插值法與最小二乘法-展示頁(yè)
2025-05-08 07:50本頁(yè)面
【正文】 2 3 5 6 0 2 6 20 90 ix()ifx例 已知下列函數(shù)表 , 求 4次 newton插值多項(xiàng)式 . ()fx34 Newton 插 值 多 項(xiàng) 式 算 法 : 1 ．輸入數(shù)據(jù)),...,2,1(, niyxii?及插值點(diǎn) u 2 ． for j= 2,3 , … ,n do for i = n, n 1, … ,j do 11:。 d=f。 一、分段線性 Lagrange插值 ,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為 niy i ,1,0, ??函數(shù)值為],[, 11 ?? kkkk xxxx 形成一個(gè)插值區(qū)間任取兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)構(gòu)造 Lagrange線性插值 1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?1. 分段線性插值的構(gòu)造 2 )()()( 11)(1 xlyxlyxL kkkkk ????11?????kkkk xxxxykkkk xxxxy?????111,1,0 ?? nk ??)(1 xL???????????????nnnxxxxLxxxxLxxxxL1)1(121)1(110)0(1)()()(??顯然 ?)(1 ixL niy i ,1,0, ??(1) (2) 我們稱由 (1)(2)式構(gòu)成的插值多項(xiàng)式 為 分段線性 Lagrange插值多項(xiàng)式 )(1 xL3 為插值點(diǎn)設(shè) *xx ?1* ??? kk xxx若*)(* 1 xLy ?則 *)()(1 xL k?11*?????kkkk xxxxykkkk xxxxy?????11*0* xx ?若*)(* 1 xLy ?取 *)()0(1 xL?1010*xxxxy???0101*xxxxy???nxx ?*若*)(* 1 xLy ?取 *)()1(1 xL n ??nnnn xxxxy?????11*11*?????nnnn xxxxy內(nèi)插 外插 外插 4 4 3 2 1 0 1 2 3 41014 3 2 1 0 1 2 3 4101的圖象分段線性插值 )(1 xLy ?的一條折線實(shí)際上是連接點(diǎn)niyx kk,1,0,),(??也稱折線插值 ,如右圖 曲線的光滑性較差 在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn) 但如果增加節(jié)點(diǎn)的數(shù)量 減小步長(zhǎng) ,會(huì)改善插值效果 )(lim 10 xLh? )(xf?上連續(xù)在若 ],[)( baxf因此 則 5 )()!1( )( 1)1(xnf nn???? ??由第二節(jié)定理 1可知 ,n次 Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為 )()()( xPxfxR nn ??的余項(xiàng)為那么分段線性插值 )(1 xL)()()( 11 xLxfxR ?? )()( )(1 xLxf k??))((2 )( 1?????? kk xxxxf ? 有關(guān)與且 xxxx kk ?? ],[, 1??|)(| 1 xR111 m a x | ( ) | m a x | ( ) ( ) |2 kk kka x b x x xf x x x x x? ?? ? ? ???? ? ? ? ?22 4121 hM ??? 2281 hM?2. 分段線性插值的誤差估計(jì) 其中 2 1 .01m a x | ( ) |, m a x ,k k k ka x b k nM f x h h h x x?? ? ? ? ?? ? ? ?6 二、分段二次 Lagrange插值 分段線性插值的光滑性較差 ,且精度不高 因此 ,當(dāng)節(jié)點(diǎn)較多時(shí) ,可根據(jù)情況構(gòu)造分段二次插值 ,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為 niy i ,1,0, ??函數(shù)值為構(gòu)造 Lagrange二次插值 ()2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )k k k k k k kL x y l x y l x y l x? ? ? ?? ? ?0 , 2 , , 2kn??1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?1. 分段二次插值的構(gòu)造 任 取 三 個(gè) 相 鄰 節(jié) 點(diǎn) 12,k k kx x x?? , 以 2[ , ]kkxx ? 為 插 值 區(qū) 間 7 1212( ) ( )( ) ( )kkkk k k kx x x xyx x x x?????????0 , 2 , , 2kn??)()(2 xL k 211 1 2( ) ( )( ) ( )kk
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