數(shù)列通項公式的應用論-展示頁
2025-01-15 06:52本頁面
【正文】 然類型一能化成等比數(shù)列，那么假設類型二也能構造成等比數(shù)列，假設 原遞推公式為 )()1(1 BAnapBnAa nn ??????? ， 化簡得 BApBnApApaa nn ??????? )(1 ， 又因為 cqnpaa nn ????1 所以，系數(shù)對應相等得 qApA ?? cBApB ??? 解方程組得 1??pqA ? ?211 ???? p qp cB 由此計算出 AB 后就構造了一個以 BAa ??1 為首項， p 為公比的等比數(shù)列? ?BAnan ?? . 用待定系數(shù)法求解通項公式， 它的核心是通過“待定”將遞推公式轉化為一種新的等比數(shù)列。主要方法有待定系數(shù)法， 不動點法， 特征根法等。如果題型簡單，我們 可以通過不完全歸納法進行歸納、猜想，然后借助于數(shù)學歸納法予以證明， 然而用數(shù)學歸納法證明雖然有固定的模式，但過程繁瑣，用時較多，而且在 新 版 教材中，數(shù)學歸納法 的思想很少提到 ，因而我們遇到這類問題，就要避免用數(shù)學 歸納法 的思想 。 累乘法 累乘法的思想與累加法本質上是一樣的， 在數(shù)列中如果遇到 nn anfa )(1 ?? 這種類型，通常先把等式化為 )(1 nfaa nn ??，分別令 )1(,3,2,1 ???????? nn ，再層層代入等式中得 ??112 faa ? ? ?223 faa ? ? ? ?11 ??? nfaann ? ?nfaa nn ??1 令各項累乘 得 ? ? ? ? ? ?nfffaa n ?211 1 ?? ， 化簡得 ? ? ? ? ? ? 11 21 anfffa n ??? . 所以 ? ? ? ? ? ? 121 anfffa n ?? ， 由此可求出數(shù)列通項 . 構造新數(shù)列法 構造法就是在解決某些數(shù) 學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯(lián)想出一種適當?shù)妮o助模型，以此促成命題轉換，產生新的解題方法，這種思維方法的特點就是“構造”。 從上述的數(shù)列中可以觀察出， 該數(shù)列為典型的立方數(shù)列，規(guī)律為： 31 ， 32 ，3 ， 34 ， 35 ?，所以我們可以猜想出其通項公式為 3nan? . 當然，選擇題和填空題并不要求寫出其解答過程，歸納猜想出來的通項公式只是一個合理猜想，如若遇到解答題，我們猜想出來的公式就還需要用數(shù)學歸納法的思想去檢驗 . 迭代法 所謂迭代法，就是層層代入，用舊的變量遞推新變量的過程，用迭代法解決數(shù)列問題關鍵是尋找各等式之間的聯(lián)系，從而求出數(shù)列的通項公式。解決此類型的題，快速準確是關鍵，所以，用猜想歸納的思想能有效的解決問題。 歸納猜想法 在數(shù)列的有關題型中，有些明確給出了一個數(shù)列的前幾項，如 1，8,27,64,125，? 要求求出這個數(shù)列的通項。 如果等比數(shù)列的首項為 1a ，公比為 q ，那么這個數(shù)列可以寫成 ?? , 112111 ?nqaqaqaa 的形式，所以，等比數(shù)列的通項公式是 11 ?? nn qaa 遞推數(shù)列：根據(jù)等差數(shù)列的概念，形成等差數(shù)列的條件可以看作任一項與前一項的差為常數(shù)，即 daa nn ???1 ，像這樣表示若干個相鄰項之間的關系式叫做數(shù)列的遞推式 .一個數(shù)列的第 n 項 na 與前面的 k 項 knnn aaa ??? , 21 ? 的關系),( 21 knnnn aaafa ???? ?稱為 k 階遞推關系，由 k 階關系及給定的前 k 項kaaa , 21 ? 的值所確定的數(shù)列叫做 k 階遞推數(shù)列 . 在高中數(shù)學中，很多關于數(shù)列的題的題干都是以遞推式的形式給出，如nnnn aaaa ?? ?? 11 、 3 121 ??? nn aa 、 qpaa nn ???1 等 .這樣就加大了推導數(shù)列通項公式的難度。 通項 na 可以看作是項數(shù) n的函數(shù) )(nfan ? .當然，不是所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式，如 ： 一個學校的學生的考試成績由高到矮組成的數(shù)列，就 很難寫出其通項公式 . 基本數(shù)列的通項公式 高中學習的數(shù)列有兩種最基本的數(shù)列：等差數(shù)列與等比數(shù)列 等差數(shù)列：一 般地，如果一個數(shù)列從第 2項起，每一項與它的前一項 的差等于同一個 常數(shù) ，這個數(shù)列就叫做 等差數(shù)列 .這個常數(shù) 叫做等差數(shù)列的 公差 ，公差通常用字母 d表示 . 如果等差數(shù)列的首項為 1a ，公差為 d ，那么這個數(shù)列可以寫成 ?? ,)1(,2, 1111 dnadadaa ???? 的形式，所以等差數(shù)列的通項公式為 dnaan )1(1 ??? 等比數(shù)列： 如果一個數(shù)列從第 2
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