【正文】 角時，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖4011．計算B時，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無解．如圖4312．③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖4313．④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個銳角和一個鈍角的值，如圖4314．思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來解三角形時，它們的解會是怎樣的？第三篇：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計[推薦]高效課堂教學(xué)模式探討公開課平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計華羅庚中學(xué) 袁勁竹一、教材分析向量作為一種基本工具，在數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的地位和作用。時，A＋B＝187176?；駼≈149176。＜B＜180176。求B．（精確到1176。．（2）ｂ＝，ｃ＝，A＝176。．△ABC中，已知下列條件，解三角形．（176。ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30176。ｃ＝10cm．（2）A＝60176。邊長精確到1cm）（1）A＝45176。解三角形．（角精確到1176。解三角形．（角精確到1176。B＝176。c＝（a－b）－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA， 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問題？ （2）這一實際問題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝，AC＝，夾角為6176。sinB．又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．教師明晰：（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過程）事實上，當(dāng)∠A為鈍角時，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180176。sinB．由此可得ACAB＝2558m．求AC，BC的長．組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）結(jié)論：如圖403，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝AC20′，計算BC的長．（）問題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？二、建立模型在問題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝176。），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖422），求證：三角形邊和角關(guān)系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當(dāng)然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問題．教學(xué)目標(biāo)、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 、余弦定理解斜三角形．，結(jié)合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．教學(xué)設(shè)計一、問題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖431），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)，設(shè)計時應(yīng)計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60176。），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函數(shù)式．四、拓展延伸出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決．＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60176。到1，2的位置，求點P1，P2的坐標(biāo)．［例題三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿足的條件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為φ，則［練習(xí)三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45176。）＝，∴P′ －，．已知向量＝（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60176。）＝5（sinαcos45176。－sinαsin45176。到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45176。再利用已知條件求出cos（30176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． Sα+β與Sαβ中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異．三、解釋應(yīng)用 ［例題一］已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本題主要訓(xùn)練公式Sαβ與Sα+β的使用．由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［練習(xí)一］分析：1.（1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30176。與30176。的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75176。＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．于是，對于任意角α，β都有：本節(jié)問題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來表示sin（α＋β）的問題，試探索與研究sin（α＋β）的表達式．兩角和與差的正弦教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意－（α＋β）］角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cαβ即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sαβ．Cα+β，Cαβ，Sα+β和Sαβ四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點為公式Sα+β，Sαβ兩邊的運算符號相同，Cα+β與Cαβ兩邊的運算符號相反．Sα+β與Sαβ中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cαβ與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．任務(wù)分析這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學(xué)生會推導(dǎo)，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會把“asinｘ＋bcosｘ”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用．教學(xué)目標(biāo) ，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．、余弦公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明．，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．教學(xué)過程一、問題情景如圖421，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75176。＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導(dǎo)是否正確．當(dāng)α－β為任意角時，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則均看成單角，進而直接運用公式Cαβ，不必將各式展開后再計算．分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．四、拓展延伸，可知角α，β的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cαβ呢？教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識來推）．分析：這里可以把角36176。）＋sin（36176。這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。求cosα．分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30176。＋α）＝，60176。再用例題1中的結(jié)果即可．對于（2），逆向使用公式Cαβ，即可將原式化為cos30176。的值．分析：對于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75176。的值．（3）化簡cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215176。＋sin75176。的值．（2）求cos75176。＋45176。可進行類似地處理，cos105176。與45176。與30176。的值．分析：本題關(guān)鍵是將15176。．顯然，對任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞co