【正文】 0 ( )d 0x f t t ?? ,且當(dāng) 0 tx?? 時 , ( ) ( ) 0x t f t??,得 0 ( ) ( )d 0x x t f t t??? ,因此， ? ? 0 2 0( ) ( ) ( )d 0( )dxxf x x t f t tf t t? ???， 即 ( ) 0Fx? ? ， 所以 ()Fx在 (0, )?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 15. 證明積分中值定理：若函數(shù) ()fx在閉區(qū)間 [, ]ab 上連續(xù)，則在開區(qū)間 (, )ab 內(nèi)至少存在一點 ? ，使 ( )d ( )( )ba f x x f b a???? . 證：因 ()fx連續(xù)，故它的原函數(shù)存在，設(shè)為 ()Fx，根據(jù)牛頓 萊布尼茨公式，有 ( )d ( ) ( )ba f x x F b F a??? , 顯然，函數(shù) ()Fx在區(qū)間 [, ]ab 滿足微分中值定理的條件，按照微分中值定理，在開區(qū)間 (, )ab內(nèi)至少存在一點 ? ，使得 ( ) ( ) ( )( )F b F a f b a?? ? ? 故 ( )d ( )( )ba f x x f b a???? 習(xí) 題 53 1. 下面的計算是否正確，請對所給積分 寫出正確結(jié)果： （ 1） π 32π2 cos cos dx x x? ??= π 122π2 (cos ) sin dx x x?? = π 122π2 (cos ) d( cos )xx???= 3 π22π22 cos 03 x?? ? . （ 2） 11221 d 1 ( si n ) d ( si n )x x t t??? ? ???= 11cos cos dt t t? ?? = 1 21(cos ) dtt??=2 1 20(cos ) dtt?=2 1 100 1 c o s 2 1 1d ( s in 2 ) 1 s in 22 2 2t t t t? ? ? ? ??. 答：（ 1）不正確，應(yīng)該為： 1π π 2322π02 c o s c o s d 2 ( c o s ) s i n dx x x x x x? ????=π32π 1 222004 c os 42 ( c os ) d( c os )33xxx? ? ? ?? （ 2）不正確，應(yīng)該為 π π1 2 2 222π π1 1 d 1 ( s in ) d ( s in ) ( c o s ) dx x t t t t? ??? ? ? ?? ? ? =2 ππ π 222200 01 c o s 2 1( c o s ) d 2 d ( s in 2 )22tt t t t t?? ? ? ??? π2 . 2. 計算下列定積分 : 8 (1) 4 20 16 dxx?? ； (2) 120 1 d4 xx?? ； （ 3） 320 sin cosx xdx?? ； （ 4） 2e1 ln dx xx?； （ 5） ln20 1dxex??； （ 6） 11 d54xxx? ??； （ 7） 41 d 1xx??； （ 8） 320 sin dxx?? ； （ 9） 21 d1 lne xxx?? ； (10) 022 d22xxx? ???； (11) 0 1 cos 2 dxx? ?? ；（ 12） 1 220 1dx x x??. 解：（ 1）令 x =4sint ,則 216 4 c os , d 4 c os dx t x t t? ? ?,當(dāng) x = 0 時， t = 0；當(dāng) x = 4 時， π2t?，于是 4 20 16 dxx?? = π π22 20224 c o s 4 c o s d 8 ( 1 c o s 2 ) d ( 8 4 s in 2 ) 4 πt t t t t t t? ? ? ? ? ? ??? （ 2） 120 1 d4 xx??=10 211d( )221 ( )2xx??= 101 1 1a rc ta n a rc ta n2 2 2 2x ? . (3) 320 sin cosx xdx?? 23420 011c o s d c o s c o s44x x x ??? ? ? ? ?? . (4) 2ee211ln d ln d ( ln )x x x xx ??? e3 3 311 1 1( l n ) [ ( l n e) ( l n 1 ) ]3 3 3x? ? ? ?. (5)令 1xet?? ， ? ?2ln 1xt??，22dd1txtt? ?， 0x? 時 0t? ； ln2x? 時， 1t? . 于是 2l n 2 1 1220 0 0211 d d 2 1 d11x te x t ttt??? ? ? ???????? ? ?? ? 102 a r c ta n 2 1 4xtt ??? ? ? ?????. (6) 令 54xu??，則 2544ux??， dd2uxu??.當(dāng) 1x?? 時， 3u? ，當(dāng) 1x? 時， 1u? . 原式 ? ?1 23 115d86uu? ? ??. (7) 令 xt? ， d 2dx t t? .當(dāng) 1x? 時， 1t? ；當(dāng) 4x? 時， 2t? . 原式 2 2 21 1 12 d d2d11t t tttt??? ? ???????? ? ? ? ?221 1 22 ln 1 2 2 ln 3tt??? ? ? ? ??? (8) 因為 320 sin dxx?? = 222 2 20 0 0[ 1 c o s ] s in d s in d c o s s in dx x x x x x x x? ? ?? ? ?? ? ? 2 200 sin d c o s 1x x x? ?? ? ?? 22 2 32200011c o s s in d c o s d c o s c o s33x x x x x x ??? ??? ? ? ? ??????? 從而 320 sin dxx?? =23 . 9 (9) 原式 ? ?221111d l n d 1 l n1 l n 1 l neexxxx? ? ????? 