【正文】 等于上邊界與水面相齊時(shí)所受壓力的兩倍 . 解：設(shè)所求高度為 h ，建立如圖坐標(biāo)系，任取小區(qū)間 [ , d ]xx x? ，小區(qū)間上壓力元素為 d 6 dF gx x?? 于是，由題意得： 6602 6 d 6 dhhgx x gx x??????， 得 226602[ ] [ ]hhxx?? ， 從而3h? . 習(xí)題 56 略 本章 復(fù)習(xí)題 A O x y x xx d? ),( RH 19 （ 1） 2220 2 2 2 2 400ddc o s c o s c o s 2 c o sxxx x t d t x t d t t d t x xxx ? ? ? ? ?? ? ?. （ 2）由定積分的幾何意義知： 4 24 16 d 8xx ?? ???. （ 3） 3 2 2 2 222( s in ) c o s s in c o s dx x x d x x x x???????? 2220011s in 2 d (1 c o s 4 ) d2 4 8x d x x x x?? ?? ? ? ???. （ 4） 令 secxt? d sec tan dx t t t? 21021 s e c ta ndds e c ta n 21 ttxtttxx ? ??? ?????. （ 5） 2 20001dlim lim 1 1xxxtt xx??? ? ? ?? . （ 6 ）2 2 2 2 2()l im 12n n n nn n n n?? ? ? ?? ? ? 2 2 21 1 1 1[l i m 11 ( ) 1 ( ) 1 ( )n nnn n n n??? ? ? ?? ? ? ? ?1 12 00 d a rc ta n14x xx ?? ? ??? . （ 1） 1. 設(shè) s in 2 3 4 0( ) s in , ( )xf x t d t g x x x? ? ??，則當(dāng) 0x? 時(shí)， ()fx是 ()gx 的（ ） . (A) 等價(jià)無(wú)窮小 (B) 同階但非等價(jià)的無(wú)窮小 (C) 高階無(wú)窮小 (D) 低階無(wú)窮小 解 因?yàn)? s i n 2 22 03 4 2 3 2 30 0 0 0s i n( ) s i n ( s i n ) 1l i m l i m l i m l i m( ) 3 4 3 4 3xx x x xt d tf x x xg x x x x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ??, 故選 B. （ 2） 設(shè) 42 22sin co s1 xM xdxx???? ??， 3422 (sin c o s )N x x dx?????? 2 3 422 ( s in c o s )P x x x dx??????，則有（ ） . (A) NPM (B) MPN (C) NMP (D)PMN 解 因?yàn)? 42 22s in c o s 01 xM xdxx??????? 3 4 422( s in c o s ) c o s 0N x x d x x d x????? ? ? ??? 2 3 4 422( s in c o s ) c o s 0P x x x d x x d x????? ? ? ? ???, 故選 D. （ 3） 下列式子中，正確的是（ ） . (A) ? ?0 cos cosx tdt x? ?? (B) ? ? 0 cos cosx tdt x? ?? 20 (C) ? ?0 cos 0x tdt ? ?? (D) 2 0 cos costdt x? ????????? 解 ? ?0c o s c o sx td t x???? , ? ? 0 cos cosx tdt x? ?? , 2 0 cos 0tdt? ?????????， 故 選 B. （ 4）下列廣義積分收斂的是（ ） . (A) 0 dxex??? （ B）1 1dxx??? (C) 0 cos dxx??? (D) 21 1dxx??? 解00 dxxe x e?? ??? ? ???，11 1 d lnxxx?? ??? ? ??? 0 cos dxx??? 發(fā)散， 21 111d1xxx???? ? ? ?? ,選 D. (5) 設(shè) 11 03 12n nnnna x x dx?????, 則極限 limnn na??等于 ( ). (A) 32(1 ) 1e??. (B) 31 2(1 ) 1e???. (C) 31 2(1 ) 1e???. (D) 32(1 ) 1e??. 解 因?yàn)?2111 0 01 ( ) 133 11 1 ( 1 )22nnnn n n nnnna x x dx x d xnn????????? ???? ? ? ? ? ??? 3 321 2l im l im 1 ( ) 1 (1 ) 11 nnnnnn a en ?? ? ? ???? ? ? ? ? ??????, 故 選 B. 3． 求證下列各式： （ 1） 3212 d 21x xx?? ? ???； （ 2） 1 1 22 1dd11xx tt?????． 證明：（ 1）設(shè)2() 1xfx x? ?，先 ()fx求在 [1,3]? 上的最大、最小值 . 222 2 2 21 2 (1 ) (1 )( ) ,( 1 ) ( 1 )x x x xfx xx? ? ? ?? ????由 ( ) 0fx? ? 得 (1,3)? 內(nèi)駐點(diǎn) 1x? ， 由 ( 1 ) , (1 ) , ( 3 ) f f? ? ? ? ?知 11( ) ,22fx? ? ?在 [1,3]? 上積分得 3 3 31 1 1112 ( ) d ( ) d d 222x f x x x? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?. （ 2） 121 1 11112 2 2 21d d dd1 1 1 1xx xxt y y tt y yt y y t????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. 4． 計(jì)算下列積分： （ 1） 22 e de1xx x? ??