排列組合經(jīng)典例題-展示頁(yè)
2025-04-03 02:36本頁(yè)面
【正文】 0=252間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。12除做到：排列組合分清，加乘原理辯明，避免重復(fù)遺漏外，還應(yīng)注意積累排列組合問(wèn)題得以快速準(zhǔn)確求解。直接法特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位 （2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。如上例中（2）可用間接法=252例2 有五張卡片，它的正反面分別寫(xiě)0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三維書(shū)？ 分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個(gè)，其中0在百位的有個(gè)，這是不合題意的。 例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有=100中插入方法。 4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？ 分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：=576 練習(xí)1．四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種（） 某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）閣板法 名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采閣板用法 例5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。 當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有而指數(shù)和為15，即將15分配給2個(gè)字母時(shí)，如何分，閘板法一分為2，即 當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可 當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí) 四者都相加即可． 練習(xí)2．有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號(hào)數(shù)，問(wèn)有多少種不同的方法？（） 3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整數(shù)解有（）平均分堆問(wèn)題 例6 6本不同的書(shū)平均分成三堆，有多少種不同的方法？ 分析：分出三堆書(shū)（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書(shū)平均分成三堆方式有=15種 練習(xí)：1．6本書(shū)分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？ 2．某年級(jí)6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。 分析：顏色相同的區(qū)域可能是5． 下面分情況討論: (ⅰ)當(dāng)4顏色相同且5顏色不同時(shí)，將4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素 ①③⑤的全排列數(shù) （ⅱ）當(dāng)4顏色不同且5顏色相同時(shí)，與情形(ⅰ)類似同理可得 種著色法．（ⅲ）當(dāng)4與5分別同色時(shí)，將4；5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格 ①?gòu)?種顏色中選3種來(lái)著色這三個(gè)單元格，計(jì)有種方法． 由加法原理知：不同著色方法共有2=48+24=72（種）練習(xí)1（天津卷（文））將3種作物種植 1 2 3 4 5 在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物 ， 不同的種植方法共 種（以數(shù)字作答） （72） 2．（江蘇、遼寧、天津卷（理））某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分（如圖3），現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種 同一樣顏色的話，不同的栽種方法有 種（以數(shù)字作答）．（120） 圖3 圖4 3．如圖4，用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要求的不同著色種數(shù)．（540） 4．如圖5：四個(gè)區(qū)域坐定4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是 種（84） 圖5 圖6 5．將一四棱錐(圖6)的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共 種（420） 遞推法例八 一樓梯共10級(jí)，如果規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要走上這10級(jí)樓梯，共有多少種不同的走法？ 分析：設(shè)上n級(jí)樓梯的走法為an種，易知a1=1,a2=2,當(dāng)n≥2時(shí)，上n級(jí)樓梯的走法可分兩類：第一類：是最后一步跨一級(jí)，有an1種走法，第二類是最后一步跨兩級(jí)，有an2種走法，由加法原理知：an=an1+ an2,據(jù)
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