排列組合經(jīng)典：涂色問(wèn)題-展示頁(yè)
2025-04-03 02:37本頁(yè)面
【正文】 B與D分別同色，故有種方法。⑤⑤⑤⑤⑤ 如：如圖，把一個(gè)圓分成個(gè)扇形，每個(gè)扇形用紅、白、藍(lán)、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？解：設(shè)分成n個(gè)扇形時(shí)染色方法為種 （1） 當(dāng)n=2時(shí)、有=12種，即=12（2）當(dāng)分成n個(gè)扇形，如圖，與不同色，與 不同色，與不同色，共有種染色方法， 但由于與鄰，所以應(yīng)排除與同色的情形；與同色時(shí)，可把、 看成一個(gè)扇形，與前個(gè)扇形加在一起為個(gè)扇形，此時(shí)有種染色法，故有如下遞推關(guān)系： 方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類(lèi)討論，（2）根據(jù)相對(duì)頂點(diǎn)是否同色分類(lèi)討論，（3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。故總計(jì)有108+432+192=732種方法。 （3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時(shí)有種著色方法，此時(shí)B、D、F各有2種著色方法。例4用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個(gè)區(qū)域內(nèi)，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個(gè)區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？分析：可把問(wèn)題分為三類(lèi)：1234（1） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為；（2） 有且僅兩個(gè)區(qū)域相同的顏色，（3） 即只有一組對(duì)角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為；5) 兩組對(duì)角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為，因此，所求的涂法種數(shù)為 根據(jù)相間區(qū)使用顏色的種類(lèi)分類(lèi)ABCDEF例5如圖， 6個(gè)扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個(gè)區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個(gè)區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可解（1）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時(shí)，有4種著色方法，此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法，此時(shí)，B、D、F各有3種著色方法故有種方法。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類(lèi)：（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；（4）③與⑤同色、② 與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=120例如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，24315現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？ 分析：依題意至少要用3種顏色1) 當(dāng)先用三種顏色時(shí)，區(qū)域2與4必須同色，2) 區(qū)域3與5必須同色，故有種；3) 當(dāng)用四種顏色
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