； （ 2） 22 1 ( 1)( 2)d3xx xx???； （ 3） 4 0|2 |dxx??； （ 4） e10 ln( 1)dxx? ??； （ 5） 1 2 0 1dxx??； （ 6） π0 1 cos 2 dxx??。 (7) 11()xx x e dx?? ??。 (8) 12 0 ln(1 )(2 )x dxx???。 (9) ln 2 2 0 1 xe dx???。 (10) 221 d(1 )xxx?? ??. 21 解：（ 1） 22 d1xxe xe? ?? 2 222 2d ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n ( 1 )21x xxe e e ee ?? ?? ? ? ? ? ? ????. （ 2） 221 ( 1)( 2)d3xx xx??? 2 211 2 1 1 1( 2 ) d ( 2 l n 2 )3 3 6x x xx? ? ? ? ? ??. （ 3） 4 2 40 0 22 d ( 2 ) d ( 2 )dx x x x x x? ? ? ? ?? ? ?24220211( 2 ) ( 2 ) 422x x x x? ? ? ? ?. （ 4） e 1 e ee10 1 1 1l n ( 1 ) d l n d l n dx x u u u u u uu? ? ? ? ?? ? ?= e1e e e 1 1u? ? ? ? ?. （ 5） I= 1 20 1dxx?? 221 1 12 0 0 02 2 21 d 1 d1 2 d0 1 1 1x x x xx x xx x x?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? 1 22012 1 l n ( 1 ) 2 l n ( 1 2 )0x d x x x I? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? , 故 I 1 [ 2 ln(1 2 )]2? ? ?. （ 6） π2 π2π π0 0 01 c o s 2 d 2 c o s d 2 c o s d 2 c o s d 2 2x x x x x x x x?? ? ? ? ?? ? ? ?. (7) 1 1 1 1010( ) 2 2 2 ( 1 2 )x x x xx x e d x x e d x x e e e? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ?????. （ 8） 1 1 1 12 0 0 00l n ( 1 ) 1 l n ( 1 ) dd l n ( 1 ) d ( )( 2 ) 2 2 ( 2 ) ( 1 )x x xxxx x x x x?? ??? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? 101 2 2l n 2 l n l n 23 1 3xx? ? ?? ? ??????. （ 9）令 21 xet???， 21 ln(1 )2xt?? ?，2dd1 txtt? ? ln 2 2 0 1 xe dx???? 32 2 0 3d ln ( 2 3 )12tttt ? ? ? ??? （ 10） ? ?2 2 2 2 11 1 1 1d d d 1 4a r c ta n( 1 ) 1 4x x x xx x x x x ???? ? ? ? ? ? ?? ???? ? ? ? ? ????? ??? ? ?. 6． 求連續(xù)函數(shù) ()fx，使它滿足 10 ( ) d ( ) s in , ( 0 ) 0f tx t f x x x f? ? ??. 解 txu? ， utx?， dd utx? 則 10 0 0( ) 1( ) d d ( ) dxxfuf tx t u f u uxx??? ? ? 故 20 ( ) d ( ) si nx f u u xf x x x??? 上式兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得 2( ) ( ) ( ) 2 sin c osf x f x x f x x x x x?? ? ? ? 即 ( ) 2 s in c o sf x x x x? ? ? ? 22 所以 ()fx? ( 2 s in c o s ) d c o s s inx x x x x x x C? ? ? ? ?? 又 (0) 0f ? 得 1C?? ，故 ( ) c o s sin 1f x x x x? ? ?. 7． 若 2 ln 2 d .6e1x t t x???? ,求 解：令 1teu?? ，則 ? ?2ln 1tu??，22 d1 udt uu? ?.當(dāng) 2ln2t? 時(shí)， 3u? ；當(dāng) tx? 時(shí)， 1xue?? ∴ ? ?2 l n 2 33 121d 2 d 211 xx exett u u a r c tg uuue ???????? 2136xarctg e????? ? ? ????? 從而 ln2x? . 8． 設(shè) ? ?1 ,011 ,01e xxxfxx? ??? ?? ?? ?? ??當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí)，求 2 0 ( 1)df x x??. 8 解 令 1xt?? , 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0( 1 ) d ( ) d t= ( ) d ( ) d ( ) df x x f t f x x f x x f x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0 1 0 101 0 11 1 1 e ed d d l n ( 1 )1 e 1 1 exxxxx x x xx?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?0 101l n ( 1 ) l n ( 1 ) l n (1 ) 1xx e x e???? ? ? ? ? ? ? ??? . 9．