數(shù)列通項公式的應(yīng)用論-在線瀏覽
2025-02-23 06:52本頁面
【正文】 項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。怎樣找準(zhǔn)方法快速有效地推導(dǎo)呢？這就是本文所討論的問題。在本文中討論的方法也是函數(shù)中常用的技巧 . 在各類研究數(shù)列通項公式的資料中，推導(dǎo)數(shù)列通項公式的常用方法一般有：公式法，待定系數(shù)法，不動點法，累加法，累乘法，歸納猜想法 ，構(gòu)造等差或等比數(shù)列法等 .本文從實際出發(fā)， 首先介紹在數(shù)列知識體系中的一些相關(guān)概念及公式，然后 把上述方法比較系統(tǒng)的歸納為四大類：公式法、歸納猜想法、迭代法、構(gòu)造新數(shù)列法 .解題思路 由簡單到復(fù)雜，難度一步步上升 .不僅如此，內(nèi)容安排上把方法和應(yīng)用相結(jié)合，讓讀者更好的理解和掌握。數(shù) 列可以看作是特殊的函數(shù)，特殊在可以看作定義域為正整數(shù)集的函數(shù)當(dāng)自變量依次取值時對應(yīng)的一系列的函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式即這個函數(shù)的關(guān)系式。 緒論 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中相對獨立，但有一定的綜合性和靈活性 .高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識主要涉及等差、等比數(shù)列的通項公式以及數(shù)列求和等內(nèi)容，能力要求較高 .數(shù)列的通項公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見的題型之一 ,它既可考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 ,又能反映 中學(xué)生 對等差與等比數(shù)列理解的深度 ,具有一定的技巧性 ,因此經(jīng)常滲透在 數(shù)學(xué) 競賽和高考中 .同時 也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個重要銜接點。 一扇門，打開它的關(guān)鍵就是門上的鎖和鑰匙，而數(shù)列問題就像緊閉的門，數(shù)列的通項公式與它的推導(dǎo)思路就是開門的關(guān)鍵。所以， 推導(dǎo) 數(shù)列的通項公式 關(guān)鍵是找出 na 與 n的關(guān)系。 在應(yīng)用舉例中，有些一種類型的題可以用不同的方法解決，這種形式有利于開發(fā)中學(xué)生的發(fā)散思維能力，讓學(xué)生在解決數(shù)列問題時從多方面綜合考慮，以找出最簡便的解法。 1 數(shù)列的相關(guān)概念 . 數(shù) 列 數(shù)列： 按 某種規(guī)定 排列的一列數(shù) , 21 ?? naaa 稱為數(shù)列。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 1項（通常也叫做首項），排在第 n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 n項 ，也叫數(shù)列的通 項 na . 數(shù) 列的通項公式： 將數(shù)列 { na }的第 n 項用一個具體式子（含有 參數(shù) n）表示出來，稱作該數(shù)列 的通項公式 。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 ,通常用 q 來表示。 2 數(shù)列通項公式的幾種推導(dǎo)方法 公式法 類 型一 若題型中已知數(shù)列 { na }為等差或等比數(shù)列，則可直接利用公式求na . 類型二 若已知數(shù)列的前 n 項和 ns 與 n 的關(guān)系式 )(nfsn ? ,則利用公式 ??? ?? ??? 211 nSSnSannnn ? ???? 求出數(shù)列的通項 . 這兩類型是數(shù)列問題中最直接，最簡單的解法。這類題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。 首先， 運用觀察法，從 數(shù)列的前幾項 中找出規(guī)律性的結(jié)論，歸納猜想得出 na或其相關(guān)項，然后 把前幾項代入 結(jié)論 中檢驗其是否正確 。最常見的方法是累加，累乘法 . 累加法 累加法，一般適用于遞推數(shù)列 )(1 nfaa nn ??? 的類型，遇到此類型 的題，一般題干中會告訴 1a 的值，解題思路為：首先把等式化為 )(1 nfaa nn ?? ， 再把當(dāng) n=1,2,3,4?分別代入上述等式中得 )3()2()1(342312faafaafaa?????? ? ? ?nfaa nfaa nn nn ?? ???? ?1 1 )1( 第一式與第二式相加左邊消去了 2a ,再與第三式相加消去了 3a ,依次累加后得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?????? ?2111 ， 所以 ? ? ? ? ? ?1211 ?????? nfffaa n ?， 變式得 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ????? ? 注： ? ? ? ? ? ?nfff ??? ?21 的結(jié)果必然是關(guān)于 n關(guān)系式 .在求和過程中可能會涉及到等差、等比數(shù)列的求和方法。 在數(shù)列求通項的有關(guān)問題中，經(jīng)常遇到即非等差數(shù)列，又非等比數(shù)列的求通項問題，特別是給出的數(shù)列相鄰兩項是線性關(guān)系， 數(shù)列遞推式較復(fù)雜 的題型 。構(gòu)造新 的 數(shù)列，具有輔助計算的效果，一般是構(gòu)造等差，等比數(shù)列，這樣就可以套用等差等比數(shù)列的固定通項模型來解決問題。 待定系數(shù)法 待定系數(shù)法主要適用于 一階遞推式 qpaa nn ???1 ； （其中 p， q 均為常數(shù)，0,1p ?? pq ） 、 cqnpaa nn ????1 （ p,q,c為常數(shù)， 1?p , 0?pq ）等 . 類型一： qpaa nn ???1 （其中 p， q均為常數(shù)， 0,1p ?? pq ） 假設(shè) 原遞推公式為 )(1 tapta nn ???? ， 其中pqt ??1， 計算出 t后，就構(gòu)造成了一個以 t?1a 為首項，以 p為公比的等比數(shù)列 { tan? }，從而推導(dǎo)出 tan? 的通項公式。通過求新等比數(shù)列的通項公式從而求出原數(shù)列的通項公式， 其實類型一與類型二可歸結(jié)為 )(1 nfpaa nn ??? ， )(nf 可以為常函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)等，其基本解題思路是在遞推式兩邊加上相同性質(zhì)的量， 使之成為等差或等比數(shù) 列 . 不動點法 方程 )(xf =x稱為函數(shù) )(xf 的不動點方程，其根稱為函數(shù) )(xf 的不動點 .對于較復(fù)雜的數(shù)列遞推式，用其他方法難以解決的，可以用不動點法推導(dǎo)數(shù)列的通項。分式遞推式 ：hra qpaa nnn ????1（ 其
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