【正文】 一、填空題 1 ．曲線 322 tztytx ???? ， 在點(diǎn) )1,2,1( ?M 處 的 切 線 方 程為 . 2．拋物面 221 yxz ??? 在點(diǎn) )3,1,1( ?M 處的切平面方程為 . 3．圓??? ??? ??? 0222 zyx zyx ,6 在點(diǎn) )2,1,1( ?M 處的切線方向向量 ?T? . 4．函數(shù) )eeln( yxz ?? 在原點(diǎn) O 處沿 OPl ?? （其中 P 點(diǎn)的坐標(biāo)是 )4,3( ? ）方向上的方向?qū)?shù) ???lz . 5．設(shè)函數(shù) 22),( yxyxf ?? ，則 grad ?)3,4(f . 二 、 單項(xiàng)選擇題 1．球面 4222 ??? zyx 在點(diǎn) )2,1,1( ?M 處指向內(nèi)側(cè)的單位法向量 ?n? （ ） . （ A） )22,21,21( ； （ B） )22,21,21(? ； （ C） )22,21,21( ? ； （ D） )22,21,21( ?? . 2．函數(shù) zyxu ??? 22 在點(diǎn) )2,1,1(M 處沿拋物面 22 yxz ?? 在點(diǎn) M 處的法 向量 n? 上的方向?qū)?shù) ???nz （ ） . （ A） 3； （ B） 3? ； （ C） 3? ； （ D） 9? . 三 、 解答題 1． 求曲線 xzxy ??? 24 22 ， 在點(diǎn) )1,2,1( ?M 處的切線及法平面方程 . 113 2．求橢球面 442 222 ??? zyx 上平行于平面 122 ??? zyx 的切平面方程 . 3．在曲面 xyz? 上求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的法線垂直于平面 03 ??? zyx ，并寫出該點(diǎn)處的切平面及法線方程 . 4．證明曲面 1?xyz 上任一點(diǎn)處的切平面與三個(gè)坐標(biāo)面圍成的四面體體積為定值 . 114 天津科技大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 (一 )檢測(cè)題 96 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、填空題 1． 函數(shù) 22)(4),( yxyxyxf ???? 的極大值點(diǎn)是 ；極大值是 . 2． 函數(shù) 1),( 22 ?????? yxyxyxyxf 的極小值點(diǎn)是 ；極小值是 . 3．函數(shù) 222 )2( xyxz ??? 在圓域 D ： xyx 222 ?? 上的最小值 ?m ；最大值 ?M . 4．函數(shù) xyz? 在附加條件 1??yx 下的極大值為 . 二 、 單項(xiàng)選擇題 1．點(diǎn) )0,0(O 是函數(shù) xyz? 的（ ） . （ A）駐點(diǎn)； （ B）極小值點(diǎn)； （ C）極大值點(diǎn)； （ D）不可微點(diǎn) . 2．函數(shù) )4)(6(),( 22 yyxxyxf ??? 在駐點(diǎn) )0,0(O 處（ ） . （ A）取極小值； （ B）取極大值； （ C）不取極值； （ D）無法判定 . 3．函數(shù) 22 )1()1( ???? yxz 在點(diǎn) )1,1(P 處（ ） . （ A） 有偏導(dǎo)數(shù)且取極小值； （ B） 有偏導(dǎo)數(shù)但不取極值； （ C） 無偏導(dǎo)數(shù)且取極小值； （ D） 無偏導(dǎo)數(shù)也不取極值 . 4．可微函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( 000 yxP 取極值是 0),(),( 0000 ???? yxfyxf yx是的（ ）條件 . （ A）充分必要； （ B）充分； （ C）必要； （ D）無關(guān) . 5．若函數(shù) ),( yxfz? 在點(diǎn) ),( 000 yxP 有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記 ),( 00 yxfA xx??? ， ),(),( 0000 yxfCyxfB yyxy ?????? ，則 02 ??BAC 是函數(shù) ),(xfz? 在),( 000 yxP 取極值的（ ）條件 . （ A）充分； （ B）必要； （ C）充分必要； （ D）即不充分，也不必要 . 115 三 、 解答題 1． 在斜邊長(zhǎng)為 l 的直角三角形中，求面積最大的三角形及其面積 . 2．要造一容積為定值 V 的長(zhǎng)方體無蓋水箱，為最省材料應(yīng)如何設(shè)計(jì)水箱的尺寸？ 3．某商家通過報(bào)紙及電視兩種媒體做某商品廣告。如果銷售收入 22 1028321415 yxxyyxR ?????? ， 其中 x （單位：萬元）為報(bào)紙廣告費(fèi)用， y （單位：萬元）為電視廣告費(fèi)用 .（ 1）在不限定廣告費(fèi)用時(shí)，求最優(yōu)廣告策略； （ 2）若限定廣告費(fèi)用為 萬元時(shí)，求最優(yōu)廣告策略 . 116 天津科技大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 (一 )檢測(cè)題 101 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、填空題 1．