小二乘法ppt課件(2)(已修改)
2025-05-11 00:30 本頁(yè)面
【正文】 1曲線擬合的最小二乘法1 引 言在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 出發(fā)，尋求函數(shù) y = f(x)的一個(gè)近似表達(dá)式 y=φ（ x）（稱為經(jīng)驗(yàn)公式）。從幾何上，就是希望根據(jù)給出的 m個(gè)點(diǎn) ，求曲線 y = f(x)的一條近似曲線 y=φ（ x）。因此，這是一個(gè)曲線擬合的問(wèn)題。多項(xiàng)式插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)的近似表達(dá)式問(wèn)題，但用它來(lái)解決這里提出的問(wèn)題，有明顯缺陷。首先，實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)通常帶有測(cè)試誤差。如要求近似曲線 y=φ（ x）嚴(yán)格地通過(guò)所給的每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn) ，就會(huì)使曲線保持原有的測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí)，插值效果顯然是不理想的。其次，由實(shí)驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)往往較多（即 m較大），用插值法得到的近似表達(dá)式，明顯地缺乏實(shí)用價(jià)值。2因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個(gè)函數(shù)類 φ中尋求一個(gè) “最好 ”的函數(shù) φ（ x）來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，是一個(gè)值得討論的問(wèn)題。隨著擬合效果 “好 ”、 “壞 ”標(biāo)準(zhǔn)的不同，解決此類問(wèn)題的方法也不同。這里介紹一種最常用的曲線擬合方法，即最小二乘法。2 什么是最小二乘法如前所述，在一般情況下，我們不能要求近似曲線 y=f（ x）嚴(yán)格地通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn) ，亦即不能要求所有擬合曲線函數(shù)在 xi 處的偏差（亦稱殘差）都嚴(yán)格地趨于零。但是，為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì)，要求 ∣δi∣都較小還是需要的。達(dá)到這一目標(biāo)的途徑很多，常見(jiàn)的有： (1)選取 φ（ x），使偏差絕對(duì)值之和最小，即 ()3(2)選取 φ（ x），使偏差最大絕對(duì)值最小，即()(3)選取 φ（ x），使偏差平方和最小，即()為了方便計(jì)算、分析與應(yīng)用，我們較多地根據(jù) “偏差平方和最小 ”的原則（稱為 最小二乘原則 ）來(lái)選取擬合曲線 y=φ（ x）按最小二乘原則選擇擬合曲線的方法，稱為 最小二乘法 。本章要著重討論的線性最小二乘問(wèn)題，其基本提法是：對(duì)于給定數(shù)據(jù)表x x1x2…x my y1y2…y m4要求在某個(gè)函數(shù)類 （其中 nm）中尋求一個(gè)函數(shù)()使 φ*(x)滿足條件16
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