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韋達定理在中學數(shù)學中的應用-展示頁

2024-12-16 07:53本頁面
  

【正文】 = = = 證畢 . 例 10 已知 ,其中 、 、 為實數(shù) .求證: . 分析:根據(jù)題目特點構造一個一元二次方程,使不等式中涉及的量成為方程的系數(shù),然后令 . 證明: 因為 ( 1) 所以 , 于是 ( 2) 由( 1)( 2)知, 、 是方程 的根 因為 、 是實數(shù),所以 ,解得 同理可證 , . 例 11 如果一元二次方程 的兩根之比為 2: 3,求證: .(初中《代數(shù)》第三冊 ) 證明: 設兩根為 則 ( 1) ( 2) 由( 1)( 2)得 ,即 . 韋達定理在解析幾何中的應用主要有:求直線方程、點的軌、弦長;解決圓錐曲線有關對稱問題、定點問題、存在性問題等 . 例 12 過點 ( 0, 1)作一直線 ,使它包含在兩已知直線 和 之間的線段平分于 點,求直線 的方程 . 解:兩直線 、 的方程可寫為: 設直線 的方程為 ,代入上式得: 即 此方程的兩個根 、 是 與 、 焦點的橫坐標,根據(jù)題意,由韋達定理及中點坐標公式可得: 解得 故直線 的方程為 . 例 13 已知雙曲線 ,過點 ( 1, 2)的直線 與所給雙曲線交于 、 兩點,求 的中點 的軌跡 . 解:設 點坐標為 ,則 的方程可寫成參數(shù)式 將其代入雙曲線方程并整理得: 由于 為 的中點,由參數(shù) 的幾何意義及韋達定理可 得: 所以 , 于是 ,故 點的軌跡方程為 . 設直線 與非退化圓錐曲線相交于 、 兩點,則: 又因為直線 的斜率 , 于是可得弦長公式為 例 14 為不同的值而被移動的拋物線 與直線 相交于 、 兩點,求 最大時 的值和 的最大值 . 解:由 得 所以 于是 = = = 故當 時, 例 15 已知橢圓 ,試確定 的取值范圍,使得對于直線 橢圓上有兩個不同的點關于該直線對稱 . 解:設橢圓上兩點 、 關于直線 對稱,則直線 的方程可設為 聯(lián)立方程 和 ,得 由 得 ( 1) 由韋達定理得 ,故 所以 的中點 的坐標為 又因為點 在直線 上,將點 的坐標代入得 ( 2) 由( 1)( 2)可知 . 例 16 如圖 1,設點 、 為拋物線 上的動點, 為坐標原點, ,求證:直線 恒過定點 . 圖 1 證明:設直線 的方程為 聯(lián)立 和 ,得 設 、 ,則
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