【正文】 . 答案 ? ≤ a0 12解析 根據(jù)已知條件 ,畫出函數(shù)大致圖象 ,如圖所示 . 由已知得 ? 解得 ? ≤ a0. 0,11,21 1 ,aaaa??? ??? ? ???? ? ???125.(2022福建 ,23,10分 )如圖 ,在足夠大的空地上有一段長為 a米的舊墻 MN,某人利用舊墻和木欄 圍成一個矩形菜園 ABCD,其中 AD≤ ,另三邊一共用了 100米木 欄 . (1)若 a=20,所圍成的矩形菜園的面積為 450平方米 ,求所利用舊墻 AD的長 。 當 0a50時 ,矩形菜園 ABCD面積的最大值是 ? 平方米 . 1002 x?(100 )2xx?(100 )2xx?12 12122150 2aa???????解后反思 本題考查一元二次方程、二次函數(shù)等基礎知識 ,考查運算能力、推理能力、應用 意識、創(chuàng)新意識 ,考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、數(shù)形結合思想 . 6.(2022福建 ,25,14分 )已知拋物線 y=ax2+bx+c過點 A(0,2). (1)若點 (? ,0)也在該拋物線上 ,求 a,b滿足的關系式 。當 0x1x2時 , (x1x2). ① 求拋物線的解析式 。 同理可得 ,當 x0時 ,y隨 x的增大而減小 . 所以拋物線的對稱軸為 y軸且開口向下 ,則 b=0. 因為以 O為圓心 ,OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點 B,C,所以△ ABC是等腰三角形 ,又因為△ ABC有一個內(nèi)角為 60176。, 又因為 OC=OA=2,所以 CD=OC=? ,OD=OC=1. 不妨設 C在 y軸右側(cè) ,則點 C坐標為 (? ,1). 因為點 C在拋物線上 ,且 c=2,b=0,所以 3a+2=1,解得 a=1. 2 2 2233所以所求拋物線的解析式為 y=x2+2. ? ② 證明 :設點 M的坐標為 (x1,? +2),點 N的坐標為 (x2,? +2). 直線 OM的解析式為 y=k1x, 因為 O,M,N三點共線 ,所以 x1≠ 0,x2≠ 0,且 ? =? , 即 x1+? =x2+? ,化為 x1x2=? , 由 x1≠ x2,得 x1x2=2,即 x2=? , 所以點 N的坐標為 ? , 設點 N關于 y軸的對稱點為點 N39。的坐標為 ? . 因為點 P與點 O關于點 A對稱 , 所以 OP=2OA=4,即點 P坐標為 (0,4). 設直線 PM的解析式為 y=k2x+4, 因為點 M的坐標為 (x1,? +2), 所以 ? +2=k2x1+4,則 k2=? , 即直線 PM的解析式為 y=? x+4. 因為 ? 在直線 PM上 ,所以 PA平分 ∠ MPN. 21124,2xx????????21x21x 2112x x?2112x x?2112x x?12x2211212( 2) 4xxx? ? ?214x解后反思 本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、等邊三角形的判定與 性質(zhì)、解直角三角形、角平分線的判定等基礎知識 ,考查運算能力、推理能力、空間觀念與 幾何直觀、創(chuàng)新意識 ,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想 . 7.(2022福建 ,25,14分 )已知直線 y=2x+m與拋物線 y=ax2+ax+b有一個公共點 M(1,0),且 ab. (1)求拋物線頂點 Q的坐標 (用含 a的代數(shù)式表示 )。 (3)直線與拋物線的另一個交點記為 N. (i)若 1≤ a≤ ? ,求線段 MN長度的取值范圍 。? =? ? ? . 即 27a2+(8S54)a+24=0,② 因為關于 a的方程②有實數(shù)根 , 所以 Δ=(8S54)242724≥ 0,即 (8S54)2≥ (36? )2, 又因為 a0,所以 S=? ? ? ? ,所以 8S540, 所以 8S54≥ 36? ,即 S≥ ? +? , 當 S=? +? 時 ,由方程②可得 a=? 滿足題意 . 故當 a=? ,b=? 時 ,△ QMN面積的最小值為 ? +? .e2 242, 6aa????????122 21a????????9 ( 3)4a? ? ? 