【正文】 （ 2） )0(d220 2 ??? axxaxxa ； （ 3） xxf d)1(20? ?， 其中??????????.01 10e1 1)(xxxxf x， （ 4） ? ??10 2 d)2( xxfx， 其中 ? ???? 20 1d)(0)2(21)2( xxfff ，. 解： （ 1） 令 tx ??1e ，則 )1ln( 2tx ?? ，21 d2d tttx ??，于是 6)43(2a rc t a n2d1 21e d 3131 22ln2 2ln ??? ??????? ?? tttxx. （ 2） 令 taax sin?? ，則 ttax dcosd ? ，于是 xaxaxxxaxx aa d)(d2 20 2220 2 ?? ???? ? ? ?? 22 23 dc os)s in1(?? ttta ????? ? 2212dc os2 320 23 ?? atta ?23a ． 或： 令 tax ?? ，則 tx dd ? ，于是 ???? ???????aaaa ttataxaxaxxxaxx d)(d)(d2 2220 2220 2 ????? ? 20 22 42d2 aattaa a ??23a ． （ 3） 令 tx ??1 ，則 ttfttfttfxxf d)(d)(d)(d)1( 100 11 120 ???? ???? ?? 100 1100 1 )1l n(d)e1 e1(1 de1 d ttttt ttt ????????? ??? ?? ?????????? ?? 2ln)e1l n(2ln12ln)e1l n(1 10 1t )e1ln( ? ． （ 4） ?? ?????? 1010210 2 d)2()2(21d)2( xxfxxfxxxfx ????? 1010 d)2(21)2(212 )2( xxfxxff ???? 10 d)2(2141 xxf． 對積分 ?10 d)2( xxf，令 tx?2 ，則 21d)(21d)2( 2010 ?? ?? ttfxxf，所以 0212141d)2(10 2 ???????? xxfx ． 2． 設(shè) xxI nn dtan40??? ，證明211 ???? nn InI．并計算 ? 40 4 dtan? xx . 證明 ：240 2240 240 t a ndt a nd)1(s e ct a ndt a n ??? ????? ??? nnnnn IxxxxxxxI??? 224/01 111t a n??? ??????nnn InIn x ? . ???????? ?? 32d13131dt a n 400240 4 ?? xIIxx 324?? ． 3． 證明 ?? ??? 2020 ds i nc oss i nds i nc os c os ?? xxx xxxx x ，并由此計算該積分值 . 證明 ： 記 ?1I ? ?20 dsincossin? xxx x ， ?2I ? ?20 dsincoscos? xxx x ， 令 tx ??2? ， 則 ????? ?? 0220 )d(c oss i n c osds i nc os s i n ?? ttt txxx x ? ?20 dsincos cos? xxx x . ?????????? ?? 221ds i nc os c oss i n21)(21ds i nc os s i n 2021120 ??? xxx xxIIIxxx x 4? ． 4． 若函數(shù) )(xf 連續(xù)，設(shè) ? ?? 21 d)ln()( txtfxF，求 )(xF? . 解： （方法 1）令 uxt ??ln ，則 ?? ????? xx uuftxtfxF ln2 ln121 d)(d)ln()(，所以 ???????? xxfxxfxF 1)ln1(1)ln2()( x xfxf )ln1()ln2( ??? ． （方法 2）設(shè) )(xf 的原函數(shù)為 )(xG （連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)），則 212121 )ln()lnd()ln(d)ln()( xtGxtxtftxtfxF ??????? ?? )ln1()ln2( xGxG ???? ， 所以， ?????????? xxGxxGxF 1)ln1(1)ln2()( xfxf )ln1()ln2( ??? ． 5． 若函數(shù) )(xf 連續(xù)，證明下列定積分等式： （ 1） ?? ? ?? ?00 d)(s i n2d)(s i n xxfxxxf； （ 2） ?? ???? 10 d])([()(d)( xxabafabxxfba； （ 3） ?? ??? aa xxafxfxxf020 d)]2()([d)(. 證明 ： （ 1） 令 tx ??? ，則 ??? ?????? ??? ??? 000 d)(s i n)()d)]([s i n()(d)(s i n ttftttftxxxf ???? ???? ???? ?? 0000 d)(s i nd)(s i nd)(s i nd)(s i n xxxfxxftttfttf ， 于是， ?? ? ?? ?00 d)(s i nd)(s i n2 xxfxxxf， 所以， ? ?0 d)(sin xxxf ????0 d)(s in2 xxf． （ 2） 令 tabax )( ??? ，則 ??? ???????? 1010 d])([()(d)]()([(d)( xxabafabtabtabafxxfba ． （ 3） ? ?? ?? a aaa xxfxxfxxf0220 d)(d)(d)(， 在右式第二個積分中，令 tax ??2 ，則 ???? ??????? aaaaa xxafttafttafxxf 0002 d)2(d)2()d)(2(d)( ，所以 ? ?? ?? ????? a aa aaa xxafxxfxxfxxfxxf 0 00 220 d)2(d)(d)(d)(d)( ? ??? a xxafxf0 d)]2()([ ． 