類曲面積分ppt課件-展示頁
2025-01-24 07:00本頁面
【正文】 ???? 當(dāng) 有 向 曲 面 的 法 向 量 與 軸 正 向 的 交 角 時(shí)以 上 諸 式 取 當(dāng) 時(shí) 取 －綜合以上三式 ,有 S( , , ) ( , , ) ( , , )P x y z dy dz Q x y z dz dx R x y z dx dy????? ?( , , ( , ) ) , ( , , ( , ) ) , ( , , ( , ) )xyDP x y z x y Q x y z x y R x y z x y? ??＝, , 1zz dxdyxy????????????( , ) Sz z x y?其 中 ， 為 曲 面 的 顯 示 表 示 。 ni? Si ? [ P ( ?i, ?i, ?i) c o s ?i? Q ( ?i, ?i,?i) c o s ?i? R ( ?i, ?i,?i) c o s ?i] ? Si ? Email: 而 c o s ?i?? Si? ( ? Si)yz? c o s ?i?? Si? ( ? Si)zx? c o s ?i?? Si? ( ? Si)xy ? 所以 vi? ni? Si ? P ( ?i, ?i,?i)( ? Si)yz? Q ( ?i, ?i,?i)( ? Si)zx? R ( ?i, ?i,?i)( ? Si)xy ? 對(duì)于 ? 上的一個(gè)小塊 ? ? 顯然在 ? t 時(shí)間內(nèi)流過 ?的是一個(gè)彎曲的柱體 ? 它的體積近似于以 ? 為底 ? 而高為 (| V |? t ) c o s ( V ?^n ) ? V ni? 體積為 vi n ? 因此 ? 不論 ( v ?^n ) 為何值 ? 流體通過閉區(qū)域 A 流向 n 所指一側(cè)的流量均為 Av n ?? 當(dāng) ( v ?^n ) π /2 時(shí) ? A v 假定 ?S上各點(diǎn)處的法向量與 z軸的夾角 ?的余弦 cos?有相同的符號(hào) (即 cos?都是正的或都是負(fù)的 )? 我們規(guī)定 ?S在 xOy面上的投影 (?S)xy為 .0c o s00c o s)(0c o s)()(?????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)?????xyxyxyS其中 cos??0也就是 (??)xy?0的情形 ? 類似地可以定義 ?S在 yOz面及在 zOx面上的投影 (?S)yz及 (?S)zx? Email: 實(shí)例 流向曲面一側(cè)的流量 . 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體 ( 假定密度為 1) 的速度場(chǎng)由 kzyxRjzyxQizyxPzyxv????),(),(),(),( ??? 給出 , Σ 是速度場(chǎng)中的一片有向曲面 , 函數(shù)),(),(),( zyxRzyxQzyxP 都在 Σ 上連續(xù) , 求在單位 時(shí)間內(nèi)流向 Σ 指定側(cè)的流 體的質(zhì)量 ? . xyzo?Email: 如果流體流過平面上面積為 A 的一個(gè)閉區(qū)域 ? 且 流體在這閉區(qū)域上各點(diǎn)處的流速為 ( 常向量 ) v ? 又設(shè) n 為該平面的單位法向量 ? 那么在單位時(shí)間內(nèi)流過這閉區(qū)域的流體組成一個(gè)底面積為 A 、斜高為 | v |的斜柱體 ? Av?0n??Email: 當(dāng) ( v ?^n ) = θ π /2 時(shí) ? 這斜柱體的體積為： A | v | c o s ? ? A v Email: 167。 5 第二類曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分） 有向曲面 ： 通常我們遇到的曲面都是雙側(cè)的 ? 例如 由方程 z?z(x? y) 表示的曲面分為上側(cè)與 下側(cè) ? 設(shè) n?(cos?? cos?? cos?)為曲面上的 法向量 ? 在曲面的上側(cè) cos??0? 在曲面的 下側(cè) cos??0? 閉曲面有內(nèi)側(cè)與外側(cè)之分 ? 曲面分 上 側(cè)和 下 側(cè) 曲面分 內(nèi) 側(cè)和 外 側(cè) 一、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念和性質(zhì) Email: 類似地 ? 如果曲面的方程為 y?y(z? x)?則曲面分為左側(cè)與右側(cè) ? 在曲面的右側(cè) cos??0? 在曲面的左側(cè)cos??0? 如果曲面的方程為 x?x(y? z)? 則曲面分為前側(cè)與后側(cè) ? 在曲面的前側(cè) cos ??0? 在曲面的后側(cè)cos??0? n?Email: 設(shè) ?是有向曲面，在 ?上取一小塊曲面 ?S? 把 ?S投影到 xOy面上得一投影區(qū)域 ? 這投影區(qū)域的面積記為 (??)xy。 n ? 當(dāng) ( v ?^n ) = π /2 時(shí) ? 顯然流體通過閉區(qū)域 A 的流向 n 所指一側(cè)的流量? 為零 ? 而 Av ? n ? 0 , 故 ? ? A v n ? 0 ? 這時(shí)我們?nèi)园?Av ? n 稱為流體通過閉區(qū)域 A 流向 n 所指一側(cè)的流量 ? 它表示流體通過閉區(qū)域 A實(shí)際上流向 ? n 所指一側(cè) ? 且流向 ? n 所指一側(cè)的流量為? Av n ? Email: xyzo??iS? ),(iii ???iv?in? 把曲面 Σ 分成 n 小塊is? (is? 同時(shí)也代表第 i 小塊曲面的面積 ),在is? 上任取一點(diǎn)),(iii??? ,1. 分割 則該點(diǎn)流速為 . iv?法向量為 . in?Email: 該點(diǎn)處曲面 Σ 的 單位法向量 kjin iiii ???? ??? c o sc o sc o s0 ??? , 通過 is? 流向指定側(cè)的流量的近似值為).,2,1( niSnv iii ????,),(),(),(),(kRjQiPvviiiiiiiiiiiii ????????????????????Email: iiiiiiiiiniiiiiSRQP???? ??]c o s),(c o s),(c o s),([1????????????xyiiiixziiiiyzniiiiiSRSQSP))(,())(,())(,([1?????? ??????????? 0?? .的精確值取極限得到流量 ?2. 求和 通過 Σ 流向指定側(cè)的流量??????niiii Snv1Email: 這樣的極限還會(huì)在其它問題中遇到 ? 抽去它們的具體意義 ?
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