【正文】 0 ??x 時， 320320 20 23]23[d)66(d)()( xxtttttttfx xxx ???????? ??； 當(dāng) 1?x 時， 10]23[d0d)66(d)()( 1032110 20 ????????? ??? ttttttttfx xx， 所以，????????????.11102300)( 32xxxxxx，， 習(xí)題 5— 3(A) 1． 判斷下列敘述是否正確？并說明理由： （ 1）在定積分的 換元 積分法中， 要求 被積 函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，函數(shù) ()xt?? 在以 ??、 為端點的區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) ，以 保證 [ ( )] ( )f t t??? 在 [ , ]?? 或 ],[ ?? 上可積 ； （ 2）對定積分進行換元時，需要注意的是換元的同時要換積分限，這時還要特別注意換元后積分的下限要小于上限； （ 3）定積分也有與不定積 分類似的湊微分法與三角代換法等換元法，具體采取哪種換元法，其 依據(jù) 與不定積分是 相同的； （ 4）在利用奇、偶函數(shù)的積分性質(zhì)時，不僅要注意被積函數(shù)的 奇偶性 ，而且還要注意積分區(qū)間關(guān)于坐標(biāo)原點 必須 是對稱的 . 答： （ 1）正確．此時 [ ( )] ( )f t t??? 在 [ , ]?? 或 ],[ ?? 上 是 連續(xù) 的，因此它可積 . （ 2）不正確．如 tx cos? ，則 ttxx ds ind1 02/ 210 2 ?? ??? ?，其中下限大，上限小； 對積分 ?ba xxf d)(作換元 )(tx ?? ，原積分下限 ax? 對應(yīng)的 t 值在換元后積分的下限上，原積分上限 bx? 對應(yīng)的 t 值在換元后積分的上限上 . （ 3）正確 . （ 4）正確 ． 但是 還需注意函數(shù)是可積的． 2． 計算下列定積分： （ 1） xxx d191? ?； （ 2） ?? ??01 3 11dxx ； （ 3） xxx d4511?? ?； （ 4） xxx d1 210 3 ??； （ 5） ??31 22 1d xx x； （ 6） ? ?121 22 d1 xx x； （ 7） ? ?21 22 d1 xxx ； （ 8） ? ?32 4)28( d xx ； （ 9） ? ?30 2 d1 xxx； （ 10） xxx dsincos0 4? ? （ 11） xx d)sin1(0 3? ??； （ 12） xx x de10 2?； （ 13） xx xdln1e1?? ； （ 14） xx xd1sin/3/2 2???； （ 15） ?? ??21 2 102dxx x； （ 16） xxx dsinsin0 3? ??. 解： （ 1） 令 tx? ，則 2tx? ， ttx d2d ? ，于是 ttttttxxx d)1 11(2d12d1 3131 291 ??? ??????? ???? 31312 )1ln(24 tt 2ln24? ． （ 2） 令 tx??3 1 ，則 13??tx ， ttx d3d 2? ，于是 ????????????? ?? ??? 0 121010 20 1 3 )]1l n(3323[)d111(31d311 d ttttttt ttxx 232ln3 ? ． （ 3） 令 tx ??45 ，則 4/)5( 2tx ?? ， 2/dd ttx ?? ，于是 ????????? ?? ? )310(81d8 )5(d45 13313 21 1 txt ttxxx 61 ． （ 4） 令 tx sin? ，則 ttx dcosd ? ，于是 ttttttxxx c osd)c os(c osdc oss i nd1 220 420 23210 3 ???? ??? ?? 1525131]3c os5c os[ 2/035 ????? ?tt ． （ 5） 令 tx tan? ，則 ttx dsecd 2? ，于是 ?????? ??? 3/ 4/3/ 4/ 23/ 4/ 2 231 22 ]s i n1[s i n dcs e ct a n ds e c1d ?????? tttos ttt ttxx x 3322? ． （ 6） 令 tx sin? ，則 ttx dcosd ? ，于是 ???????? ??? 4c otd)1(c s cdc otd1 2/ 4/2/ 4/ 22/ 4/ 2121 22 ??????? tttttxxx 41?? ． （ 7） 令 tx sec? ，則 tttx dsectand ? ，于是 ??? ???? 3/03/0 221 22 d)c os(s e cdc oss i nd1 ?? ttttttxxx 3/0]s ins e ctan[ ln ?ttt ??? 23)32ln( ??? ． （ 8） ?????? ???? ?? )64181(61)28(6 1)28( )2d(821)28( d 32332 432 4 xx xxx 3847． （ 9） ????????? ?? )18(31)1(31)d(1121d1 302/3230 2230 2 xxxxxx 37． （ 10） ??? ?? ???050 40 4 s i n51ds i ns i nds i nc os xxxxxx 0． （ 11） ???????? ?? ??? ??030 20 3 ]c os3c os[dc os)1(c osd)s i n1( xxxxxx 34?? ． （ 12） ??? ?? 1021010 222 e21)d(e21de xxx xxx )1e(21 ?． （ 13） ???????? ?? 321)(l n321dl nlnlndln1 e12/3e1e1e1 xxxxxx x 35． （ 14） ?????? ?? 