【正文】 ?。 （ 2） ∵ a、 b 滿足 221 5 5 0 , 1 5 5 0a a b b? ? ? ? ? ?， ∴ a、 b 是方程 2 15 5 0xx? ? ? 的兩根。 【答案】 解：（ 1）設(shè)關(guān)于 x 的方程 2 0 , ( 0 )x m x n n? ? ? ?的兩根為 12,xx，則有： 1 2 1 2,.x x m x x n? ? ? ?，且由已知所求方程的兩根為1211,xx ∴ 121 2 1 211 xx mx x x x n? ?? ? ?，1 2 1 21 1 1 1x x x x n? ? ?。 擴展后字母可為代數(shù)式。 ∴ 122x x a 4??，即 ? ?2 3 a 4? ? ? ，解得 a=10。 【分析】 ∵ x x2是一元二次方程 x2＋ 5x－ 3=0的兩個實根， ∴ x22＋ 5x2－ 3=0， x1x2=－ 3。 例 4：（ 2020湖北鄂州 3分） 設(shè) x x2是一元二次方程 x2＋ 5x－ 3=0的 兩個實根，且 21 2 22 x ( x 6 x 3 ) a 4? ? ? ?，則 a= ▲ . 【答案】 10。 【分析】 ∵m 、 n是一元二次方程 x2＋ 3x－ 7＝ 0的兩個根， ∴m 2＋ 3 m－ 7＝ 0，即 m 2＋ 3 m＝ 7； m＋ n＝－ 3。 例 3： （ 2020江蘇 南通 3分） 設(shè) m、 n是一元二次方程 x2＋ 3x－ 7＝ 0的兩個根，則 m2＋ 4m＋ n＝ ▲ ． 【答案】 4。 ∴ ? ? ? ? 2222m + n + 3 m n = m + n + m n = 2 2 + 1= 8 + 1= 9 = 3?。 【考點】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值。 例 2：（ 2020山東萊蕪 3分） 已知 m、 n是方程 x2＋ 2 2x＋ 1＝ 0的兩根，則代數(shù)式 m2＋ n2＋ 3mn的值為 【 】 A． 9 B． 177。3= － 3。 【考點】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值。 擴展后， 可以視 xy? 中 x 與 y? 對稱。x 2= ▲ ． 4.（ 2020湖北 咸寧 3分） 若關(guān)于 x 的方程 022 ??? mxx 的一個根為 1? ，則另一個根為【 】 A． 3? B． 1? C． 1 D． 3 5.（ 2020云南昆明 3分） 若 x1， x2是一元二次方程 2x2﹣ 7x+4=0的兩根，則 x1+x2與 x1?x2的值分別是 【 】 A、﹣ 72 ，﹣ 2 B、﹣ 72 ， 2 C、 72 ， 2 D、 72 ，﹣ 2 二、 求對稱代數(shù) 式的值： 應(yīng)用韋達定理及代數(shù)式變換，可以求出一元二次方程兩根的對稱式的值。 練習(xí)題： 1. （ 2020重慶市 3分） 已知一元二次方程 22x 3x 1 0? ? ? 的兩根為 x x2，則 x1+x2= ▲ 。 【分析】 設(shè)方程的另一個實數(shù)根為 x，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 x＋ 1=－ 1，解得 x=－ 2。 例 4： （ 2020廣西來賓 3分） 已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+x+m=0的一個實數(shù)根為 1，那么它的另一個實數(shù)根是【 】 A．－ 2 B． 0 C． 1 D． 2 【答案】 A。據(jù)此逐一作出判斷： A． x2+2x﹣ 4=0： △=b 2﹣ 4ac=20＞ 0， x1+x2=﹣ ba =﹣ 2，所以本選項不合題意； B． x2﹣ 4x+4=0： △=b 2﹣ 4ac=0， x1+x2=﹣ ba =4，所以本選項不合題意； C． x2+4x+10=0： △=b 2﹣ 4ac=﹣ 28＜ 0，方程無實數(shù)根，所以本選項不合題意； D． x2+4x﹣ 5=0： b2﹣ 4ac=36＞ 0， x1+x2=﹣ ba =﹣ 4，所以本選項符號題意。 【考點】 一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。故選 B。 【考點】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 例 2： （ 2020 湖 北武漢 3 分） 若 x x2是一元二次方程 x2＋ 4x＋ 3＝ 0的兩個根，則 x1178。 