數(shù)列型不等式的放縮技巧九法-展示頁
2025-07-04 02:18本頁面
【正文】 例14 數(shù)列由下列條件確定：，．（I）證明：對總有；(II)證明：對總有（02年北京卷第（19）題） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 利用上述部分放縮的結(jié)論來放縮通項，可得 注：上述證明用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：；證明就直接使用了部分放縮的結(jié)論。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種,如使用上述例4所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解決！詳見文[1]。以代入（）式得此式對一切正整數(shù)都成立，即對一切偶數(shù)有，又因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以對一切正整數(shù)有。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證（05年湖北卷第（22）題）簡析 當(dāng)時，即 于是當(dāng)時有 注：①本題涉及的和式為調(diào)和級數(shù)，是發(fā)散的，不能求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來進(jìn)行有效地放縮； ②引入有用結(jié)論在解題中即時應(yīng)用，是近年來高考創(chuàng)新型試題的一個顯著特點，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識。（90年全國卷壓軸題） 簡析 本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運用柯西（）不等式的簡捷證法：而由不等式得(時取等號) （），得證！例6 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對對都成立，證明（無理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析 結(jié)合第問結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。 例2 已知函數(shù)，若，且在[0，1]上的最小值為，求證：（02年全國聯(lián)賽山東預(yù)賽題） 簡析 例3 求證.簡析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.2．利用有用結(jié)論例4 求證簡析 本題可以利用的有用結(jié)論主要有： 法1 利用假分?jǐn)?shù)的一個性質(zhì)可得 即 法2 利用貝努利不等式的一個特例(此處)得 注
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