【正文】 比較 ( 0 ) ( 1 )3 2 7( 1 )1 1 5 , ( ) , 78 1 0 2 4f f f f? ? ? ? ?的大小，知 m in m ax27 , 1 11024ff? ? ?， 由定積分的估值公式，得 ? ?1 43m in m a x1[ 1 ( 1 ) ] ( 4 2 5 ) d 1 ( 1 )f x x x f?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??, 即 1 43127 ( 4 2 5 )d 2 2512 x x x?? ? ? ? ??. 6. 利用定積分的性質(zhì)說明 1 0 dxex?與 2 1 0 dxex?，哪個積分值較大？ 解：在 ? ?0,1 區(qū)間內(nèi)： 22 xxx x e e? ? ? ,由比較定理： 1 0 dxex? ? 2 1 0 dxex? 7. 證明： 211 22 122 d 2xe e x? ????? . 3 證明：考慮 11,22???????上的函數(shù) 2xye?? ，則 22 xy xe???? ，令 0y?? 得 0x? ， 當(dāng) 1 ,02x ????????時， 0y?? ， 當(dāng) 10,2x ???????時， 0y?? . ∴ 2xye?? 在 0x? 處取最大值 1y? ，且 2xye?? 在 12x??處取最小值 12e? . 故 21 1 112 2 221 1 12 2 2d d 1 dxe x e x x? ?? ? ???? ? ?，即 211 22 122 d 2xe e x? ????. 8. 求函數(shù) 2( ) 1f x x??在閉區(qū)間 [1， 1]上的平均值 . 解：平均值 21 2111 π 1 π1d1 ( 1 ) 2 2 4xx? ? ?? ? ? ? ??? ? 9. 設(shè) ()fx在 [0， 1]上連續(xù)且單調(diào)遞減，試證對任何 (0,1)a? 有 100( )d ( )da f x x a f x x???. 證明： 1 0 0( )d ( )da f x x a f x x???= 0 0( )d ( )daaf x x a f x x????1 ( daa f x x? 10(1 ) ( ) d ( ) da aa f x x a f x x? ? ???= (1 ) ( ) (1 ) ( )a af a af??? ? ? (1 ) [ ( ) ( )]a a f f??? ? ? 其中 0 , 1aa??? ? ? ?, 又 ()fx單調(diào)減，則 ( ) ( )ff??? ，故原式得證 . 習(xí) 題 52 1．設(shè)0( ) sin dxf x t t??，求 2()4f ??. 解： ( ) sinf x x? ? ， 2( ) sin 142f ??? ?? 2．設(shè) 30( ) cos dxf x x t t??，求 ()fx?? . 3. 計(jì)算下列各導(dǎo)數(shù) . （ 1） 2 220d dd x tt e tx?； （ 2） 22d1dd 1xx tx t??； （ 3） 220d ( ) sin dd x t x t tx ?? 解 （ 1） 2 240d dd x txt e t x ex ?? （ 2） 224d 1 2 1dd 2 (1 )11xxxtx xxtx?? ???? （ 3） 2 2 2 20 0 0d d d( ) s in d s in d s in dd d dx x xt x t t t t t x t tx x x? ? ?? ? ? 2200si n ( 2 si n d si n ) 2 si n dxxx x x t t x x x t t? ? ? ? ??? 4 4. 計(jì)算下列各定積分 ： （ 1） 1 1000 dxx?， （ 2） 41 dxx?， （ 3） 10edx x?, （ 4） 10100dx x? , （ 5） π20 sin dxx? , （ 6） 2120 d1x xx ??, （ 7） π20 sin(2 π)dxx??, （ 8） e1 lnd2xxx?, （ 9） 120 d100xx??, （ 10） π420 tan dcos x xx? （ 11） 10 2d4xx??, （ 12） 2π0 |sin |dxx?, (13) 10 max{ ,1 }dx x x??. 解：（ 1） 1 1000 dxx?= 110101101 101x ? . （ 2） 41 dxx? = 43212 1433x ? . （ 3） 1100e d e e 1xxx? ? ? ?. （ 4） 10100dx x? = 10100 99ln100 ln100x ? . （ 5） π π2 200sin d c o s 1x x x? ? ? ?. （ 6） ? ?21 12 00 d a r c ta n 114x x x xx ?? ? ? ???. （ 7） π20 sin(2 π)dxx??= π201 si n ( 2 π )d ( 2 π )2 xx???= π201 cos(2 π)2 x??= 1? . (8) e1 ln d2xxx?= e11 ln d(ln )2 xx?= e2111ln44x ? . (9) 120 d100xx??=10 21d1001 ( )10xx??= 101 arctan10 10x = 11arctan10 10 . （ 10） π420 tan dcos x xx?= π40 tan d( tan )xx?= π2 40(tan )2x =12 . （ 11） 110 2 0d a r c s in 264 xxx ??????????? . （ 12） 2π0 |sin |dxx?= π0 sin dxx?+ 2ππ ( sin )dxx??= π 2 ππ0( cos ) cosxx??=2+2=4. (13) 10 max{ ,1 }dx x x??= 1 12 1024(1 )d d 5x x x x? ? ???. 5. 求下列極限 （ 1） 11sinπ dlim1 cosπxxttx? ??, （ 2） ? ?202arctan dlim1xxttx??? ?? . 