小二乘法ppt課件(2)(已修改)
2025-05-11 00:30 本頁面
【正文】 1曲線擬合的最小二乘法1 引 言在科學實驗和生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常要從一組實驗數(shù)據(jù) 出發(fā)，尋求函數(shù) y = f(x)的一個近似表達式 y=φ（ x）（稱為經(jīng)驗公式）。從幾何上，就是希望根據(jù)給出的 m個點 ，求曲線 y = f(x)的一條近似曲線 y=φ（ x）。因此，這是一個曲線擬合的問題。多項式插值雖然在一定程度上解決了由函數(shù)表求函數(shù)的近似表達式問題，但用它來解決這里提出的問題，有明顯缺陷。首先，實驗提供的數(shù)據(jù)通常帶有測試誤差。如要求近似曲線 y=φ（ x）嚴格地通過所給的每個數(shù)據(jù)點 ，就會使曲線保持原有的測試誤差。當個別數(shù)據(jù)的誤差較大時，插值效果顯然是不理想的。其次，由實驗提供的數(shù)據(jù)往往較多（即 m較大），用插值法得到的近似表達式，明顯地缺乏實用價值。2因此，怎樣從給定的一組數(shù)據(jù)出發(fā)，在某個函數(shù)類 φ中尋求一個 “最好 ”的函數(shù) φ（ x）來擬合這組數(shù)據(jù)，是一個值得討論的問題。隨著擬合效果 “好 ”、 “壞 ”標準的不同，解決此類問題的方法也不同。這里介紹一種最常用的曲線擬合方法，即最小二乘法。2 什么是最小二乘法如前所述，在一般情況下，我們不能要求近似曲線 y=f（ x）嚴格地通過所有數(shù)據(jù)點 ，亦即不能要求所有擬合曲線函數(shù)在 xi 處的偏差（亦稱殘差）都嚴格地趨于零。但是，為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點的變化趨勢，要求 ∣δi∣都較小還是需要的。達到這一目標的途徑很多，常見的有： (1)選取 φ（ x），使偏差絕對值之和最小，即 ()3(2)選取 φ（ x），使偏差最大絕對值最小，即()(3)選取 φ（ x），使偏差平方和最小，即()為了方便計算、分析與應用，我們較多地根據(jù) “偏差平方和最小 ”的原則（稱為 最小二乘原則 ）來選取擬合曲線 y=φ（ x）按最小二乘原則選擇擬合曲線的方法，稱為 最小二乘法 。本章要著重討論的線性最小二乘問題，其基本提法是：對于給定數(shù)據(jù)表x x1x2…x my y1y2…y m4要求在某個函數(shù)類 （其中 nm）中尋求一個函數(shù)()使 φ*(x)滿足條件16
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