高二數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合應(yīng)用-展示頁
2024-11-24 18:19本頁面
【正文】 P(x0， y0)， M(x， y)， ∴ x= ， y= ， ∴ 2x=x0,2y=y0， ∴ 4y2=1，即 x24y2=1. 02x02y244x x24y2=1 【 例 1】 已知定點(diǎn) A(－ 2， )， F是橢圓 的右焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn) M，使 AM＋ 2MF取得最小值，并求此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo)． 題型一 圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用 32211 6 1 2xy??分析：點(diǎn) A在橢圓內(nèi)部，利用圓錐曲線的統(tǒng)一定義將 M點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再利用數(shù)形結(jié)合的方法求解． 經(jīng)典例題 解：橢圓 + =1中， a=4， c=2， e= ，記點(diǎn) M到右準(zhǔn)線的距離為 MN， 則 =e= ， MN=2MF，即 AM+2MF=AM+MN，又點(diǎn) A在橢圓內(nèi)部， 故當(dāng) A， M， N同時(shí)在垂直于右準(zhǔn)線的一條直線上 時(shí)， AM+2MF取得最小值， 此時(shí) My=Ay= ，代入到 + =1得 Mx=177。 2 ，而點(diǎn) M在第一象限， ∴ M(2 ， 216x 212y 12MFMN 123216x212y3 3 3)變式 1－ 1 已知點(diǎn) P為拋物線 y2＝ 4x上的動點(diǎn)，點(diǎn) F為拋物線的焦點(diǎn)， M(2,1)，求使 PF＋ PM取得最小值時(shí)的 P點(diǎn)坐標(biāo) 解：容易判斷點(diǎn) M(2,1)在拋物線內(nèi)部，過點(diǎn) P向拋物線的準(zhǔn)線 x=1作垂線，垂足為 Q，由拋物線的定義知 PQ=PF，則 PF+PM=PQ+PM，只要 Q、P、 M三點(diǎn)共線， PF+PM就取得最小值，所以 所求 P點(diǎn)坐標(biāo)為 1,14??????【 例 2】 一動圓 C與定圓 A： x2＋ y2－ 6x－91＝ 0相切，且圓 C過點(diǎn) B(－ 3,0)，求動圓圓心 C的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線． 題型二 有關(guān)動點(diǎn)的軌跡和軌跡方程的求解問題 分析：根據(jù)題意判斷兩圓相內(nèi)切還是外切，再利用兩圓相切的充要條件建立等式，根據(jù)定義法確定曲線的類型，并寫出曲線方程． 解：設(shè)動圓圓心為 C(x， y)，半徑為 r，將圓 A的方程配方得： (x3)2+y2=100，由于點(diǎn) B(3,0)在圓 A的內(nèi)部，故動圓 C與定圓 A內(nèi)切，且動圓 C在定圓 A的內(nèi)部，所以 CA=10r， CB=r，兩式的兩邊分別相加，得CA+CB=10，由橢圓定義知點(diǎn) C的軌跡是焦點(diǎn)為A(3,0)、 B(3,0)，長軸長等于 10的橢圓，并且橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上， ∴ 2c=6,2a=1
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