5 解：（ 1）此極限是 “ 00”型未定型，由洛必達(dá)法則，得 11sinπ dlim1 cosπxxttx? ??= 11( sin π d)lim(1 cosπ )xxttx?????=11s in π 11lim lim ( )π s in π π πxxx x??? ? ??? （ 2） ? ? ? ?? ?2 2012 22a r c ta n d a r c ta nl im l im11 122xxxtt xx xx??? ? ? ? ? ? ?? ?? 型 ? ?22 1 a rc ta nlimxxxx? ???? ? ?2211 a rc ta nlimxxxxx? ???? ? ? 2221lim 1 a r c ta n 4x xx ?? ??? ? ?. 6. 求函數(shù) 20( ) ( 1) dx tf x t t e t????極 值 點(diǎn) . 解： 當(dāng) 令 2( ) (1 ) 0xf x x x e?? ? ? ?，得駐點(diǎn) 0x? ， 和 1x? ， 在 ( ,0)?? ， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 ( ,0)?? 單調(diào)遞減； 在 (0,1) ， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 (0,1) 單 調(diào)遞減； 在 (1, )?? ， ( ) 0fx? ? ， ()fx在 (1, )?? 單調(diào)遞減； 所以 0x? 為極小值點(diǎn)， 1x? 為極大值點(diǎn) . 39。 1 0. 1yx? ? ? 為極小值點(diǎn)， 7. 設(shè) ? ?21, 11 ,12xxfxxx?????? ??? ，求 ? ?20 df x x? . 解： ? ? ? ?2 1 2 20 0 1 1d 1 d d2f x x x x x x? ? ?? ? ?1 223101 1 82 6 3x x x??? ? ? ????? . 8. 設(shè) ? ? c o s , 0 20, 2xxfxx?? ?? ????? ?? ????，求 ? ?0( ) dxx f t t? ? ?，并討論 ()x? ()fx在 [0, ]? 上的連續(xù)性 . 解：當(dāng) 02x ???時， ? ?00( ) d c o s d s inxxx f t t t t x? ? ? ??? 當(dāng)2 x? ???時，2002( ) ( ) d c o s d d 1 ( )2xxx f t t t t c t c x? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 故 sin , 0 2()1 ( ) ,22xxxc x x?? ???? ????? ?? ? ? ? ???, 顯然， ()x? 在 [0, )2?和 ( , ]2??上連續(xù)，在2x ??處 22( ) ( )lim ( ) lim sin 1xxxx?????????，22( ) ( )lim ( ) lim [1 ( ) ] 12xxx c x????????? ? ? ?，又 ( ) 12?? ?，故 ()x? 在2x ??也 6 連續(xù)，從而 ()x? 在 [0, ]? 上連續(xù) . 9. 設(shè) ??fx是連續(xù)函數(shù)，且 ? ? ? ?102df x x f t t?? ?，求 ??fx. 解：令 ? ?10 df t t A??，則 ? ? 2f x x A?? ，從而 ? ? ? ?1100 1d 2 d 22f x x x A x A? ? ? ???， 即 1 22AA??， 12A?? ∴ ? ? 1f x x?? . 10． ? ?221lim 2n n n nn?? ? ? ?. 解：原式 1 2 1limnnn n n n????? ? ? ?????10112lim d 3nn ii xxnn?? ?? ? ? ?? ?. 11．求21limkn nkn k nen ne?? ? ??. 解：原式211lim1kn nkn k ne ne?? ?? ??1 12 00 d14x xxe x a r c tg e a r c tg ee ?? ? ? ???. 12．求由00d cos d 0yxte t t t????所決定的隱函數(shù) y 對 x 的導(dǎo)數(shù) ddyx. 解：將兩邊對 x 求導(dǎo)得 ye ddyx cos 0x?? ∴ ddyx cosyxe??. 13. 設(shè) ()fx為連續(xù)可微函數(shù)，試求 d ( ) 39。( ) 39。( )d d dx x xa a ax t f t d t x f t d t tf t d tx x x? ? ?? ? ? 39。( ) 39。( ) ( ) ( )xxaaf t d t x f x x f x f t d t f x f a? ? ? ? ? ??? 故 0d ( ) s in ( c o s ) c o s 0 1 c o sd x x t td t x xx ? ? ? ? ? ? ??. 14. 設(shè) ()fx在 [0, )?? 內(nèi)連續(xù)且 ( ) 0fx? ， 證明函數(shù) 0 0( )d()( )dxxtf t tFxf t t??? 在 (0, )?? 內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù) . 證 因?yàn)? 0d ( )dd xtf t tx?= ()xfx ， 0d ( )dd x f t tx?= ()fx,所以 ? ? ? ? 0 0 022 0 0( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d( ) .( ) d ( ) dx x xxxx f x f t t f x tf t t f x x t f t tFxf t t f t t??? ??? ? ??? 7 因?yàn)?? ?2