【正文】 （ 11） 因 為 ???? 21 )1( 1lim xx， 所以 1?x 是瑕點(diǎn)． 此積分 分為 ??10 2)1( dxx與 ??21 2)1( dxx討論， 因?yàn)????????? ???? ???? 11 1l i m1 1)1( )d(1)1( d 11010 210 2 xxx xxx x， 所以，瑕積分 ??10 2)1( dxx發(fā)散，從而瑕積分 ??20 2)1( dxx也 發(fā)散． （ 12） 因?yàn)?????? xxx ln1lim1，所以下限 1?x 是瑕點(diǎn)． 2ln2l i m2ln2lndl nlnd 1e1e1e1 ?????? ???? xxxxxx x x， 所以，此瑕積分收斂，且積分值為 2 ． 習(xí)題 5— 4(B) 1． 有一個(gè)長(zhǎng)為 l 的細(xì)桿 AB 均勻帶電，總電量為 q ，若在桿的延長(zhǎng)線上距點(diǎn) A 為 0x 處有一個(gè)單位正電荷，現(xiàn)將單位正電荷從 0x 處沿 桿的延長(zhǎng)線方向移動(dòng)到無(wú)窮遠(yuǎn)處，試求克服電場(chǎng)引力所做的功 W . 解： 如圖取坐標(biāo)， A 點(diǎn)為原點(diǎn)， 設(shè)單位正電荷位于 x 處時(shí)，受細(xì)桿產(chǎn)生的電場(chǎng)力為 )(xF ，則 )11(1d)( /)( 00 2 xlxlkqtxlkqttx lkqxF ll ??????? ? （其中 k 是引力系數(shù)） ． lx xlkqx lxlkqxxlxlkqxxFW xxx ???????? ?????? ?? 0 0lnlnd)11(d)( 000． 2． 下列反常 積分是否收斂？ （ 1） ? ??1 2 darctan xx x； （ 2） xx xaa d220? ?（ 0?a ） . 解： （ 1） ??? ???????????????? 1 21 211 2 d)11(4d)1( 1a rc t a nda rc t a n xxxxxxxx xxx x ? 2ln21421ln2141ln214122 ??????? ?? ??? xx ． （ 2） 因?yàn)?????? xxax2lim0，所以下限 0?x 是瑕點(diǎn)． （ 方法 1） 令 tx xa ??2，則212tax ??，于是 ?atat tatattatxx xaa ????????? ???????? ??? 00 2020 220 a rc t a n21 d21 21 2dd2． （ 方法 2） 令 tax 2sin2? ，則 tttax dco ssin4d ? ，于是 ???? aattatttattxx xaa ??????? ??? 44dc os4dc oss i n4s i nc osd2 20 22020． （ 方法 3） 令 taax sin?? ，則 ttax dcosd ? ，于是 xx axaxx xaxxx xa aaa d)(d2d2 20 2220 220 ??? ?????? ??????? atattattta ?????? ??? ??? 2222222 dd)s i n1(ds i n1 c os． 3． 建立 xxI xnn de0? ?? ??的遞推公式，并由此計(jì)算 nI . 解：110 100 el i mdeede ??????? ??????? ? ???????? ?? nnxnxxnxnxnn nInIxxxnxxxI . 321 )2)(1()1( ??? ?????? nnnn InnnInnnII !]e[!de!! 000 nnxnIn xx ?????? ????? ??? ． 4． 已知反常 積分 ,2dsin0 ????? xx x 求反常 積分 xx xdsin0 22? ?? . 解： 由于 1sinlim220 ??? xxx，所以 0?x 不 是瑕點(diǎn) . )d(22 2s i n0dc oss i n2s i nds i n 00020 22 xx xxx xxx xxx x ??? ???????? ????? ， 令 tx?2 ，則 2ds i n)d(22 2s i nds i n000 22 ???? ??? ?????? tt txx xxx x ． 5． 當(dāng) k 為何值時(shí)，反常 積分 ???2 )(lnd kxx x 收斂？ 當(dāng) k 為何值時(shí)，這個(gè)反常 積分發(fā)散？又問(wèn)當(dāng) k 為何值時(shí)，這個(gè)反常 積分取得最小值？ 