274 3a 278 a2274 3a 278 a 2742274 922274 922 223223 423 2749228.(2022福州 ,27,13分 )已知 ,拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)經(jīng)過原點 ,頂點為 A(h,k)(h≠ 0). (1)當 h=1,k=2時 ,求拋物線的解析式 。 (3)當點 A在拋物線 y=x2x上 ,且 2≤ h1時 ,求 a的取值范圍 . 解析 根據(jù)題意 ,拋物線的解析式可化為 y=a(xh)2+k(a≠ 0). (1)∵ h=1,k=2, ∴ y=a(x1)2+2, ∵ 該拋物線經(jīng)過原點 , ∴ a+2=0, 解得 a=2, ∴ y=2(x1)2+2,即 y=2x2+4x. (2)∵ 拋物線 y=tx2(t≠ 0)經(jīng)過點 A(h,k),∴ k=th2. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+th2. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+th2(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+th2=0.∵ h≠ 0,∴ a=t. (3)∵ 點 A(h,k)在拋物線 y=x2x上 , ∴ k=h2h. ∴ y=a(xh)2+k可化為 y=a(xh)2+h2h. ∵ 拋物線 y=a(xh)2+h2h(a≠ 0)經(jīng)過原點 , ∴ ah2+h2h=0. ∵ h≠ 0,∴ a=? 1. 分兩類討論 : ① 當 2≤ h0時 ,由反比例函數(shù)性質(zhì)可知 ? ≤ ? , ∴ a≤ ? 。 (2)如圖 1,拋物線上存在點 B,使得△ AOB是以 AO為直角邊的直角三角形 ,請直接寫出所有符合 條件的點 B的坐標 : 。 ② 當直角頂點為點 A時 ,過點 A作 AB⊥ OA,由①得 ,直線 OA的解析式為 y=x,∵ A(4,4),∴ 直線 AB的 解析式為 y=x+8, 由 ? 得 ? 或 ? ∴ B(8,16). ∴ 滿足條件的點 B的坐標為 (4,4)或 (8,16). 141421 ,4yx? ???????0,0xy ??? ??4,4,xy ???? ??21 ,48yxyx? ????? ? ??4,4xy ??? ??8,1 6 ,xy ???? ??(3)證明 :設點 D? ,∴ 直線 DO的解析式為 y=? x, ∵ l∥ x軸 ,C(0,1),令 y=1,則 x=? , ∴ 直線 DO與 l的交點 E? , ∵ EF⊥ l,l∥ x軸 ,∴ 點 F的橫坐標為 ? , ∵ 點 F在拋物線上 ,∴ F? . 設直線 DF的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), ∴ ? ∴ ? ∴ 直線 DF的解析式為 y=? x+1, ∵ 點 G(0,1)滿足直線 DF的解析式 , ∴ 直線 DF一定經(jīng)過點 G. 21, 4mm??????4m4m4 ,1m????????4m244,mm???????2244,4kbmmmm k b? ? ? ????? ????2 4 ,41,mkmb? ???????2 44m m?評析 此題是二次函數(shù)綜合題 ,主要考查了待定系數(shù)法 ,函數(shù)圖象的交點坐標 ,直角三角形的性質(zhì) ,判斷點是否在直線上 ,解本題的關鍵是確定出點 B的坐標 ,確定出直線 DF的解析式是解本題的難點 . B組 2022— 2022年全國中考題組 考點一 二次函數(shù)的概念 1.(2022山西 ,9,3分 )用配方法將二次函數(shù) y=x28x9化為 y=a(xh)2+k的形式為 ( ) =(x4)2+7 =(x4)225 =(x+4)2+7 =(x+4)225 答案 B y=x28x9=x28x+16169=(x4)225,故選 B. 2.(2022浙江紹興 ,9,4分 )如果一種變換是將拋物線向右平移 2個單位或向上平移 1個單位 ,我們 把這種變換稱為拋物線的簡單變換 .已知拋物線經(jīng)過兩次簡單變換后的一條拋物線是 y=x2+1, 則原拋物線的解析式不可能是 ? ( ) =x21 =x2+6x+5 =x2+4x+4 =x2+8x+17 答案 B 因為拋物線 y=x21可以向上平移兩次得到 y=x2+1,所以 A可能 .