【分析】 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得 x1＋ x2＝ 3。 典型例題： 例 1： （ 2020湖北武漢 3分） 若 x x2是一元二次方程 x2－ 3x＋ 2＝ 0的兩根，則 x1＋ x2的值是【 】 A． － 2 B． 2 C． 3 D． 1 【答案】 C。 下面通過近年全國各地中考的實例探討其應(yīng)用。 韋達定理及其逆定理作為一元二次方程的重要理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和中考 中 有著廣泛的應(yīng)用。其逆命題 ： 如果 12xx， 滿足1 2 1 2bcx + x = x x =aa??，那么 12xx， 是一元二次方程 ? ?2ax +bx+c=0 a 0?的兩個根 也成立。 韋達定理 說的是： 設(shè)一元二次方程 ? ?2ax +bx+c=0 a 0?有二實數(shù) 根 12xx， ，則1 2 1 2bcx + x = x x =aa??。韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為 “ 韋達定理 ” ）。2020 年中考攻略 專題 4 韋達定理應(yīng)用探討 韋達， 1540年出生于法國的波亞圖，早年學(xué)習(xí)法律，但他對數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，常利用業(yè)余時間鉆研數(shù)學(xué)。韋達 第一個有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進步。人們?yōu)榱思o念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為 “ 代數(shù)學(xué)之父 ” 。 這兩個式子反映了一元二次方程的兩根之積與兩根之和同系數(shù) a， b， c的關(guān)系。 韋達定理的應(yīng)用有一個重要前提，就是 一元二次 方程必須 有解，即根的判別式 2=b 4ac 0? ? ? 。 錦元數(shù)學(xué)工作室將其應(yīng)用歸納為 ： ① 不解方程求方程的兩根和與兩根積； ② 求 對稱 代數(shù)式的值 ； ③ 構(gòu)造 一元二次方程； ④ 求方程中待定系數(shù)的值 ； ⑤ 在平面幾何中的應(yīng)用； ⑥ 在二次函數(shù)中 的應(yīng)用 。 一、不解方程求方程的兩根和與兩根積： 已知 一元二次方程，可以直接根據(jù)韋達定理求得 兩根和與兩根積。 【考點】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。故選 C。x 2的值是 【 】 . . C.－ 4. D.－ 3. 【答案】 B。 【分析】 根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得12c3x x = = =3a1?。 例 3： （ 2020山東煙臺 3分） 下列一元二次方程兩實數(shù)根和為﹣ 4的是【 】 A． x2+2x﹣ 4=0 B． x2﹣ 4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D． x2+4x﹣ 5=0 【答案】 D。 【分析】 根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，要使方程的兩實數(shù)根和為﹣ 4，必須方程根的判別式 △=b 2﹣ 4ac≥0 ，且 x1+x2=﹣ ba =﹣ 4。 故選 D。 【考點】 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 故選 A。 2. （ 2020浙江湖州 3分） 已知一元二次方程 2x 12x 7 0? ? ? 的兩個根為 x x2，則 x1+x2的值是【 】 A．－ 12 B． 12 C．－ 7 D． 7 3. （ 2020廣西來賓 3分） 已知一元二次方程 x2+mx﹣ 2=0的兩個實數(shù)根分別為 x x2， 則 x1178。 所謂 對稱式，即 若將代數(shù)式中的任意兩個字母交換，代數(shù)式不變 （ ? ? ? ?f x y =f y x， ， ）， 則稱這個代數(shù)式為完全對稱式 ，如 2211x +y +xy ，等。 