解： 當(dāng) 1?k 時(shí)， ????? ?????? ??222 lnlnlnd)(l nd xxx xxx x k，反常 積分發(fā)散； 當(dāng) 1?k 時(shí)， ????? ?????? 212 ))(l n1( 1)(l nd kk xkxx x，反常 積分發(fā)散； 當(dāng) 1?k 時(shí)，1212 )2)(l n1( 1))(l n1( 1)(l nd ?????? ????? kkk kxkxx x，反常 積分收斂 ． 所以， 當(dāng) 1?k 時(shí)， 該 反常 積分 收斂于1)2)(ln1( 1 ?? kk， 當(dāng) 1?k 時(shí)， 該反常 積分 發(fā)散 ． 在 1?k 時(shí)，記 1)2)(ln1()( ??? kkkf ，則 ]2lnln)1(1[)2( l n)( 1 ???? ? kkf k ，由0)( ??kf ，得唯一駐點(diǎn) 2lnln 11??k ，當(dāng) 2lnln 110 ??? k 時(shí)， 0)( ??kf ，當(dāng)2lnln 11??k 時(shí)， 0)( ??kf ，所以 2lnln 11??k 是函數(shù) )(kf 的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，從而 2lnln 11??k 是1)2)(ln1( 1 ?? kk的最小值點(diǎn)，所以當(dāng) 2lnln 11??k 反常 積分 ???2 )(lnd kxx x 取最小值 ． 習(xí)題 5— 5(A) 1． 下面的敘述是否正確？并說(shuō)明理由： 利用微元法時(shí)首先 要 確定 所 求的量 Q 可以看作 是 定義在 哪個(gè) 區(qū)間上的非均勻變化的連續(xù)量， 在該區(qū)間 上 任取 一個(gè)微 小區(qū)間 ]d[ xxx ?， ，在 ]d[ xxx ?， 上 “ 以 勻（ 常 ） 代變 ” ，即：將區(qū)間 ]d[ xxx ?， 上對(duì)應(yīng)的量 Q 的局部量 Q? 看作從 x 起是連續(xù)均勻變化的，從而用 初等方法求出 Q? 的近似值，即 Q 的微元 xxfQ d)(d ? . 答： 正確． 這就是建立“微元”的方法，核心是在區(qū)間 ]d[ xxx ?， 上“ 以勻（常）代變 ”，但是 要注意 微元 xxfQ d)(d ? 必須滿足：（ 1）函數(shù) )(xf 連續(xù)，（ 2） )d(d xo ??? （ 在實(shí)際應(yīng)用中， 這一點(diǎn) 往往是 憑經(jīng)驗(yàn)） ． 2． 求由下列各平面圖形的面積 A： （ 1） 由拋物線 2xy? 與直線 xy? 及 2?x 圍成； （ 2） 由曲線 xy e? ， xy ??e 與直線 e?y 圍成； （ 3） 由拋物線 22 xy ?? ， xy? 與直線 2?y 圍成； （ 4） 由雙曲線 1?xy 及三條直線 22/1 ??? xxxy ， 圍成； （ 5） 橢圓周 4 c os , 9 si nx t y t??所圍的內(nèi)部； （ 6） 星形線 taytax 33 s inc os ?? ， 所圍的內(nèi)部； （ 7） 位于圓周 2 2 2x y a??外部及圓周 222x y ax?? 內(nèi)部； （ 8） 由阿基米德螺線 3??? 上對(duì)應(yīng)于從 0?? 到 ?? 2? 一段與極軸圍成 . 解： （ 1） 由??? ?? ，2xy xy 得 1?x （ 0?x 舍去），于是 ??????? ? 2337]23[d)( 212321 2 xxxxxA 65 . （ 2） 由??? ?? ， ，eeyy x 得 1?x ，又由圖形的對(duì)稱性，于是 ???????? ? )1ee(2)ee(2d)ee(2 1010 xx xA 2 . （ 3） 按 ?Y 型區(qū)域計(jì)算，由?????? ， 22 xy xy 得 1?y ，于是 ????????? ? 3237])2(323[d)2( 2123321 2 yyyyyA 35 . （ 4） 由??? ??，xyxy 1 得 1?x ，于是 89]ln2[]2[l nd)1(d)1( 2121 2/122111/ 2 ????????? ?? xxxxxxxxxxA . （ 5） 由對(duì)稱性 ????????? ??? 221144ds i n144ds i n144d44 2/0 20 2/ 2401 ??? ttttxyAA ?36 . （ 6） 由對(duì)稱性 ??? ?????? 