[工程科技]8最小二乘法(已修改)
2025-03-01 19:16 本頁(yè)面
【正文】 誤差理論與數(shù)據(jù)處理 第 8章 最小二乘法 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院 2022 2 內(nèi)容提要 8 最小二乘法 1 最小二乘法原理 2 最小二乘法的基本運(yùn)算 3 最小二乘法處理的精度估計(jì) 3 最小二乘法發(fā)展歷程 1750年： 拉普拉斯、歐拉、辛普生在天文間接測(cè)量數(shù)據(jù)處理問(wèn)題上提 出了許多方法，其中有最小二乘法 1805年： 勒讓德應(yīng)用測(cè)量平方差方法確定了彗星的軌道和地球子午線， 并稱為 “ 最小二乘法 ” ，但沒(méi)有論證其最佳性等理論問(wèn)題 1809年： 高斯推證了誤差的概率定律，完整的發(fā)展了最小二乘法 現(xiàn)代： 矩陣?yán)碚摵陀?jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)一步推動(dòng)了最小二乘法的應(yīng)用 4 8 最小二乘法 5 8 最小二乘法 6 8 最小二乘法 7 8 最小二乘法 8 設(shè)對(duì) L和 t各測(cè)取 n個(gè)值，當(dāng)已知 時(shí)，即可計(jì)算出 n 組相應(yīng)的 值 ，于是可得條件方程組（或稱測(cè)量方程組）如下： 式中， 為可測(cè)量和經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算即可知道的量； 為待求量。 進(jìn)一步改寫為一般形式： 我們?cè)诓煌瑴囟? 條件下測(cè)出一系列 L值，再據(jù)以求 與 值。為了醒目 起見(jiàn)，以 ， 來(lái)代表 ， 兩個(gè)未知的待求量，于是有 例：米尺長(zhǎng)度： 。這里， 為米尺在 時(shí)的精確長(zhǎng)度； ， 為米尺的溫度膨脹系數(shù)。 ? ?20 1 ttLL ?? ??? 0L ? ?x yit? ?yttxLL 20 1 ???cbyax ???Lcba ,L y,x0L cba ,)。( 0200 LctLbtLa ???8 .1 最小二乘法原理 或 C?0????),(xL cbayf? 最小二乘法原理 9 (3) 當(dāng) nm，則任選其中 m個(gè)方程式即可求出 m 個(gè)未知量。若取值絕對(duì)精確 （不管測(cè)多少次，結(jié)果不變），則所求出得解也將是唯一的，即代入其余 nm 個(gè)方程式也能滿足。但事實(shí)上因?yàn)椴豢杀苊獾赜袦y(cè)量誤差存在，故將各測(cè)得 值及求得的解代入其余各式后，并不能滿足 。不過(guò)在 nm 情況的下，仍可找到一組最佳的或最恰當(dāng)?shù)慕?，將其代入各方程式后，雖不 能使 ，但卻是與零相差很微小的 值（ 仍可稱為殘 差），從方程組整體上看，這一組解可以是 誤差最小的唯一解 。 )18(),(xL),(xL),(xLn22221111???????????nnn cbayfcbayfcbayf?y,x0),(xL ?? cbayf0),(xL ?? cbayf ? ?8 .1 最小二乘法原理 方程組中有 兩個(gè)（一般為 m個(gè)）未知量，從方程組可看出： (1) 當(dāng) nm，方程有無(wú)窮多個(gè)解。 (2) 當(dāng) n=m，方程只有唯一解。 10 如要得到如上所述的一組解，既從整體上看誤差最小，其條件是式（ 82）中 各方程式的殘差 的平方和為最小，即 式中， 為需要直接測(cè)量的值待求估計(jì)值， 為相應(yīng)的有誤差 的實(shí)際測(cè)得值。 也就是說(shuō)，任取另一組解，其 都將大于 。這就是最小二乘法最基本的 概念，應(yīng)用最小二乘法時(shí)，要注意誤差數(shù)據(jù)必須是無(wú)偏的，即沒(méi)有系統(tǒng)誤差，相互 獨(dú)立，且服從正態(tài)分布，這是用最小二乘法確定最佳估計(jì)值的前提條件。 2)8 ),(xL),(xL),(xLn22222221111111式（???????????????????nnnnnn cbayfllcbayfllcbayfll????nL,LL ,21 ? nl,ll ,21 ?i?最小???ni i12??? ?ni i1 2? ??ni i1 2?8 .1 最小二乘法原理 當(dāng)考慮了測(cè)量誤差之后，將各測(cè)量值代入式（ 81），可寫出如下誤差方程組： 11 設(shè)對(duì)某 x值進(jìn)行 n次等精度測(cè)量，得一系列測(cè)得值 ，相應(yīng)的殘差
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