6． 設(shè)函數(shù) )(xf 在區(qū)間 ],[ ??? 上連續(xù)，且滿足 ??????? xxxfxxxf ds i n)(c os1)( 2，求)(xf . 解： 記 Ixxxf ??? ?? dsin)(，則 Ixxxf ???2c os1)(， 此等式兩邊同時乘 xsin ，然后再區(qū)間 ],[ ??? 上求積分，有 ?????? ????????? xxIxxxxxxxf ds i ndc os1 s i nds i n)( 2，即 ??? ???????? ?? ????? 0 222 dc os1 s i n2dc os1 s i n0dc os1 s i n xxxxxxxxIxxxxI ?? ??????? ? ?? ???0 020 2 )a rc t a n(c osc os1 osddc os1 s i n xxxcxxx 2)44( 2???? ?????? ， 所以， 2c os1)( 22 ???? xxxf． 習(xí)題 5— 4(A) 1． 下列敘述是否正確？并按照你的判斷說 明理由： (1)無 論是無窮（限）積分還是無界函數(shù)的積分（瑕積分），它們的收斂 性 都是利用“定積分”與“極限”這兩個基本概念作“已知”來定義的； （ 2）積分 ????? xxf d)(收斂， 是指 ???0 d)( xxf 與 ? ??0 d)( xxf都收斂， 若 ????? xxf d)(發(fā)散，則 ???0 d)( xxf 與 ? ??0 d)( xxf都發(fā)散 ； (3) 無論是無窮（限）積分還是無界函數(shù)的積分（瑕積分 ），在它們收斂時，要 計算 其 值 ，一般可以 利用 推廣的 牛頓 — 萊布尼茲公式， 而不必再利用定義轉(zhuǎn)化為求定積分的極限 . 答： （ 1）正確． 參 見定義 及定義 . （ 2）前者正確． 參見教材 260P 第 8 至 12 行， （注意積分限中的“ 0”可以是某一個實數(shù) c ） ；后者不正確． 若 ????? xxf d)(發(fā)散， 則 兩個積分 ???0 d)( xxf 與 ? ??0 d)( xxf中可能只有一個發(fā)散， 如 xxde?????； 也可以兩個都發(fā)散 如 xxx d1 2????? ?． （ 3） 正確． 參見 教材 260P 第 13 至 17 行 及 262P 第 1 至 7 行 ． 2． 先判斷下列 廣反常 積分是否收斂， 然后 對于收斂的積分再計算其值： （ 1） ???1 3dxx； （ 2） ? ???0 1dxx； （ 3） xaxde0??? ? （ 0?a ）； （ 4） ??? ?0 21 dxxx ； （ 5） ? ???? ?? 32d2 xx x； （ 6） ???1 21dex xx ； （ 7） ???0 de xx x ； （ 8） ?? ?011dxx ； （ 9） ??10 21dxxx； （ 10） ??10 1d xx； （ 11） ??20 2)1( dxx； （ 12） ??e1 lnd xx x. 解： （ 1） 21)2 121(l i m]2 1[l i mdl i md2121 31 3 ?????? ??????????? ?? bxx xx x bbbbb， 所以，此無窮積分 收斂 ，且積分值為 21 ． （ 2） ??????????? ??????????? ?? )11(l i m2]12[l i m1dl i m1d 0 00 bxx xx x bb bbb， 所以， 此無窮積分 發(fā)散 ． （ 3） aaaxx abbbaxbb axbax 1)e1(l i m1]e[l i m1del i mde 000 ?????? ??????????? ? ?? ， 所以，此無窮積分收斂 ，且積分值為 a1 ． （ 4） ??????????? ??????????? ?? )1l n(l i m21)]1[l n(l i m211 dl i m1 d 2020 20 2 axxxxxxx aaaaa， 所以， 此無窮積分 發(fā)散 ． （ 5） 因為222 1a rc t a n212)1( )1d(32d 11 21 2 ?????? ???? ? ???????? ?? xx xxx x， 222 1a rc t a n2132d 11 2 ?????? ??????? xxx x， 以上兩個積分都收斂，所以 ? ???? ?? 32d2 xx x收斂，且 ? ???? ?? 32d2 xx x ???? ? ???1 2 32d xx x ? ??? ??1 2 32d xx x 22222 ??? ??? ． （ 6） 1ee)1d(ede11111 21?????? ?????? ?? xxx xx x ， 所以，此無窮積分收斂，且積分值為 1e? ． （ 7） 11e 1l i meel i mdeede 0000 ????????????????????????? ?? xxxxxxxx xxxxx， 所以，此無窮積分收斂，且積分值為 1? ． （ 8） 因為 ?????? xx 11lim1，所以下限 1??x 是瑕點． ??????????? ??? ??????? ?? )1l n(l i m)]1[l n(l i m1 dl i m1 d 101010 1 axxxxx aaaaa ， 所以，此瑕積分 發(fā)散 ． （ 9） 因 為 ????? 21 1lim xxx，所以上限 1?x 是瑕點． 11l i m1]1[l i m1 dl i m1 d 210210 2110 2 ?????????? ??? ??? ?? bxxxxxxx bbbbb ， 所以，此瑕積分 收斂 ，且積分值為 1． （ 10） 因為 ????? xx 11lim1，所以上限 1?x 是瑕點． 21l i m22]1[l i m21dl i m1d 1010110 ?????????? ??? ??? ?? bxxxxx bbbbb ， 所以，此瑕積分收斂，且積分值為 2 ．