典型例題： 例 1： （ 2020四川攀枝花 3分） 已知 一元二次方程： x2﹣ 3x﹣ 1=0的兩個根分別是 x x2，則 x12x2+x1x22的值為【 】 A． ﹣ 3 B． 3 C． ﹣ 6 D． 6 【答案】 A。 【分析】 由一元二次方程： x2﹣ 3x﹣ 1=0的兩個根分別是 x x2， 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， x1+x2=3， x1x2=―1 ， ∴x 12x2＋ x1x22=x1x2（ x1＋ x2） =（－ 1） 178。故選 A。3 C ． 3 D． 5 【答案】 C。 【分析】 ∵ m、 n是方程 x2＋ 2 2x＋ 1＝ 0的兩根， ∴m ＋ n= 22? ， mn=1。故選 C。 【考點】 求代數(shù)式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 ∴m 2＋ 4m＋ n＝（ m 2＋ 3 m）＋（ m＋ n）＝ 7－ 3＝ 4。 【考點】 一元二次方程的解和根與系數(shù)的關(guān)系。 又 ∵ 21 2 22 x ( x 6 x 3 ) a 4? ? ? ?，即 21 2 2 22 x ( x 5 x 3 x ) a 4? ? ? ? ?，即 122x (0 x ) a 4? ?。 練習(xí)題： 1. （ 2020湖南張家界 3分） 已知 m和 n是方程 2x2﹣ 5x﹣ 3=0的兩根，則 11+mn= ▲ ． 2. （ 2020四川 瀘州 3分） 設(shè) x1， x2是一元二次方程 x2 – 3x – 1 =0的兩個實數(shù)根，則 221 2 1 2x x 4x x??的值為 ▲ 3. （ 2020山東日照 4分） 已知 x x2是方程 2x2+14x－ 16=0的兩實數(shù)根，那么 2112xx? 的值為 ▲ . 4. （ 2020黑龍江綏化 3分） 設(shè) a， b是方程 x2＋ x－ 2020=0的兩個不相等的實數(shù)根，則 a2＋ 2a＋ b的值為 ▲ 5. （ 2020黑龍江大慶 4分） 若方程 2x x 1 0? ? ? 的兩實根為 a 、 b ，求 11ab? 的值． 6. （ 2020湖北荊州、 荊門 3分） 關(guān)于 x 的方程 2a x (3 a 1) x 2 ( a 1) 0? ? ? ? ?有兩個不相等的實根 1x 、 2x ， 且有 1 1 2 2x x x x 1 a? ? ? ?，則 的值 是 【 】 B. 1? C. 1或 1? 7.（ 2020貴州黔東南 4分） 若 a 、 b 是一元二次 方程 2x 2020x 1 0? ? ?的兩根，則 11ab? 的值為 【 】 A、 2020 B、 2020 C、 20201 D、 20201 8. （ 2020江蘇蘇州 3分） 已知 a 、 b 是一元二次方程 2x 2x 1 0? ? ? 的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式 ? ?? ?a b a b 2 ab? ? ? ?的值等于 ▲ ． 9. （ 2020山東 德州 4分 ） 若 x1， x2是方程 x 2+ x﹣ 1=0的兩個根，則 x 12+ x 22= ▲ ． 10. （ 2020廣西玉林、防城港 6分） 已知： 1x 、 2x 是一元二次方程 2x 4x 1 0? ? ? 的兩個實數(shù) 根．求： 2121211( x x ) ( )xx? ? ?的值． 三、 構(gòu)造一元二次方程 ： 如果我們知道問題中某兩個字母的和與積，則可以利用韋達定理構(gòu)造以這兩個字母為根的一元二次方程。 典型例題： 例 1： （ 2020湖北隨州 4分） 設(shè) 2 4 2a 2 a 1 0 b 2 b 1 0? ? ? ? ? ?， ，且 1－ ab2≠0 ，則 522ab +b 3a +1a???????= ▲ . 例 2： （ 2020四川 內(nèi)江 12分） 如果方程 2 0x px q? ? ? 的兩個根是 12,xx，那么 1 2 1 2, . ,x x p x x q? ? ? ?請根據(jù)以上結(jié)論，解 決下列問題： （ 1） 已知關(guān)于 x 的方程 2 0 , ( 0 ),x m x n n? ? ? ?求出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是已知方程 兩根的倒數(shù)； （ 2） 已知 a、 b 滿足 221 5 5 0 , 1 5 5 0a a b b? ? ????,求 abba? 的 值 ； （ 3） 已知 a、 b、 c