第九章曲線積分與曲面積分習題解答詳解-展示頁
2025-04-03 06:51本頁面
【正文】 介于之間部分的下側(cè)；解 由兩類曲面積分之間的聯(lián)系，可得，在曲面上，有。若在面上的投影區(qū)域為，那么，當取上側(cè)時，上式右端取正號。）(3) ，其中是拋物面在面上方的部分：,；解 拋物面在面上方的部分在面上的投影為圓域,故 .(4) ，其中是上半球面,；解 上半球面在面上的投影為圓域, ,故 ..（5），其中為平面在第一卦限的部分；解 將曲面的方程改寫為，則,，從而，圖9－12在上的投影區(qū)域為,故 ．（6），其中是柱面被平面﹑所截得的部分.解 將曲面分成丙個曲面:和，﹑在面上的投影區(qū)域都為,，從而，.同理可求得.所以 .5 求拋物面殼（）的質(zhì)量，此殼的密度為。4 計算下列曲面積分:（1），其中是左半球面,； 解 .（2）,其中是錐面被柱面所截得的有限部分；解 被截得的曲面在面上的投影區(qū)域是圓心在點直徑為的圓域，即，由曲面的方程得，于是 。（2）面上的直線段 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面。3 計算曲面積分，其中是（1）錐面及平面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面；解 錐面與平面的交線為，即錐面在面上的投影區(qū)域為圓域。習題931 當為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時,曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答 當為面內(nèi)的一個閉區(qū)域時，在面上的投影就是，于是有 。 解 因為力 所以。解 的參數(shù)方程為，從變到， 。所以 。（3），其中是曲線從對應于時的點到時的點的一段??；解 的方程為，則有．的方程為，則 ．所以 ．（4）是從點沿上半圓周到點的一段??；解 利用曲線的參數(shù)方程計算．的參數(shù)方程為:，在起點處參數(shù)值取，在終點處參數(shù)值相應取0，故從到0．則 =．（5），其中沿右半圓以點為起點，經(jīng)過點到終點的路徑；解 利用曲線的參數(shù)方程計算．的參數(shù)方程為:，在起點處參數(shù)值取，在終點處參數(shù)值相應取，則 。解 將曲線的方程視為以為參數(shù)的參數(shù)方程，其中參數(shù)從變到。證明：設(shè)是直線上從點到點的一段，其參數(shù)方程可視為，（），于是。曲線積分與曲面積分習題詳解 習題911 計算下列對弧長的曲線積分：（1），其中是拋物線上點到之間的一段弧；解: 由于由方程 （）給出，因此 .（2），其中是圓中到之間的一段劣弧；解: 的參數(shù)方程為：，于是 ．（3），其中是頂點為及的三角形的邊界；解: 是分段光滑的閉曲線，如圖9－2所示，根據(jù)積分的可加性，則有 ，由于:，于是，故 ，而,，于是．故 ，同理可知（），則 ．綜上所述 ．（4），其中為圓周；解 直接化為定積分．的參數(shù)方程為,（）,且 ．于是 ．（5），其中為折線段，這里,的坐標依次為,；解 如圖所示， ．線段的參數(shù)方程為 ，則，故 ．線段的參數(shù)方程為，則 故 ，線段的參數(shù)方程為，則，故所以 ．（6），其中為空間曲線.解: 在平面的投影為：，即，從而.利用橢圓的參數(shù)方程得的參數(shù)方程為由于 .則 .2 設(shè)一段曲線上任一點處的線密度的大小等于該點橫坐標的平方，求其質(zhì)量．解 依題意曲線的線密度為，故所求質(zhì)量為，其中．則的參數(shù)方程為 ，故 ， 所以．3 求八分之一球面的邊界曲線的重心，設(shè)曲線的密度。解 設(shè)曲線在坐標平面內(nèi)的弧段分別為、曲線的重心坐標為，則曲線的質(zhì)量為．由對稱性可得重心坐標 ．故所求重心坐標為．4. 計算半徑為、中心角為的圓弧對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量（設(shè)線密度）. 解: 如右圖建立坐標系，
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