因為拋物線 y=x2+4x+4 =(x+2)2可以先向右平移一次再向上平移一次得到 y=x2+1,所以 C可能 .因為拋物線 y=x2+8x+17= (x+4)2+1可以向右平移兩次得到 y=x2+1,所以 D可能 .因為拋物線 y=x2+6x+5=(x+3)24,所以經(jīng)過任 意兩次簡單變換都不能得到 y=x2+1,故選 B. 3.(2022浙江杭州 ,15,4分 )設拋物線 y=ax2+bx+c(a≠ 0)過 A(0,2),B(4,3),C三點 ,其中點 C在直線 x=2 上 ,且點 C到拋物線的對稱軸的距離等于 1,則拋物線的函數(shù)解析式為 . 答案 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2 18 14 18 34解析 把 A(0,2),B(4,3)兩點的坐標代入 y=ax2+bx+c(a≠ 0),解得 c=2,16a+4b=1,由點 C到拋物線對 稱軸的距離等于 1,可知拋物線的對稱軸是直線 x=1或 x=3, 即 ? =1或 ? =3, 由 ? 得 ? 由 ? 得 ? 故所求解析式為 y=? x2? x+2或 y=? x2+? x+2. 2ba 2ba1 6 4 1 ,12abba????? ????1 ,81 ,4ab? ????? ????1 6 4 1 ,32abba????? ????1 ,83 ,4ab? ?????? ???18 14 18 34考點二 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022湖北黃岡 ,6,3分 )當 a≤ x≤ a+1時 ,函數(shù) y=x22x+1的最小值為 1,則 a的值為 ? ( ) 2 2 答案 D y=x22x+1=(x1)2,當 a≥ 1時 ,函數(shù) y=x22x+1在 a≤ x≤ a+1內(nèi) ,y隨 x的增大而增大 ,其最 小值為 a22a+1,則 a22a+1=1,解得 a=2或 a=0(舍去 )。當直線 y=x+2c(即 l3)經(jīng)過點 A(3,0)時 ,3+2c=0,c=5, 根據(jù)圖象可得當 2c≤ 5時 ,直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 ,即一段拋物 線 L:y=x(x3)+c(0≤ x≤ 3)與直線 l:y=x+2有唯一公共點 .顯然 c=3,4, y=x+2c為圖中 l1時 , 直線 y=x+2c與拋物線 y=x(x3)(0≤ x≤ 3)有唯一公共點 .令 x(x3)=x+2c,得 x22x+2c=0,Δ=44(2 c)=0,解得 c=、乙的結果合在一起也不正確 ,故選 D. 歸納總結 數(shù)形結合思想主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系 ,就是把抽象的數(shù)學語言、 數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來 ,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形” ,即通過 抽象思維與形象思維的結合 ,可以使復雜問題簡單化 ,抽象問題具體化 ,從而起到優(yōu)化解題途徑 的目的 . 4.(2022黑龍江哈爾濱 ,4,3分 )拋物線 y=? ? 3的頂點坐標是 ? ( ) A.? B.? C.? D.? 35212x???????1 ,32??????? 1 ,32????????1 ,32??????1 ,32???????答案 B ∵ 拋物線 y=a(xh)2+k的頂點坐標為 (h,k), ∴ 拋物線 y=? ? 3的頂點坐標為 ? .故選 B. 35212x??????? 1 ,32????????5.(2022四川南充 ,5,3分 )拋物線 y=x2+2x+3的對稱軸是 ? ( ) x=1 x=1 x=2 x=2 答案 B 拋物線的對稱軸為直線 x=? =? =1,故選 B. 2ba 226.(2022廣西南寧 ,12,3分 )二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a≠ 0)和正比例函數(shù) y=? x的圖象如圖所示 ,則方 程 ax2+? x+c=0(a≠ 0)的兩根之和 ? ( ) ? 0 0 0 2323b???????答案