shù)列?????? ?? dcda nn 是以 dcda ??1 為首項， c 為公比的等比數(shù)列。 解： 不妨設 ? ?11 242 ?? ??? nnnn xaxa 即 ? ?nnnn xaa 224 11 ??? ?? 又 ? 11 24 ?? ?? nnn aa ? ? ? 11 222 ?? ?? nnnx 即： 21?x ? ? ?211 242 ??? ??? nnnn aa ? 數(shù)列 ? ?12?? nna 是以 2 為首項， 4 為公比的等比數(shù)列。需要注意的是，不是所有的超一級構造都能轉(zhuǎn)變成一級 構造，比如說：超一級構造數(shù)列表達式 ncaa nn ?? ?1 （ 2?n ）就不能轉(zhuǎn)變成一級構造。二級構造在思維上增加了難度，但在對一級構造的理解的基礎上來學習二級構造，也是比較容易理解掌握的。 二級構造的數(shù)列表達式 1（除法構造） 一般的，形如 ? ?nfpaa nn ?? ?1 （ 2?n ， ??nf 是指數(shù)函數(shù)且 0?p ）的式子，我們稱為二級構造數(shù)列表達式。 模型 4：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 11 ?? ?? nnn qpaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 解：將 11 23 ?? ?? nnn aa 兩邊同時除以 n2 ，可得： 21223211??? ??nnnn aa 設nnn ab 2?，則 21231 ?? ?nn bb（滿足一級構造數(shù)列表達式） 由結論 1 得： 123 ????????nna（ 2?n ） 從而得出： nnna 23 ?? （ 2?n ） 當 1?n 時， 1231 ???a ，滿足 nnna 23 ?? 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 nnna 23 ?? 二級構造的數(shù)列表達式 2 (取倒構造 ) 一般的，形如cadaa n nn ?? ? ?1 1（ 2?n ， c,d 為常數(shù)且 0?d ）的式子，我們稱為二級構造數(shù)列表達式。 思想構造：將cadaa n nn ?? ? ?1 1兩邊取其倒數(shù)，可得： dadca nn 111 1??? ? 設nn ab1? ，則 dbdcb nn 11 ?? ? （滿足一級構造數(shù)列表達式） 第二章 簡易構造 11 由結論 1 得：???????????????????? ???? ? 2,111,111ndcdcdcbnbb nn 從而得出：???????????????????????????? ? 2,111 11,111ndcdcdcanaa nn 例 5：在數(shù)列 ??na 中，已知 11?a ，且數(shù)列 ??na 滿足32 1 1?? ? ?n nn a aa（ 2?n ），求通項 公式 na 。 模型 6：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足 1?? nn aba （ 2?n ），求通項公式 na 。 解：將 12 ?? nn aa 兩邊取其對數(shù)，可得： 2lglg21lg 1 ?? ?nn aa 設 nanb lg? ，則 21 lg21 ?? ?nn bb（滿足一級構造數(shù)列表達式） 由結論 1 得： 212 lg221lg2 ??????????nnb ? ?2?n 從而得出： 121414 ???????????????nna ? ?2?n 當 1?n 時， 1414 0211 ???????????????a ，滿足 121414???????????????nna 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 121414 ???????????????nna 三級構造 三級構造是一級構造和二級構造的疊加，思維更加縝密，難度要求更大，它結合了地推 、 替代 、取對等構造方法，逐步轉(zhuǎn)換為最簡單的一級構造。以下是兩種典型的三級構造模型。 模型 7：在數(shù)列 ??na 中，已知 1a ，且數(shù)列 ??na 滿足1??? nn abaa （ 2?n ），求通項公式 na 。 第二章 簡易構造 14 解： 構造假設： ? ?caa cca nnn ???? ?? 112 則： ? ?122??????nn acccca 又由題意： 112??? nn aa 相比較得： ? ?cc ?? 21 從而解得： 1?c 于是有： ? ? 111111 11 1 ?????? ?? ? nn nn aa aa 設11?? nn ab，則 11?? ?nn bb 所以數(shù)列 ??nb 是以 11211 ???b為首項， 1 為公差的等差數(shù)列，即： nbn? 從而得出： nnan 1?? （ 2?n ） 當 1?n 時， 21111 ???a，滿足 nnan 1?? 所以數(shù)列 ??na 的通項公式為 nnan 1?? 三級構造數(shù)列表達式 2 一般地，形如 ? ?baa aa n nn ?? ??12 1 （ 2?n ， a,b 為常數(shù)，且 0?a ）的式子，我們稱為三級構造數(shù)列表達式。 分析： 構造假設： ? ?baa abcac aaca n nnn ? ???? ? ?? 1 12 1 進一步假設： cac 2? ， 2cabc? 即 2?a ， abc?