0211c o s)1d(1s i nd1s i n/3 /2/3/2/3/2 2?????? x xxxxx 21 ． （ 15） ??????? ???? ??? ?? )04(313 1a rc t a n313)1( )1d(102d 2 12 1 222 1 2 ?xx xxx x 12?． （ 16） xxxxxxxxx dc oss i ndc oss i nds i ns i n00 20 3 ??? ??? ??? xxxxxx dc oss i ndc oss i n 2/2/0 ?? ???? ??? xxxx ds i ns i nds i ns i n 2/2/0 ?? ???? ??? ????? 3232s i n32s i n32 2/2/32/02/3 ??? xx 34 ． 3． 計算下列定積分： （ 1） xxx dsin0 2? ?； （ 2） xx xde10? ?； （ 3） xxdlne1?； （ 4） ?41 dln xxx ； （ 5） ? 10 2 darctan xxx； （ 6） ? 210 darcsin xx； （ 7） xxx dcose2/0? ?； （ 8） ? ?40 d)1ln( xx. 解： （ 1） )ds i ns i n(2dc os2c osds i n0020220 2 xxxxxxxxxxxx ??? ?????? ????? ? 4c o s2 202 ???? ?? ?x ． （ 2） ??????? ???? ?? 10101010 ee1deede xxxx xxxx e21?． （ 3） ?????? ?? )1e(edlndln e1e1e1 xxxxxxx1． （ 4） ???????? ?? )12(42ln842ln8d2ln2dln 41414141 xxxxxxxxx 42ln8 ?． （ 5） ??? ?????? 10 22210 2310310 2 )d(16112d131a rc t a n3da rc t a n xxxxxxxxxxx ? ])d(11 1[6112)d(16112 10 2210210 222 ?? ???????? xxxxxx ?? ????? ])1ln(1[6112 102x? )2ln1(6112 ??? ． （ 6） ????? 210 22/10210 d1a rc s i nda rc s i n xxxxxxx ???? 2/102112 x? 12312 ??? ． （ 7） 因為 xxxxx xxx ds i nes i nedc ose 2/02/02/0 ?? ?? ??? xxxxx xxx dc ose1edc osec osee 2/022/02/02 ?? ??????????? ， 有 ?? xxx dcose2 2/0? 1e2?? ，所以 ?? xxx dcose2/0? )1e(21 2 ?? ． （ 8） ??????????? 40404040 d)1(23ln4d)1(2)1l n(d)1l n( xxxxxx xxxxx 對積分 ??40 d)1(2 xxx，令 tx? ，則 2tx? ， ttx d2d ? ，于是 3ln)]1l n(2[)d1 11(d1d)1(2 2022020 240 ???????????? ??? tttttttttxxx ， 所以， ????? 3ln3ln4d)1ln(40 xx3ln3 ． 4． 試選擇簡便的方法計算下列定積分： (1) xxx dsin147?? ???； (2) xx xx d)ee(11 3 ?? ??； (3) xxx d111 2?? ?； （ 4） xxx dc ossin2/52/3 43? ??. 解： （ 1） 因為 xxxf47sin1)( ?? 是奇函數(shù)，所以 ???? xxx dsin1 47??0 ． （ 2） 設(shè) )ee()( 3 xxxxf ??? ， )()ee()( 3 xfxxf xx ?????? ?，于是 )(xf 是奇函數(shù)， 所以 ?? ??? xx xx d)ee(11 30 ． （ 3） 因為21)( xxxf??是偶函數(shù)，所以 ?????? ?? ? 10210 21 1 2 12d12d1 xxxxxxx )12(2 ? ． （ 4） 因為 xxxf 43 co ssin)( ? 是 ?2 為周期的奇函數(shù)，所以 ?? ?? ? xxxxxx dc oss i ndc oss i n 2/ 2/ 432/5 2/3 43 ???? 0 ． 5． 若函數(shù) )(xf 連續(xù)，證明下列定積分等式： （ 1） ?? ?? aa xxafxxf00 d)(d)(； （ 2） ?? ? 2020 d)(c osd)(s in?? xxfxxf . （ 3） ?? ??? 1010 d)1(d)1( xxxxxx mnnm； （ 4） ?? ??? xx xxxx/11 21 2 1 d1 d )0( ?x . 證明： （ 1） 令 tax ?? ，則 ? ??? ??????? a aaa xxafttafttafxxf 0 000 d)(d)()d)((d)( ． （ 2） 令 tx ??2? ，則 ???? ????? 20202220 d)(c osd)(c os)dt)](2[s i n(d)(s i n ???? ? xxfttftfxxf ． （ 3） 令 tx ??1 ，則 ???? ???????? 10100110 d)1(d)1()d()1(d)1( xxxttttttxxx mnmnnmnm ． （ 4） 令 tx 1? ，則 ???? ???????? xxxx xxt xtttxx /11 2/11 21 /1 221 2 1 d1d)/1(1 /d1 d ． 習(xí)題 5— 3(B) 1． 計算下列定積分： （ 1） ??2ln2 2ln 1edxx；