[工程科技]8最小二乘法-展示頁
2025-02-26 19:16本頁面
【正文】 程組）如下： 式中， 為可測量和經(jīng)簡單計算即可知道的量； 為待求量。 進一步改寫為一般形式： 我們在不同溫度 條件下測出一系列 L值，再據(jù)以求 與 值。這里， 為米尺在 時的精確長度； ， 為米尺的溫度膨脹系數(shù)。( 0200 LctLbtLa ???8 .1 最小二乘法原理 或 C?0????),(xL cbayf? 最小二乘法原理 9 (3) 當 nm，則任選其中 m個方程式即可求出 m 個未知量。但事實上因為不可避免地有測量誤差存在，故將各測得 值及求得的解代入其余各式后，并不能滿足 。 )18(),(xL),(xL),(xLn22221111???????????nnn cbayfcbayfcbayf?y,x0),(xL ?? cbayf0),(xL ?? cbayf ? ?8 .1 最小二乘法原理 方程組中有 兩個（一般為 m個）未知量，從方程組可看出： (1) 當 nm，方程有無窮多個解。 10 如要得到如上所述的一組解，既從整體上看誤差最小，其條件是式（ 82）中 各方程式的殘差 的平方和為最小，即 式中， 為需要直接測量的值待求估計值， 為相應(yīng)的有誤差 的實際測得值。這就是最小二乘法最基本的 概念，應(yīng)用最小二乘法時，要注意誤差數(shù)據(jù)必須是無偏的，即沒有系統(tǒng)誤差，相互 獨立，且服從正態(tài)分布，這是用最小二乘法確定最佳估計值的前提條件。 為 的算術(shù)平均值，標準差為 。代入上式得： 按概率論的最大或然原理，測量結(jié)果的最可信賴值，應(yīng)該是出現(xiàn)的機會最多 的那個數(shù)值，也就是出現(xiàn)的概率 為最大時所求得的數(shù)值。要使 P最大的條件，就是上式中負指數(shù)的分 子 為最小，即 為最大的條件為 P)( 22221 n??? ???最小???ni i12?nxx ,x 21 ? n??? , 21 ?? ? ? ?nnnndveppppnn222222212121212121 ???????????????????????????最小???? 2222222121nn?????? ?8 .1 最小二乘法原理 這樣就證明了最小二乘原理。 最小????? ??ni iinnpppp122222211 ???? ?,1::1:1::: 2222121 nnppp ??? ?? ?8 .1 最小二乘法原理 14 式中， 為待求量值； 為直接測量的量值。 估計值矩陣 實測值矩陣 殘差矩陣 ????????????????????????????nmnmnnnnnmmmmxaxaxalylxaxaxalylxaxaxalyl???)()()(22112222212122211212111111????nlll , 21 ?VXAL ?? ?? ?mnmnnmmaaaaaaaaaaaaA , 21212222111211??????????????????????????????????mxxxX?21??????????????nLLL?21L?????????????nvvv?21V8 .2 最小二乘法的基本運算 相應(yīng)的誤差方程組為： 以上線性方程組（式 85）可用矩陣表示： 式中：系數(shù)矩陣 16 從而得到 m個新的方程式，叫作 “
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