212 1 ln 2 3 2ex? ? ? ?. (10) 原式? ? ? ?0 02 22 d 111x a rc tg xx ??? ? ???? ? ?11 4 4 2a rc tg a rc tg ? ? ?? ? ? ? ?. (11) 原式 2002 c o s d 2 c o s dx x x x?????? ? ?20 2o s d 2 c o s dx x x x? ??? ? ???. 20 22 s in s in 2 2xx? ????? ? ?????. （ 12）設(shè) sin , (02x t t ?? ? ?， d cosdx t t? ， 于是 1 220 1dx x x?? = 2 2 222001s in c o s d s in 2 d4t t t t t????? 2 220001 1 c o s 4 t 1 1d ( s in 4 )4 2 8 4 1 6t t t? ?? ??? ? ? ?? . 3. 計算下列定積分： （ 1） 4 50 (5 1)e dxxx??； （ 2） e10 ln( 1)dxx? ??； （ 3） 1 π0 e cosπ dx xx?； （ 4） 1 330 ( 3 e ) dxxx x x???； (5)3 24 dsinx xx??? ； (6) 41 ln dx xx? ； (7) 10 arctan dx x x?； (8) 2 20 edxxx? ； （ 9） e1e ln dxx?； （ 10） 20 sin dx x x?? . 解：（ 1） 4 50 (5 1)e dxxx??= 540 e(5 1)d 5xx?? = 155100ee( 5 1 ) d ( 5 1 )xxxx? ? ?? = 155 506e 1 e ex? ??. (2) e 1 e 1e1000l n ( 1 ) d l n ( 1 ) d1xx x x x xx?? ?? ? ? ? ??? = e10 1e 1 (1 )d1 xx?? ? ? ?? = e10e 1 [ ln( 1)]xx ?? ? ? ?＝ lne =1 . (3) 1 π0 e cosπ dx xx?= 1 π0 sinπedπx x? 1π 10 01 s in πe s in π deπ πxxxx ???? 1 π00 e sin π dx xx??? = 1 π0 cos πe d( )πx x??? 1π 10 01 c o s πe c o s π deπ πxxxx ???? π1 (e 1)π?? ? ? 1 π0 e cosπ dx xx? 移項合并得 1 π0 e cosπ dx xx? π1 (e 1)2π?? ?. （ 4） 1 330 ( 3 e ) dxxx x x???41 30 31d ( e )4 ln 3 3x xxx? ? ?? 144 133003 1 3 1( e ) ( e ) d4 l n 3 3 4 l n 3 3xxxxxx? ? ? ? ? ?? 153 3 322 01 3 1 3 1 3 l n 3 2 2 1 4e ( e ) e4 l n 3 3 2 0 l n 3 9 l n 3 9 4 5x xx ?? ? ? ? ? ? ? ? ?. 10 （ 5）3 24 dsinx xx??? 34 dx ctgx????? 3344 dxctgx ctgx x??? ? ? ? 3413 ln si n49 x ?????? ? ????? 1 3 3 2ln ln4 9 2 2???? ? ? ????? 1 3 1 3ln4 9 2 2???? ? ????? . （ 6） 41 ln dx xx?412 ln dxx? ? 4 4112 ln d lnx x x x????????? 41 12 4 ln 2 dxxx????????? 14 218 ln 2 2 dxx???? 8ln2 4??. （ 7） 10 arctan dx x x? 1 201 arctan d2 xx? ?211220 01 a r c ta n d21 xx x xx?????????? 11 2022 1 dd8 2 2 1 xx x?? ? ? ??? 110011a rc ta n8 2 2xx?? ? ? 142???. （ 8） 22222 2 2 200 00e d 2 e 2 e d 4 e 4 e 4 e 4 e 4 4x x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ??? . （ 9） e 1 e11 1eeln d ln d ln dx x x x x x? ? ?? ? ?. 而 1111eeeln d ln dxx x x x xx???? 1 1 211e e e? ? ? ? ?, eee111l n d l n d e e 1 1x x x x x? ? ? ? ? ???, 故 e 1 e11 1ee 22l n d l n d l n d 1 1 2eex x x x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?, （ 10） 22 220000s i n d c o s c o s d s i n 1x x x x x x x x?? ??? ? ? ? ???. 4. 利用函數(shù)的奇偶性計算下列積分： （ 1） 1 221 ( 1 ) dx x x? ???。 （ 4） ( c o s 5 s in 2 )daa x x x x? ???. 解： (1) 1 221 ( 1 ) dx x x? ???= 11 21 d 2 1 d 2 0 2x x x x??? ? ? ? ???. (2) 原式 ? ? 24222002 4 c o s d 2 2 c o s dx x x x?????? ? ? ? ?2 222022 1 c o s 2 d 2 1 2 c o s 2 c o s 2 dx x x x x??? ? ? ? ??? 11 ? ?2220 002 2 c o s 2 d 1 c o s 4 dx x x x x???? ? ? ??? 220 012 s in 2 c o