若區(qū)域 D ： 1??yx ，則 ?? ?D yxdd ． 2．由幾何意義，二重積分 ???????12222dd)1(yxyxyx ． 3 ． 設(shè) 區(qū) 域 D 由曲線 2, ??? yxxy 及 0?x 圍 成 ， 將 二 重 積 分??D yxyxf dd),( 化為兩個(gè)二次積分，分別為 及 ． 4． 若區(qū)域 D 由 22 xyx ??? 確定，將二重積分 ??D yxyxf dd),(化為兩個(gè)二次積分，分別為 及 ． 5．若積分區(qū)域 D 位于 ox 軸上方，曲線 xy e? 下方，及直線 xy e? 左側(cè)，將二重積分 ??D yxyxf dd),(化為兩個(gè)二次積分，分別為 及 ． 6．設(shè)區(qū)域 D 由曲線 xyxy ?? ,1 及 2?y 圍成，在計(jì)算二重積分 ??D yxxy dd 時(shí)，選擇先對(duì) 積分，再對(duì) 積分的二次積分為好；其二次積分 是 ． 二、選擇題 1．設(shè)區(qū)域 D ： 122 ??yx ，而區(qū)域 1D 是 D 位于第一象限部分，則二重積分?? ??D yxyx dd)( 2 （ ）． （ A） 0 ； （ B） ?? ?1dd)(4 2D yxyx ； （ C） ??1dd4D yxx ； （ D） ??1dd4 2D yxy ． 117 2．若區(qū)域 D 由直線 1??yx 及兩坐標(biāo)軸圍成，記 ?? ??D yxyxI dd1，?? ?? D yxyxI dd)(2 ，則 1I 與 2I 的大小關(guān)系是（ ）． （ A） 21 II ? ； （ B） 21 II ? ； （ C） 21 II ? ； （ D）無法確定 . 3．設(shè)區(qū)域 D 由 xy? 及直線 1?y 圍成，記 ???D yxxyI dd1， ???D yxyxI dd22，?? ?? D yxyxI dd)1( 23 ，則 1I 、 2I 、 3I 的大小關(guān)系是（ ）． (A) 321 III ?? ； (B) 132 III ?? ； (C) 213 III ?? ； (D) 123 III ?? ． 三 、 解答題 1． 若區(qū)域 D 由不等式 xyx ????? 10,10 確定，估計(jì)二重積分?? ?D yxyxx dd)( 的值． 2． 若區(qū)域 D 為 122 ??yx ，證明 ?? ?????D yxyx ?? 3dd)143(22． 118 天津科技大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 (一 )檢測(cè)題 102 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、填空題 1．交換二次積分 ? ?102 d),(d yy xyxfy的次序?yàn)? ． 2 ． 交 換 二 次 積 分 ? ?? ? ??? ?21 21010 211 d),(dd),(dxxx yyxfxyyxfx的 次 序?yàn)? ． 3． 若區(qū)域 D 由不等式 122 ??yx 及 1??yx 確定，將二重積分 ??D yxyxf dd),( 在極坐標(biāo)系下化為二次積分為 ． 4．若區(qū)域 D 由不等式 10 ??x ， 22 2 xxyxx ???? 確定，將二重積分?? ?D yxyxf dd)( 22 在 極 坐 標(biāo) 系 下 化 為 二 次 積 分為 ． 5．將直角坐標(biāo)系下的二次積分 yyxfxa xax d)(d2020 222? ? ? ?（ 0?a ）在極坐標(biāo)系下化為二次積分為 ． 6．將直角坐標(biāo)系下的二次積分 yyxx xx dd1041 2222? ??? yyxxx dd2140 222? ? ?? 在極坐標(biāo)系下化為二次積分為 ． 7．將二次積分 ? ?baxa yyxfx d)(d化為定積分是 ． 8．將 yyxfxaaxa d)(d 220 22? ??? ?（ 0?a ）化為定積分是 ． 二 、 計(jì)算題 1． 計(jì)算二重積分 ??D yxx dd，其中區(qū)域 D 由曲線 2xy? 及 2??xy 圍成． 119 2．計(jì)算二重積分 ??D yxxx ddsin ，區(qū)域 D 由直線 2, xyxy ?? 及 2?x 圍成． 3．計(jì)算二重積分 ?? ?D yxyx dd，區(qū)域 D 由不等式 10 ??x 及 10 ??y 確定． 4．若區(qū)域 D 為 ayyx 222 ?? （ 0?a ）， 0?x ，計(jì)算二重積分 ??D yxyx dd ． 5．設(shè) D 為兩圓 yyxxyx 2,2 2222 ???? 公共部分，計(jì)算二重積分 ??D yxxy dd． 6．計(jì)算二次積分 ? ? ???? ?0 0 222222 ds ind x yyxyxx ． 120 天津科技大學(xué) 《 高等數(shù)學(xué) 》 (一 )檢測(cè)題 103 專業(yè) 學(xué)號(hào) 姓名 一、填空題 1．在直角坐標(biāo)系下將三重積分 ????? vzyxfI d),(化為三次積分：其中 ? 由 （ 1）三個(gè)坐標(biāo)面及平面 623 ??? zyx 圍成，則 ?I ； （ 2）不等式 0,0,1 ????? yxzyx 確定，則 ?I . 2．在直角坐標(biāo)系和柱面標(biāo)系下將三重積分 ???? ?? vzyxfI d),(22 分別化為三次積分：其中 ? 由 （ 1）圓柱面 122 ??yx ，拋物面 22 yxz ?? 及平面 0?z 圍成第一卦限部分，則 （ 直 ） ?I ；（柱） ?I