2/0 6420 2/ 24201 )ds i ns i n(12dc oss i n12d44 ?? tttatttaxyAA a ??? 22 83)221436522143(12 aa ???????? . （ 7） 兩圓的極坐標(biāo)方程分別為 ??? co s2aa ?? 、 ，由??? ?? ， ??? cos2aa 得 3?? ?? ， 由對(duì)稱性， 3/d)2c os1(2d)c os4(2 23/023/0 2221 ????? ?? aaaaAA ?????? ?? ??? 3/022 2s in3/ ??? aa 2)233( a??. （ 8） 3203220 1223d921 ???? ?? ??? ?A． 3． 求下列各平面圖形繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積： （ 1）由 xy? ， 0?y 與 2?x 圍成，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)； （ 2）由 2xxy ?? ，及 x 軸圍成，繞 x 軸旋轉(zhuǎn)； （ 3）由 22 xy ?? ， 2xy? 及 y 軸圍成，分別繞 x 軸、 y 軸旋轉(zhuǎn)； （ 4）由擺線 )c o s1(),s in( tayttax ???? 的第一拱與 x 軸圍成，繞 x 軸旋轉(zhuǎn) . 解： （ 1） ??? ? 202220 2d)( xxxV x ?? ?2. （ 2） xxxxxxxVx d)2(d)( 410 32210 2 ????? ?? ?? ???? )512131(? 30? . （ 3） 由??? ??? ，222 xy xy 得 1?x ， 1?y ，于是 38)311(4d)44(d])2[( 10 2410 22 ???? ???????? ?? xxxxxV x ； ???? ????????? ?? )2325()2221(]d)2(d[ 2122110 yyyyyV y . （ 4） ?? ??? ?? ?? 20 3320 2 d)c os1(d ttaxyVax ? ???? ?? 20 323 d)c osc os3c os31( tttta 323 5)02211202( aa ???? ??????? ． 4． 一個(gè)垂直于 x 軸的正三角形沿 x 軸移動(dòng)，而在移動(dòng)過(guò)程中底邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別在曲線axy 4? 、 axy 2? （ 0?a ）上，求由 0?x 移動(dòng)到 ax? 它所生成的立體體積 . 解： 在區(qū)間 ]0[ a， 上任取一點(diǎn) x ，該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 正三角面積為 axaxaxxA 3223221)( ???? ，所以 ??? ?? aa xxaxxAV00 d3d)( 323a ． 5． 由半徑為 R 球體上截取一個(gè)高為 H （ RH? ）球缺，求該球缺的體積 . 解： 如圖取坐標(biāo)， 球缺的體積可以看作陰影部分圖形繞 y 軸 旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積，于是 yyRyxV R HRR HR )d(d 222 ?? ?? ??? ?? )3()3( 232 HRHyHR R HR ???? ? ?? ． 6． 計(jì)算下列平面曲線的弧長(zhǎng) s ： （ 1） )3(31 xxy ?? 上，從 1?x 到 3?x 的一段； （ 2）懸鏈線 xy ch? 上從 1??x 到 1?x 的一段； （ 3）星形線 taytax 33 s in,c os ?? 的全長(zhǎng)； （ 4）心臟線 ?? cos1?? 的全長(zhǎng) . 解： （ 1）22 1 xxy ???， )1(21214211 2 xxxxy ????????，所以 3432]3[)d1(21d1 313131 2 ????????? ?? xxxxxxxys． （ 2） xy sh?? ， xxy chsh11 22 ????? ，所以 ?????? ?? ?? 101 11 1 2 sh2dchd1 xxxxys 1sh 2 ． （ 3） ttatx sinco s3)( 2??? ， ttaty co ssin3)( 2?? ， ttttatytx 242422 c o ss i ns i nc o s3)()( ????? ， tta cossin3? ， 由對(duì)稱